Poincaré-Kreisscheibenmodell

In der Geometrie ist das Poincaré-Kreisscheibenmodell ein Modell der zweidimensionalen hyperbolischen Geometrie. Alle Punkte liegen innerhalb des Einheitskreises. Geraden sind entweder Kreisbögen, die orthogonal zum Einheitskreis verlaufen, oder Durchmesser des Einheitskreises.

Die Gruppe der orientierungserhaltenden Isometrien des Poincaré-Kreisscheibenmodells ist gegeben durch die projektive spezielle unitäre Gruppe ${\displaystyle \mathrm {PSU} (1,1)}$, den Quotienten der speziellen unitären Gruppe ${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)}$ nach ihrem Zentrum.

Zusammen mit dem Beltrami-Klein-Modell und dem Poincaré-Halbebenenmodell wurde es von Eugenio Beltrami vorgeschlagen. Es ist nach Henri Poincaré benannt, da dessen Wiederentdeckung dieser Darstellung vierzehn Jahre später bekannter wurde als Beltramis ursprüngliche Arbeit.

Hyperbolische Geraden bestehen aus allen Kreisbögen euklidischer Kreise innerhalb der Kreisscheibe, die orthogonal zum Kreisrand verlaufen, sowie aus allen Kreisdurchmessern. Es seien zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ innerhalb der Kreisscheibe gegeben. Die eindeutige hyperbolische Gerade, die diese Punkte verbindet, schneidet den Kreisrand in zwei idealen Punkten ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$. Diese Punkte werden so benannt, dass sie in der Reihenfolge ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle p}$, ${\displaystyle q}$, ${\displaystyle b}$ auf dem Kreisbogen liegen, also gilt ${\displaystyle |aq|>|ap|}$ und ${\displaystyle |pb|>|qb|}$.

Der hyperbolische Abstand zwischen ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ beträgt dann

${\displaystyle d(p,q)=\ln \left({\frac {|aq|\cdot |pb|}{|ap|\cdot |qb|}}\right)}$

Die vertikalen Striche geben die euklidische Länge der Verbindungsstrecke zwischen den Punkten im Modell an.

Sind ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ zwei Vektoren im reellen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit der üblichen euklidischen Norm, deren Norm jeweils kleiner als 1 ist, so lässt sich eine isometrische Invariante definieren durch:

${\displaystyle \delta (u,v)=2\cdot {\frac {\lVert u-v\rVert ^{2}}{(1-\lVert u\rVert ^{2})\cdot (1-\lVert v\rVert ^{2})}}}$

wobei ${\displaystyle \lVert \rVert }$ die übliche euklidische Norm bezeichnet. Dann ist die Abstandsfunktion wie folgt definiert:

${\displaystyle {\begin{aligned}d(u,v)&=\operatorname {arcosh} (1+\delta (u,v))\\&=2\cdot \operatorname {arsinh} \left({\sqrt {\frac {\delta (u,v)}{2}}}\right)\\&=2\cdot \ln \left({\frac {\lVert u-v\rVert +{\sqrt {\lVert u\rVert ^{2}\cdot \lVert v\rVert ^{2}-2\cdot u\cdot v+1}}}{\sqrt {(1-\lVert u\rVert ^{2})\cdot (1-\lVert v\rVert ^{2})}}}\right)\end{aligned}}}$

Eine solche Abstandsfunktion ist für je zwei Vektoren mit Norm kleiner als 1 definiert und bildet aus der Menge dieser Vektoren einen metrischen Raum, der ein Modell des hyperbolischen Raums mit konstanter Krümmung −1 darstellt. Das Modell besitzt die konforme Eigenschaft, dass der Winkel zwischen zwei sich schneidenden Kurven im hyperbolischen Raum mit dem Winkel im Modell übereinstimmt. Im Spezialfall, dass einer der Punkte der Ursprung ist und der euklidische Abstand zwischen den Punkten ${\displaystyle r}$ beträgt, ergibt sich der hyperbolische Abstand:$${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\right)=2\cdot \operatorname {artanh} (r)}$$wobei artanh der Areatangens hyperbolicus ist. Liegen die beiden Punkte auf demselben Radius und liegt der Punkt ${\displaystyle x'=(r',\theta )}$ zwischen dem Ursprung und dem Punkt ${\displaystyle x=(r,\theta )}$, dann ist ihr hyperbolischer Abstand$${\displaystyle \ln \left({\frac {1+r}{1-r}}\cdot {\frac {1-r'}{1+r'}}\right)=2\cdot (\operatorname {artanh} (r)-\operatorname {artanh} (r'))}$$Dies reduziert sich auf den vorherigen Spezialfall, wenn ${\displaystyle r'=0}$.

Der zugehörige metrische Tensor des Poincaré-Scheibenmodells ist gegeben durch^[1]

${\displaystyle ds^{2}=4\cdot {\frac {\sum _{i}dx_{i}^{2}}{\left(1-\sum _{i}x_{i}^{2}\right)^{2}}}={\frac {4\cdot \lVert d\mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}}{\left(1-\lVert \mathbf {x} \rVert {\vphantom {l}}^{2}\right)^{2}}}}$

wobei die ${\displaystyle x_{i}}$ die kartesischen Koordinaten des umgebenden euklidischen Raums sind.

Ein bezüglich dieser Riemannschen Metrik orthonormales Bezugssystem ist gegeben durch

${\displaystyle e_{i}={\frac {1}{2}}\cdot \left(1-|\mathbf {x} |^{2}\right){\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

Das Poincaré-Kreisscheibenmodell und das Poincaré-Halbebenenmodell sind durch eine Möbiustransformation miteinander verknüpft. Ist ${\displaystyle u\in D}$ eine komplexe Zahl mit Norm kleiner als eins, also ${\displaystyle \|u\|<1}$, die einen Punkt des Poincaré-Kreisscheibenmodells darstellt, so ergibt sich der entsprechende Punkt ${\displaystyle z\in H}$ der oberen Halbebene durch die Inverse der Cayley-Transformation ${\textstyle C\colon H\to D}$:

${\displaystyle C^{-1}(u)=z=i\cdot {\frac {1+u}{1-u}}}$

Die Umkehrfunktion ${\displaystyle C^{-1}}$ bildet die Punkte ${\displaystyle \{0,1,-i,i\}\in D}$ auf ${\displaystyle \{i,\infty ,1,-1\}\in H}$ ab.

Ein Punkt mit den reellen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ im Poincaré-Kreisscheibenmodell wird auf den Punkt ${\displaystyle \left({\frac {2\cdot x}{x^{2}+(1-y)^{2}}},{\frac {1-x^{2}-y^{2}}{x^{2}+(1-y)^{2}}}\right)}$ im Poincaré-Halbebenenmodell abgebildet.

Umgekehrt wird ein Punkt mit den reellen Koordinaten ${\displaystyle (x,y)}$ im Poincaré-Halbebenenmodell wird auf den Punkt ${\displaystyle \left({\frac {2\cdot x}{x^{2}+(1+y)^{2}}},{\frac {x^{2}+y^{2}-1}{x^{2}+(1+y)^{2}}}\right)}$ im Poincaré-Kreisscheibenmodell abgebildet.

• Detlef Lind, Bergische Universität Wuppertal: Nichteuklidische Geometrie
• Rijksuniversiteit Groningen: Hyperbolic geometry
• University of Kentucky, Department of Mathematics: Poincaré’s Disk Model for Hyperbolic Geometry

1. ↑ Comparing metric tensors of the Poincare and the Klein disk models of hyperbolic geometry. In: Stack Exchange. Abgerufen am 11. Dezember 2025 (englisch).