Seiberg-Witten-Theorie

Seiberg-Witten-Theorie ist eine Eichtheorie, die sich im Grenzall niedriger Energien aus der N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie (kurz N = 2 SYM) ergibt, welche Supersymmetrie (kurz SUSY) und Yang-Mills-Theorie (kurz YM-Theorie), zuerst aufgestellt von Chen Ning Yang und Robert Mills im Jahr 1954,^[1] miteinander kombiniert. N steht für die Anzahl der Symmetrieoperatoren der Theorie (und oft wird noch mit D die Anzahl der Dimensionen hinzugenommen). N = 2 SYM hat daher zwei Symmetrieoperatoren. Formuliert ist die Theorie auf dem vierdimensionalen Minkowski-Superraum, dem Faktorraum aus der Poincaré-Supergruppe und der Lorentz-Gruppe, einer supersymmetrischen Verallgemeinerung des vierdimensionalen Minkowski-Raumes, darstellbar als Faktorraum aus der Poincaré-Gruppe und der Lorentz-Gruppe. Benannt ist die Theorie nach Nathan Seiberg und Edward Witten, welche diese im Jahr 1994 erstmals untersucht haben. Dies führte zur Entwicklung der Seiberg-Witten-Gleichungen und der mit ihrem Seiberg-Witten-Modulraum definierten Seiberg-Witten-Invarianten, mit welchen ganz allgemein vierdimensionale Mannigfaltigkeiten untersucht werden können. Diese sind echt stärker als die Donaldson-Invarianten aus der Donaldson-Theorie, welche auf dem Yang-Mills-Modulraum der (nicht supersymmetrischen) antiselbstdualen Yang-Mills-Gleichungen beruht.

Im Jahr 1983 revolutionierte Simon Donaldson das Gebiet der Eichtheorie mit seinem Beweis des sogenannten Donaldson-Theorems mithilfe des Yang-Mills-Modulraumes. Aus diesem ließen sich zudem die Donaldson-Invarianten zur Untersuchung von glatten Strukturen konstruieren. Trotz der starken Aussagekraft waren die Donaldson-Invarianten jedoch äußerst schwer in der Anwendung aufgrund von umständlichen Kompaktifizierungen und einer unendlichen Summe. Im Frühling 1994 gelang Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka ein Durchbruch durch die Reduktion dieser unendlichen Summe auf eine endliche Summe mit den sogenannten Kronheimer-Mrowka-Basisklassen. Im Herbst 1994 folgte von Nathan Seiberg und Edward Witten daraufhin ein erneuter Durchbruch durch die Konstruktion einer aus physikalischer Sicht dualen Theorie zur Donaldson-Theorie, nämlich Seiberg-Witten-Theorie. Obwohl aufgrund der Dualität zu erwarten war, dass dabei lediglich die exakt gleichen Informationen kodiert werden,^[2] stellte sich Seiberg-Witten-Theorie als stärker und einfacher heraus. Sowohl Kompaktifizierungen als auch unendliche Summen fielen weg.

Edward Witten hatte mit Michael Atiyah einige Jahre zuvor das Gebiet der topologischen Quantenfeldtheorien (TQFT) erschlossen und anschließend eine spezielle Theorie konstruiert, in welcher die Erwartungswerte der Observablen genau die Donaldson-Invarianten ergeben. Dadurch ließ sich Donaldson-Theorie aus einer topologisch getwisteten N = 2 supersymmetrischen Yang-Mills-Theorie ableiten.^[2] Ein topologischer Twist ist dabei die Zerlegung einer reduziblen Darstellung und irreduzible Teildarstellungen. Seiberg-Witten-Theorie ergab sich nun aus einer anderen Wahl einer solchen Zerlegung.

Dimensionsreduktionen der D = 4 N = 2 SYM über ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times S^{1}}$ interpolieren die D = 3 N = 4 SYM.^[3]

• N = 1 supersymmetrische Yang-Mills-Theorie
• Sechsdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Siebendimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Achtdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Pseudo-Riemannsche Seiberg-Witten-Theorie
• Quaternionische Seiberg-Witten-Theorie

• Nathan Seiberg und Edward Witten: Electric-Magnetic Duality, Monopole Condensation, and Confinement in N = 2 Supersymmetric Yang-Mills Theory. In: Nuclear Physics B. Volume 426, Nr. 1, 5. September 1994, S. 19–52, doi:10.1016/0550-3213%2894%2990124-4, arxiv:hep-th/9407087 (englisch). 
• Nathan Seiberg und Edward Witten: Monopoles, Duality and Chiral Symmetry Breaking in N = 2 Supersymmetric QCD. 17. August 1994, doi:10.48550/arXiv.hep-th/9408099, arxiv:hep-th/9408099 (englisch). 
• Nathan Seiberg und Edward Witten: Gauge Dynamics And Compactification To Three Dimensions. 18. Juli 1996, doi:10.48550/arXiv.hep-th/9607163, arxiv:hep-th/9607163 (englisch). 
• Jürgen Jost: Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, 2002, ISBN 3-540-42627-2 (englisch). 
• Gregory L. Naber: Topology, Geometry and Gauge Fields (Second Edition). Springer, 2011, ISBN 978-1-4419-7894-3, ISSN 0066-5452, doi:10.1007/978-1-4419-7895-0 (englisch). 
• Nicholas R. Hunter-Jones: Seiberg–Witten Theory and Duality in N = 2 Supersymmetric Gauge Theories. Hrsg.: Imperial College London. September 2012, doi:10.48550/arXiv.hep-th/9607163, arxiv:hep-th/9607163 (englisch, imperial.ac.uk [PDF]). 

• D=3 N=2 super Yang-Mills theory und D=4 N=2 super Yang-Mills theory auf nLab (englisch)

1. ↑ Chen Ning Yang und Robert L. Mills: Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. In: Physical Review. 96. Jahrgang, Nr. 1, S. 191–195, doi:10.1103/PhysRev.96.191 (englisch, aps.org [PDF]). 
2. ↑ ^{a b} Naber 11, S. 361–363
3. ↑ Seiberg & Witten 96