Pseudo-Riemannsche Seiberg-Witten-Theorie

Pseudo-Riemannsche Seiberg-Witten-Theorie ist eine Übertragung der Seiberg-Witten-Theorie von vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf vierdimensionale Pseudo-Riemannsche Mannigfaltigkeiten. Aus physikalischer Sicht wird also zwischen raumartigen und zeitartigen Dimensionen unterschieden, indem diese in der Riemannschen Metrik durch verschiedene Vorzeichen gewertet werden. Möglich sind dabei in vier Dimensionen die Signaturen ${\displaystyle (1,3)}$ und ${\displaystyle (2,2)}$, wobei der vordere Fall einer Lorentzschen Mannigfaltigkeit wie der Raumzeit entspricht, also mit einer zeitartigen und drei raumartigen Dimensionen. Jedoch ist der Hodge-Stern-Operator dann keine Involution und es können keine selbstdualen und antiselbstdualen Formen definiert werden wie für die Seiberg-Witten-Gleichung erforderlich. Es bleibt in vier Dimensionen daher nur der hintere Fall.

In der Seiberg-Witten-Theorie ist zunächst die Wahl einer Spinᶜ-Struktur (komplexe Spin-Struktur) notwendig, einer speziellen tangentialen Struktur, welche über Hochhebungen zur Spinᶜ-Gruppe definiert ist. Im Riemannschen Fall ist mit dem außergewöhnlichen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$ die dabei verwendete Gruppe:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4):={\big (}\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}=\operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)=\{(A,B)\in \operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (2)|\det(A)=\det(B)\}.}$

Ihre Struktur führt auf zwei assoziierte Spinorbündel. In der Physik beschreiben diese positive und negative Chiralität. Im Pseudo-Riemannschen Fall sind die dabei mit den außergewöhnlichen Isomorphismen ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2,2)=\operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )\times \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle \operatorname {Spin} _{+}(2,2)=\operatorname {SU} (1,1)\times \operatorname {SU} (1,1)}$^[1] verwendeten Gruppen:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(2,2):={\big (}\operatorname {Spin} (2,2)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {Spin} _{+}^{\mathrm {c} }(2,2):={\big (}\operatorname {Spin} _{+}(2,2)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}=\operatorname {U} (1,1)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (1,1)=\{(A,B)\in \operatorname {U} (1,1)\times \operatorname {U} (1,1)|\det(A)=\det(B)\}.}$^[2]

• Sechsdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Siebendimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Achtdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Quaternionische Seiberg-Witten-Theorie

• pseudo-Riemannian Seiberg-Witten theory auf nLab (englisch)

• Nedim Değirmenci and Nülifer Özdemir: Seiberg-Witten equations on four-dimensional Lorentzian spinc manifolds. 2011, doi:10.1142/S0219887811005348 (englisch). 
• Nedim Değirmenci and Senay Karapazar: Seiberg-Witten Equations on Pseudo-Riemannian Spinc Manifolds With Neutral Signature. In: An. S.t. Univ. Ovidius Constanta. Band 20, Nr. 1, 2012, S. 73–0, doi:10.2478/v10309-012-0006-7 (englisch). 

1. ↑ Değirmenci & Karapazar 2012, p. 74
2. ↑ Değirmenci & Karapazar 2012, Remark 2