Poincaré-Halbebenenmodell

In der Geometrie stellt das Poincaré-Halbebenenmodell die zweidimensionale hyperbolische Ebene mithilfe von Punkten der bekannten zweidimensionalen euklidischen Ebene dar.

Genauer gesagt wird jeder Punkt der hyperbolischen Ebene durch einen euklidischen Punkt mit den Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ repräsentiert, dessen ${\displaystyle y}$-Koordinate größer als null ist. Dieser Punkt bildet die obere Halbebene. Dabei wird ein metrischer Tensor, die sogenannte Poincaré-Metrik, verwendet, deren lokale Skala umgekehrt proportional zur ${\displaystyle y}$-Koordinate ist. Punkte auf der ${\displaystyle x}$-Achse, deren ${\displaystyle y}$-Koordinate gleich null ist, repräsentieren ideale Punkte, die außerhalb der eigentlichen hyperbolischen Ebene liegen. Manchmal werden die Punkte des Halbebenenmodells auch in der komplexen Zahlenebene als Punkte mit positivem Imaginärteil betrachtet. Nach dieser Interpretation wird jedem Punkt der hyperbolischen Ebene eine komplexe Zahl zugeordnet.

Das Halbebenenmodell kann als Kartenprojektion der gekrümmten hyperbolischen Ebene auf die ebene euklidische Ebene betrachtet werden. Aus dem Hyperboloidmodell erhält man das Poincaré-Halbebenenmodell durch Parallelprojektion in Richtung eines Nullvektors. Diese Projektion kann auch als eine Art stereografische Projektion mit einem idealen Mittelpunkt interpretiert werden. Sie ist winkeltreu und bildet verallgemeinerte Kreise (Geodäten, Hyperzyklen, Horozyklen und Kreise) der hyperbolischen Ebene auf verallgemeinerte Kreise (Geraden oder Kreise) der Ebene ab. Insbesondere werden Geodäten analog zu Geraden entweder auf Halbkreise mit dem Mittelpunkt ${\displaystyle y=0}$ oder auf vertikale Geraden mit konstanter ${\displaystyle x}$-Koordinate projiziert. Hyperzyklen werden auf Kreise projiziert, die die ${\displaystyle x}$-Achse schneiden, Horozyklen entweder auf Kreise, die die ${\displaystyle x}$-Achse tangieren, oder auf horizontale Geraden mit konstanter ${\displaystyle y}$-Koordinate. Kreise werden auf Kreise projiziert, die vollständig in der Halbebene liegen.

Hyperbolische Bewegungen, die abstandserhaltenden geometrischen Transformationen der hyperbolischen Ebene in sich selbst, werden in der Poincaré-Halbebene durch die Teilmenge der Möbiustransformationen der Ebene dargestellt, die die Halbebene erhalten. Dies sind konforme, kreiserhaltende Transformationen, welche die ${\displaystyle x}$-Achse auf sich selbst abbilden, ohne ihre Orientierung zu verändern. Werden Punkte in der Ebene als komplexe Zahlen betrachtet, so wird jede Möbiustransformation durch eine lineare gebrochene Transformation komplexer Zahlen dargestellt. Die Cayley-Transformation stellt eine Isometrie zwischen dem Poincaré-Halbebenenmodell und dem Poincaré-Kreisscheibenmodell her. Letzteres ist eine stereografische Projektion des Hyperboloids um einen beliebigen Punkt der hyperbolischen Ebene, die die hyperbolische Ebene auf eine Kreisscheibe der euklidischen Ebene abbildet und die Eigenschaften der Konformität und der Abbildung verallgemeinerter Kreise auf verallgemeinerte Kreise teilt.

Das Poincaré-Halbebenenmodell ist nach Henri Poincaré benannt, geht aber auf Eugenio Beltrami zurück, der es zusammen mit dem Beltrami-Klein-Modell und dem Poincaré-Kreisscheibenmodell verwendete.

Die Metrik des Poincaré-Halbebenenmodells in der Halbebene mit ${\displaystyle y>0}$ ist

${\displaystyle (ds)^{2}={\frac {(dx)^{2}+(dy)^{2}}{y^{2}}}}$

wobei ${\displaystyle s}$ die Länge entlang einer möglicherweise gekrümmten Linie misst. Die Geraden in der hyperbolischen Ebene werden in diesem Modell durch Kreisbögen senkrecht zur x-Achse (Halbkreise mit Mittelpunkt auf der x-Achse) und gerade, vertikale Strahlen senkrecht zur x-Achse dargestellt.

Sind ${\displaystyle p_{1}=(x_{1},y_{1})}$ und ${\displaystyle p_{2}=(x_{2},y_{2})}$ zwei Punkte in der Halbebene mit ${\displaystyle y>0}$ und ist ${\textstyle {\tilde {p}}_{1}=(x_{1},-y_{1})}$ die Spiegelung von ${\displaystyle p_{1}}$ an der x-Achse in die untere Halbebene, so ist der Abstand zwischen den beiden Punkten gemäß der Metrik der hyperbolischen Ebene:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(p_{1},p_{2})&=2\cdot \operatorname {arsinh} \left({\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{2\cdot {\sqrt {y_{1}\cdot y_{2}}}}}\right)\\&=2\cdot \operatorname {artanh} \left({\frac {\|p_{2}-p_{1}\|}{\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}}\right)\\&=2\cdot \ln \left({\frac {\|p_{2}-p_{1}\|+\|p_{2}-{\tilde {p}}_{1}\|}{2\cdot {\sqrt {y_{1}\cdot y_{2}}}}}\right)\\\end{aligned}}}$

Dabei ist ${\displaystyle \|p_{2}-p_{1}\|}$ der euklidische Abstand zwischen den Punkten ${\displaystyle p_{1}}$ und ${\displaystyle p_{2}}$, arsinh der Areasinus hyperbolicus und artanh der Areatangens hyperbolicus.

