Sechsdimensionale Seiberg-Witten-Theorie

Sechsdimensionale Seiberg-Witten-Theorie (kurz D = 6 SW) ist eine Übertragung der Seiberg-Witten-Theorie von vierdimensionalen Riemannschen Mannigfaltigkeiten auf sechsdimensionale Riemannsche Mannigfaltigkeiten.

In der Seiberg-Witten-Theorie ist zunächst die Wahl einer Spinᶜ-Struktur (komplexe Spin-Struktur) notwendig, einer speziellen tangentialen Struktur, welche über Hochhebungen zur Spinᶜ-Gruppe definiert ist. Im vierdimensionalen Fall ist mit dem außergewöhnlichen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$ die dabei verwendete Gruppe:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4):={\big (}\operatorname {Spin} (4)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}=\operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)=\{(A,B)\in \operatorname {U} (2)\times \operatorname {U} (2)|\det(A)=\det(B)\}.}$

Ihre Struktur führt auf zwei assoziierte Spinorbündel. In der Physik beschreiben diese positive und negative Chiralität. Im sechsdimensionalen Fall ist die dabei mit dem außergewöhnlichen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)=\operatorname {SU} (4)}$ verwendete Gruppe:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6):={\big (}\operatorname {Spin} (6)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}\cong {\big (}\operatorname {SU} (4)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{2}.}$

Aufgrund des kanonischen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {U} (4)\cong {\big (}\operatorname {SU} (4)\times \operatorname {U} (1){\big )}/\mathbb {Z} _{4}}$ gibt sich eine doppelte Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\twoheadrightarrow \operatorname {U} (4)}$. Alternativ ist diese ein ${\displaystyle \operatorname {O} (1)}$-Hauptfaserbündel oder ein reelles Geradenbündel ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\times _{\operatorname {O} (1)}\mathbb {R} \twoheadrightarrow \operatorname {U} (4)}$ mithilfe des balancierten Produktes. Diese werden genau durch die erste Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{1}(\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4))\in H^{1}(\operatorname {U} (4),\mathbb {Z} _{2})}$ klassifiziert, welche auf CW-Komplexen wie ${\displaystyle \operatorname {U} (4)}$ ein Gruppenisomorphismus ist. Über den universellen Koeffizientensatz und das Hurewicz-Theorem folgt:

${\displaystyle H^{1}(\operatorname {U} (4),\mathbb {Z} _{2})\cong \operatorname {Hom} (H_{1}(\operatorname {U} (4),\mathbb {Z} ),\mathbb {Z} _{2})\cong \operatorname {Hom} (\pi _{1}^{\mathrm {ab} }\operatorname {U} (4),\mathbb {Z} _{2})\cong \operatorname {Hom} (\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}.}$

${\displaystyle \pi _{1}\operatorname {U} (4)\cong \mathbb {Z} }$ folgt dabei daraus, dass die Determinante ${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (4)\rightarrow \operatorname {U} (1)}$ einen Gruppenisomorphismus auf der Fundamentalgruppe induziert. Es gibt daher zwei Möglichkeiten für die obige Stiefel-Whitney-Klasse, nämlich eine verschwindende und eindeutig nicht verschwindende. Jedoch führt der vordere Fall zu ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\cong \operatorname {U} (4)\times \operatorname {O} (1)}$ mit einem zusammenhängenden Raum links und einem nicht zusammenhängenden Raum rechts, weshalb es der hintere Fall sein muss. Tatsächlich kann die klassifizierende Abbildung sogar einfach angegeben werden:

${\displaystyle i\circ \det \colon \operatorname {U} (4)\rightarrow \operatorname {U} (1)\cong S^{1}\cong \mathbb {R} P^{1}\hookrightarrow \mathbb {R} P^{\infty }\cong \operatorname {BO} (1)}$

Entlang des hinteren Rückzugs ergibt sich dabei die reelle Hopf-Faserung ${\displaystyle i^{*}\operatorname {EO} (1)=i^{*}S^{\infty }\cong S^{1}\twoheadrightarrow S^{1}}$ mit eindeutig nichttrivialer Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{1}(\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4))\in H^{1}(S^{1},\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}}$, welche vom vorderen Rückzug (aber durch fehlenden klassifizierenden Raum nicht zu verwechseln mit dem Determinantenbündel) erhalten wird. Das gilt auch für alle andere unitäre Gruppen. In sechs Dimensionen ergibt sich nun die alternative Beschreibung:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\cong \{(U,z)\in \operatorname {U} (4)\times \operatorname {U} (1)|\det(U)=z^{2}\}}$

Hier zeigt sich nun die doppelte Überlagerung deutlich am nicht eindeutigen Vorzeichen der hinteren komplexen Zahl.

• Siebendimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Achtdimensionale Seiberg-Witten-Theorie
• Pseudo-Riemannsche Seiberg-Witten-Theorie
• Quaternionische Seiberg-Witten-Theorie

• Nedim Değirmenci and Şenay Karapazar Bulut: Seiberg-Witten-like equations on 6-dimensional SU(3)-manifolds. 2010 (englisch, emis.de). 
• Yuuji Tanaka: Seiberg-Witten type equations on compact symplectic 6-manifolds. 2017, arxiv:1407.1934 (englisch). 

• D=6 Seiberg-Witten theory auf nLab (englisch)