Quaternionische Seiberg-Witten-Theorie

Quaternionische Seiberg-Witten-Theorie ist eine Übertragung der Seiberg-Witten-Theorie von vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten mit Spinᶜ-Struktur (komplexe Spin-Struktur) auf vierdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit Spinʰ-Struktur (quaternionische Spin-Struktur).

In der Seiberg-Witten-Theorie ist zunächst die Wahl einer Spinᶜ-Struktur notwendig, einer speziellen tangentialen Struktur, welche über Hochhebungen zur Spinᶜ-Gruppe definiert ist. Mit dem außergewöhnlichen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$ ist die dabei verwendete Gruppe:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4):={\big (}\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}=\operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)=\{(A,B)\in \operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (2)|\det(A)=\det(B)\}.}$

Ihre Struktur führt auf zwei assoziierte Spinorbündel. In der Physik beschreiben diese positive und negative Chiralität. In der quaternionischen Seiberg-Witten-Theorie ist stattdessen die Wahl einer Spinʰ-Struktur notwendig, ebenfalls eine tangentiale Struktur, welche stattdessen über Hochhebungen zur Spinʰ-Gruppe definiert ist. Mit dem gleichen außergewöhnlichen Isomorphismus wie zuvor ist die dabei verwendete Gruppe:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(4):={\big (}\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {SU} (2){\big )}/\mathbb {Z} _{2}=\operatorname {SU} (2)^{3}/\{\pm (\mathbf {1} _{2},\mathbf {1} _{2},\mathbf {1} _{2})\}.}$

• Sechsdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Siebendimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Achtdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Pseudo-Riemannsche Seiberg-Witten-Theorie

• quaternionic Seiberg-Witten theory auf nLab (englisch)