Wenn die Punkte ${\displaystyle p_{1}}$ und ${\displaystyle p_{2}}$ auf einer hyperbolischen Geraden (einem euklidischen Halbkreis) liegen, die die x-Achse in den idealen Punkten ${\displaystyle p_{0}=(x_{0},0)}$ und ${\displaystyle p_{3}=(x_{3},0)}$ schneidet, beträgt der Abstand von ${\displaystyle p_{1}}$ zu ${\displaystyle p_{2}}$:

${\displaystyle d(p_{1},p_{2})=\left|\ln \left({\frac {\|p_{2}-p_{0}\|\cdot \|p_{1}-p_{3}\|}{\|p_{1}-p_{0}\|\cdot \|p_{2}-p_{3}\|}}\right)\right|}$

Einige Sonderfälle lassen sich vereinfachen. Für zwei Punkte mit derselben x-Koordinate gilt

${\displaystyle d((x,y_{1}),(x,y_{2}))=\left|\ln \left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)\right|=|\ln(y_{2})-\ln(y_{1})|}$

Im Poincaré-Halbebenenmodell gibt es zwei Arten von idealen Punkten (Punkten im Unendlichen): die Punkte auf der x-Achse und einen imaginären Punkt bei y, der der ideale Punkt ist, zu dem alle Geraden orthogonal zur x-Achse konvergieren.

Geraden, Geodäten (kürzeste Wege zwischen den darin enthaltenen Punkten), werden entweder durch euklidische Halbkreise mit Ursprung auf der x-Achse oder durch gerade euklidische Strahlen senkrecht zur x-Achse modelliert.

Ein Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle (x,y)}$ und Radius ${\displaystyle r}$ wird durch einen euklidischen Kreis mit Mittelpunkt ${\displaystyle (x,y\cdot \cosh(r))}$ und Radius ${\displaystyle y\cdot \sinh(r)}$ modelliert.

Ein Hyperzyklus (eine Kurve, die von einer Geraden, ihrer Achse, den gleichen Abstand hat) wird entweder durch einen Kreisbogen dargestellt, der die x-Achse in denselben zwei idealen Punkten schneidet wie der Halbkreis, der seine Achse darstellt, jedoch in einem spitzen oder stumpfen Winkel, oder durch eine Gerade, die die x-Achse im selben Punkt schneidet wie die Vertikale, die ihre Achse darstellt, jedoch ebenfalls in einem spitzen oder stumpfen Winkel.

Ein Horozyklus (eine Kurve, deren Normalen asymptotisch in dieselbe Richtung, ihren Mittelpunkt, konvergieren) wird entweder durch einen Kreis dargestellt, der die x-Achse tangiert, wobei der ideale Schnittpunkt, der sein Mittelpunkt ist, nicht berücksichtigt wird, oder durch eine Parallele zur x-Achse, wobei in diesem Fall der Mittelpunkt der ideale Punkt bei ${\displaystyle y=\infty }$ ist.

Das Poincaré-Halbebenenmodell und das Poincaré-Kreisscheibenmodell sind durch eine Möbiustransformation miteinander verknüpft. Ist ${\displaystyle z\in H}$ ein Punkt der oberen Halbebene, so ergibt sich der entsprechende Punkt ${\displaystyle u\in D}$ durch die Cayley-Transformation ${\displaystyle C\colon H\to D}$:

${\displaystyle C(z)=u={\frac {z-i}{z+i}}}$

Dabei Ist ${\displaystyle u\in D}$ eine komplexe Zahl mit Norm kleiner als eins, also ${\displaystyle \|u\|<1}$, die einen Punkt des Poincaré-Kreisscheibenmodells darstellt. Die Funktion ${\displaystyle C}$ bildet die Punkte ${\displaystyle \{i,\infty ,1,-1\}\in H}$ auf ${\displaystyle \{0,1,-i,i\}\in D}$ ab.

Ein Punkt mit den reellen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ im Poincaré-Halbebenenmodell wird auf den Punkt ${\displaystyle \left({\frac {2\cdot x}{x^{2}+(1+y)^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)}$ im Poincaré-Kreisscheibenmodell abgebildet.

Umgekehrt wird ein Punkt mit den reellen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ im Poincaré-Kreisscheibenmodell wird auf den Punkt ${\displaystyle \left({\frac {2\cdot x}{x^{2}+(1-y)^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)}$ im Poincaré-Halbebenenmodell abgebildet.

• Detlef Lind, Bergische Universität Wuppertal: Nichteuklidische Geometrie
• Rijksuniversiteit Groningen: Hyperbolic geometry
• University of Kentucky, Department of Mathematics: Poincaré’s Disk Model for Hyperbolic Geometry