Kronheimer-Mrowka-Basisklasse

Die Kronheimer-Mrowka-Basisklassen sind in der Donaldson-Theorie spezielle Kohomologieklassen der zweiten Kohomologie einer einfach zusammenhängenden glatten 4-Mannigfaltigkeit, welche die Donaldson-Polynome festlegen. Eingeführt wurden diese von Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka in zwei Papern aus den Jahren 1994 und 1995.

Für eine glatte 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ sind dessen Donaldson-Invarianten eine ganze Zahl ${\displaystyle \gamma _{0}(M)\in \mathbb {Z} }$ und Abbildungen ${\displaystyle \gamma _{0}(M)\colon H_{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} [1/2]}$ (in halbe ganze Zahlen), welche sich zum Donaldson-Polynom kombinieren:^[1][2]

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}\colon H_{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {R} ,{\mathcal {D}}_{M}(x)=\sum _{d=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{d}(M)(x)}{d!}}.}$

Peter Kronheimer und Tomasz Mrowka führten die Bedingung des Kronheimer-Mrowka-einfachen Typs (KM-einfachen Typs) ein, welche hinreichend ist um die einzelnen Donaldson-Invarianten aus ihrem gemeinsamen Donaldson-Polynom zu erhalten. Für eine KM-einfache Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ gibt es dann Kohomologieklassen ${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{s}\in H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$, genannt Kronheimer-Mrowka-Basisklassen (KM-Basisklassen), sowie rationale Zahlen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{s}\in \mathbb {Q} }$, genannt Kronheimer-Mrowka-Koeffizienten (KM-Koeffizienten), sodass:

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}(x)=\exp(Q_{M}(x,x)/2)\sum _{r=1}^{s}a_{r}\exp(K_{r}(x))}$

für alle ${\displaystyle x\in H_{2}(M,\mathbb {Z} )}$. Zudem gilt ${\displaystyle w_{2}(M)=K_{r}\operatorname {mod} 2\in H^{2}(M,\mathbb {Z} _{2})}$ für alle Kronheimer-Mrowka-Basisklassen.^[3][4][5]

Obwohl diese Reduktion der unendlichen Summe des Donaldson-Polynoms auf eine endliche Summe im Frühling 1994 eine starke Vereinfachung in der Donaldson-Theorie darstellte, wurde diese im Herbst 1994 durch die Entwicklung der Seiberg-Witten-Theorie überholt. Edward Witten, vorgestellt in einem Vortrag am MIT, leitete daraufhin aus rein physikalischen Überlegungen die Vermutung ab, dass Kronheimer-Mrowka-Basisklassen genau den Träger der Seiberg-Witten-Invariante ${\displaystyle \operatorname {SW} \colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\rightarrow \mathbb {Z} }$ bilden (also genau die ersten Chern-Klassen ${\displaystyle c_{1}\colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\rightarrow H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ von Spinᶜ-Strukturen mit nicht verschwindender Seiberg-Witten-Invariante sind) sowie ihre Kronheimer-Mrowka-Koeffizienten dann bis auf einen topologischen Faktor genau deren Seiberg-Witten-Invarianten sind. Genauer ist eine kompakte zusammenhängende einfach zusammenhängende orientierbare glatte 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$ ungerade genau dann von Kronheimer-Mrowka-einfachem Typ wenn sie von Seiberg-Witten-einfachem Typ ist (also nicht verschwindende Seiberg-Witten-Invarianten nur von nulldimensionen Seiberg-Witten-Modulräumen kommen, wobei dann ihre Punkte mit Vorzeichen aus der Orientierung gezählt werden). In diesem Fall ergibt sich das Donaldson-Polynom als:^[6]

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{M}(x)=\exp(Q_{M}(x,x)/2)\sum _{{\mathfrak {s}}\in \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M),\dim {\mathcal {M}}_{\mathfrak {s}}^{\mathrm {SW} }=0}2^{2+{\frac {1}{4}}(7\chi (M)+11\sigma (M))}\operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})\exp(c_{1}({\mathfrak {s}})(x)).}$

• Kronheimer-Mrowka basic class auf nLab (englisch)

• Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka: Recurrence relations and asymptotics for four-manifold invariants. Hrsg.: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 30, Nr. 2, 1994, S. 215–221, doi:10.1090/S0273-0979-1994-00492-6, arxiv:math/9404232 (englisch). 
• Peter B. Kronheimer, Tomasz S. Mrowka: Embedded surfaces and the structure of Donaldson's polynomial invariants. Hrsg.: Bulletin of the American Mathematical Society. Band 41, Nr. 3, 1995, S. 573–734, doi:10.4310/jdg/1214456482 (englisch, projecteuclid.org). 
• Gregory L. Naber: Topology, Geometry and Gauge Fields (Second Edition). Springer, 2011, ISBN 978-1-4419-7894-3, ISSN 0066-5452, doi:10.1007/978-1-4419-7895-0 (englisch). 

1. ↑ Kronheimer & Mrowka 1994, S. 3
2. ↑ Naber 11, p. 399
3. ↑ Kronheimer & Mrowka 94, Proposition 3
4. ↑ Kronheimer & Mrowka 95, Theorem 1.7
5. ↑ Naber 11, Theorem A.5.1
6. ↑ Naber 11, S. 400