Horozyklus

In der hyperbolischen Geometrie ist ein Horozyklus eine Kurve mit konstanter Krümmung, bei der alle durch einen Punkt auf diesem Horozyklus senkrechten Geodäten (Normalen) parallel zueinander verlaufen und asymptotisch zu einem einzigen idealen Punkt konvergieren, dem Mittelpunkt des Horozyklus.

Im euklidischen Raum sind alle Kurven konstanter Krümmung entweder Geraden oder Kreise. Im hyperbolischen Raum mit Schnittkrümmung −1 gibt es vier Arten von Kurven mit konstanter Krümmung: Geodäten mit Krümmung K = 0, Hyperzyklen mit Krümmung 0 < |K| < 1, Horozyklen mit Krümmung |K| = 1 und Kreise mit Krümmung |K| > 1.

Je zwei Horozyklen sind kongruent und können durch eine Isometrie (Translation und Rotation) der hyperbolischen Ebene zur Deckung gebracht werden.

Ein Horozyklus lässt sich auch als Grenzwert der Kreise beschreiben, die sich in einem gegebenen Punkt berühren, wenn ihre Radien gegen unendlich streben, oder als Grenzwert der Hyperzyklen, die sich in diesem Punkt berühren, wenn die Abstände von ihren Achsen gegen unendlich streben.

Zwei Horozyklen mit demselben Mittelpunkt heißen konzentrisch. Was konzentrische Kreise betrifft, so ist jede Geodäte, die senkrecht zu einem Horozyklus steht, auch senkrecht zu jedem konzentrischen Horozyklus.

Horozyklen in der hyperbolischen Geometrie weisen einige ähnliche Eigenschaften wie Kreise in der euklidischen Geometrie auf:

• Keine drei Punkte eines Horozyklus liegen auf einer Geraden, einem Kreis oder einem Hyperzyklus.
• Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden, einem Kreis oder einem Hyperzyklus liegen, liegen auf einem Horozyklus.
• Ein Horozyklus ist eine symmetrische Figur: Jede Gerade durch seinen Mittelpunkt bildet eine Spiegelachse.
• Eine Gerade, ein Kreis, ein Hyperzyklus oder ein anderer Horozyklus schneidet einen Horozyklus in höchstens zwei Punkten.
• Die Länge eines Kreisbogens eines Horozyklus zwischen zwei Punkten ist größer als die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten.
• Die Mittelsenkrechte einer Sehne verläuft durch den Mittelpunkt des Horozyklus. Daraus ergeben sich folgende äquivalente Aussagen: Eine Senkrechte vom Mittelpunkt eines Horozyklus halbiert die Sehne. Die Strecke durch den Mittelpunkt, die eine Sehne halbiert, steht senkrecht auf der Sehne.
• Eine Senkrechte zu einem Radius durch den Endpunkt des Radius auf dem Horozyklus ist eine Tangente an den Horozyklus.
• Eine Senkrechte zu einer Tangente durch den Berührungspunkt mit dem Horozyklus verläuft durch den Mittelpunkt des Horozyklus.
• Von einem Punkt außerhalb des Horozyklus lassen sich zwei gleich lange Tangenten an den Horozyklus anlegen.
• Die Fläche eines Horozyklussektors (die Fläche zwischen zwei Radien und dem Horozyklus) ist endlich.
• Wenn C der Mittelpunkt eines Horozyklus ist und A und B Punkte auf dem Horozyklus sind, dann sind die Winkel CAB und CBA gleich groß.

Horozyklen haben folgende weitere Eigenschaften:

• Durch jedes Punktepaar verlaufen zwei Horozyklen. Die Mittelpunkte der Horozyklen sind die idealen Punkte der Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecke.
• Alle Horozyklen sind kongruent.
• Die Länge eines Horozyklusbogens zwischen zwei Punkten ist größer als die Länge der Strecke zwischen diesen beiden Punkten, größer als die Länge des Hyperzyklusbogens zwischen diesen beiden Punkten und kleiner als die Länge eines beliebigen Kreisbogens zwischen diesen beiden Punkten.
• Während die Fläche eines Horozyklussektors endlich ist, ist die Gesamtfläche eines Horozyklus unendlich, denn ein Horozyklus kann in unendlich viele gleich große Sektoren unterteilt werden.
• Ein regelmäßiges Apeirogon kann von zwei konzentrischen Horozyklen umbeschrieben und einbeschrieben werden.
• Der Abstand eines Horozyklus zu seinem Mittelpunkt ist unendlich.

Ist ${\displaystyle h_{1}(p_{1},q_{1})}$ ein Horozyklus mit Mittelpunkt ${\displaystyle \left({\frac {p_{1}}{q_{1}}},{\frac {1}{2\cdot q_{1}^{2}}}\right)}$ und Radius ${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot q_{1}^{2}}}}$ und ${\displaystyle h_{2}(p_{2},q_{2})}$ ein Horozyklus mit Mittelpunkt ${\displaystyle \left({\frac {p_{2}}{q_{2}}},{\frac {1}{2\cdot q_{2}^{2}}}\right)}$ und Radius ${\displaystyle {\frac {1}{2\cdot q_{2}^{2}}}}$, dann ist der vorzeichenbehaftete Abstand dieser Horozyklen gleich^[1]

${\displaystyle d(h_{1},h_{2})=2\cdot \ln \left(p_{1}\cdot q_{2}-p_{2}\cdot q_{1}\right)}$

• University of Kentucky, Department of Mathematics: Hypercycles and Horocycles
• Budapest University of Technology and Economics, Department of Algebra and Geometry: Hyperbolic geometry

1. ↑ Boris Springborn: The hyperbolic geometry of Markov’s theorem on Diophantine approximation and quadratic forms. In: L’Enseignement Mathématique. Band 63, Nr. 3, 3. September 2018, ISSN 0013-8584, S. 333–373, doi:10.4171/lem/63-3/4-5 (ems.press [abgerufen am 8. Januar 2026]).