Hyperzyklus (Geometrie)

In der hyperbolischen Geometrie ist ein Hyperzyklus eine Kurve, deren Punkte denselben orthogonalen Abstand zu einer gegebenen Geraden haben.

Ist eine Gerade L und ein Punkt P, der nicht auf L liegt, gegeben, kann man einen Hyperzyklus konstruieren, indem man alle Punkte Q auf derselben Seite von L wie P auswählt, deren Abstand zu L dem Abstand von P entspricht. Die Gerade L wird als Achse des Hyperzyklus bezeichnet. Die Geraden, die senkrecht zu L und somit auch senkrecht zum Hyperzyklus verlaufen, heißen Normalen des Hyperzyklus. Die Abschnitte der Normalen zwischen L und dem Hyperzyklus heißen Radien. Ihre gemeinsame Länge ist der Radius des Hyperzyklus. Die Hyperzyklen durch einen gegebenen Punkt, die eine gemeinsame Tangente an diesen Punkt haben, konvergieren gegen einen Hyperzyklus, wenn ihre Abstände gegen unendlich streben.

Eigenschaften

Hyperzyklen in der hyperbolischen Geometrie haben einige ähnliche Eigenschaften wie Geraden in der euklidischen Geometrie:

  • In einer Ebene gibt es zu einer gegebenen Achse (Gerade) und einem Punkt außerhalb dieser Achse genau einen Hyperzyklus durch diesen Punkt mit der gegebenen Achse.
  • Drei Punkte eines Hyperzyklus liegen niemals auf einem Kreis.
  • Ein Hyperzyklus ist symmetrisch zu jeder Geraden, die senkrecht zu ihm verläuft. Die Spiegelung eines Hyperzyklus an einer dazu senkrechten Geraden ergibt denselben Hyperzyklus.

Außerdem haben Hyperzyklen in der hyperbolischen Geometrie einige ähnliche Eigenschaften wie Kreise in der euklidischen Geometrie:

  • Eine Gerade, die senkrecht auf einer Sehne eines Hyperzyklus in ihrem Mittelpunkt steht, ist ein Radius und halbiert den von der Sehne eingeschlossenen Kreisbogen. Sei AB die Sehne und M ihr Mittelpunkt. Aus Symmetriegründen muss die Gerade R durch M, die senkrecht auf AB steht, orthogonal zur Achse L sein. Daher ist R ein Radius. Ebenfalls aus Symmetriegründen halbiert R den Bogen AB.
  • Achse und Abstand eines Hyperzyklus sind eindeutig bestimmt. Nehmen wir an, ein Hyperzyklus C habe zwei verschiedene Achsen L1 und L2. Mithilfe der vorherigen Eigenschaft und zwei verschiedenen Sehnen können wir zwei verschiedene Radien R1 und R2 bestimmen. R1 und R2 müssten dann senkrecht auf L1 und L2 stehen, was ein Rechteck ergäbe. Dies ist ein Widerspruch, da ein Rechteck in der hyperbolischen Geometrie nicht existiert.
  • Zwei Hyperzyklen haben genau dann gleiche Abstände, wenn sie kongruent sind. Sind sie gleich lang, genügt es, die Achsen durch eine starre Bewegung zur Deckung zu bringen. Dann stimmen auch alle Radien überein. Da der Abstand gleich ist, fallen auch die Punkte der beiden Hyperzyklen zusammen. Umgekehrt gilt: Sind sie kongruent, muss der Abstand gemäß der vorherigen Eigenschaft gleich sein.
  • Eine Gerade schneidet einen Hyperzyklus in höchstens zwei Punkten. Die Gerade K schneidet den Hyperzyklus C in zwei Punkten A und B. Wie zuvor kann man den Radius R von C durch den Mittelpunkt M von AB konstruieren. K ist ultraparallel zur Achse L, da sie die gemeinsame Senkrechte R haben. Zwei ultraparallele Geraden haben zudem minimalen Abstand an der gemeinsamen Senkrechten und einen monoton wachsenden Abstand mit zunehmendem Abstand von der Senkrechten. Das bedeutet, dass die Punkte von K innerhalb von AB einen kleineren Abstand von L haben als der gemeinsame Abstand von A und B zu L, während die Punkte von K außerhalb von AB einen größeren Abstand haben. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass kein anderer Punkt von K auf C liegen kann.
  • Zwei Hyperzyklen schneiden sich in höchstens zwei Punkten. Seien C1 und C2 Hyperzyklen, die sich in drei Punkten A, B und C schneiden. Wenn R1 die Gerade ist, die orthogonal zu AB durch ihren Mittelpunkt verläuft, dann ist sie ein Radius von C1 und C2. Analog konstruiert man R2, den Radius durch den Mittelpunkt von BC. R1 und R2 sind gleichzeitig orthogonal zu den Achsen L1 bzw. L2 von C1 und C2. Es wurde bereits gezeigt, dass L1 und L2 dann übereinstimmen müssen, denn andernfalls ergäbe sich ein Rechteck. Dann haben C1 und C2 dieselbe Achse und mindestens einen gemeinsamen Punkt. Daher haben sie denselben Abstand und stimmen überein.
  • Drei Punkte eines Hyperzyklus sind nicht kollinear. Sind die Punkte A, B und C eines Hyperzyklus kollinear, so liegen die Sehnen AB und BC auf derselben Geraden K. Seien R1 und R2 die Radien durch die Mittelpunkte von AB und BC. Wir wissen, dass die Achse L des Hyperzyklus die gemeinsame Senkrechte von R1 und R2 ist. Da K diese gemeinsame Senkrechte ist, muss der Abstand null sein, und der Hyperzyklus degeneriert zu einer Geraden.
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