Umkehrregel

Die Umkehrregel ist eine Formel, die einen Zusammenhang zwischen der Ableitung einer Funktion und der Ableitung ihrer Umkehrfunktion herstellt. Genauer besagt sie: Ist eine stetige und streng monotone Funktion ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ auf einem Intervall ${\displaystyle I}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und ist ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, dann gilt mit ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$:

${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$.

Die Umkehrregel ist eine Teilaussage des Satzes von der Umkehrfunktion, der in verschiedenen Ausführungen existiert und jeweils die Differenzierbarkeit der Umkehrfunktion zeigt. Er lässt sich unter anderem für komplexe Funktionen und mehrdimensionale Funktionen formulieren.

Die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion ${\displaystyle y=f(x)=e^{x}}$ ist der natürliche Logarithmus ${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$. Wegen ${\displaystyle f'(x)=e^{x}}$ gilt nach der Umkehrregel

${\displaystyle \ln '(y)={\frac {1}{e^{\ln(y)}}}={\frac {1}{y}}}$.^[1]

Die Funktion ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{y}}=y^{\frac {1}{n}},\ y\geq 0}$ ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion ${\displaystyle y=x^{n},\ x\geq 0}$. Es ist ${\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\neq 0}$ für ${\displaystyle x>0}$. Mit der Umkehrregel erhält man für alle ${\displaystyle x>0}$ die Ableitung von ${\displaystyle y^{\frac {1}{n}}}$ als

${\displaystyle \left(y^{\frac {1}{n}}\right)'={\frac {1}{nx^{n-1}}}={\frac {1}{n}}x^{1-n}}$.

Ersetzt man noch ${\displaystyle x=y^{\frac {1}{n}}}$, so erhält man die Ableitung ausgedrückt bzgl. ${\displaystyle y>0}$:

${\displaystyle \left(y^{\frac {1}{n}}\right)'={\frac {1}{n}}\left(y^{\frac {1}{n}}\right)^{1-n}={\frac {1}{n}}y^{{\frac {1}{n}}-1}}$.^[2][3]

Im Punkt ${\displaystyle y=0}$ ist die Funktion ${\displaystyle y^{\frac {1}{n}}}$ nicht differenzierbar, da der Ausdruck ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}y^{{\frac {1}{n}}-1}}$ gegen unendlich strebt, wenn ${\displaystyle y}$ von links gegen null strebt. Geometrisch hat die Funktion im Nullpunkt eine vertikale Tangente.^[4]

Der Arkussinus ${\displaystyle \arcsin \colon [-1,1]\to \mathbb {R} }$ ist die Umkehrfunktion von ${\displaystyle \sin \colon [-\pi /2,\pi /2]\to \mathbb {R} }$. Arkussinus ist differenzierbar für ${\displaystyle -1<y<1}$. Mit ${\displaystyle \sin '=\cos }$ erhält man nach der Umkehrregel

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\cos \left(\arcsin(y)\right)}}}$.

Der Nenner lässt sich noch vereinfachen: Aus dem trigonometrischen Pythagoras folgt

${\displaystyle \cos(y)={\sqrt {1-\sin ^{2}(y)}}}$

Wegen ${\displaystyle f(f^{-1}(y))=y}$ erhält man damit

${\displaystyle \arcsin '(y)={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\left(\arcsin(y)\right)}}}={\frac {1}{\sqrt {1-y^{2}}}}}$.^[5][6]

Auf analoge Weise leitet man die Ableitungen von Arkuskosinus und Arkustangens aus den Ableitungen von Kosinus bzw. Tangens her.

Diese Herleitung basiert auf der Eigenschaft, dass der Graph der Umkehrfunktion ${\displaystyle f^{-1}}$ aus dem Graphen von ${\displaystyle f}$ durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten hervorgeht. Es wird ein Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$ auf dem Graphen von ${\displaystyle f}$ mit einem zugehörigen Steigungsdreieck betrachtet. Bezeichnet man dessen Katheten mit ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$, so ist ${\displaystyle f'(x_{0})=b/a}$. Durch Spiegelung dieser Konfiguration an der Winkelhalbierenden erhält man den Punkt ${\displaystyle (y_{0},x_{0})}$ auf dem Graphen von ${\displaystyle f^{-1}}$ mit einem zugehörigen Steigungsdreieck. Aus dem ${\displaystyle x}$-Zuwachs wird der ${\displaystyle y}$-Zuwachs und umgekehrt, d. h. ${\displaystyle f'(y_{0})=b/a}$. Die Steigung des Graphen von ${\displaystyle f^{-1}}$ im Punkt ${\displaystyle (y_{0},x_{0})}$ ist also gleich dem Kehrwert der Steigung des Graphen von ${\displaystyle f}$ im Punkt ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$, d. h.

${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$.^[7]

Zur geometrischen Herleitung der Umkehrregel ist eine Spiegelung des Graphen gar nicht nötig, da die Bildung der Umkehrfunktion einfach einer Vertauschung der Variablen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ und damit der Koordinatenachsen entspricht. Der Graph von ${\displaystyle f}$ ist somit zugleich der Graph von ${\displaystyle f^{-1}}$, je nachdem ob man ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ als unabhängige Variable auffasst. Für die Tangente an einer Kurve hat es jedoch keine Bedeutung, ob ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ die unabhängige Variable ist. Es muss also die Bildung der Ableitung der Umkehrfunktion auf die gleiche Gerade als Tangente führen. Wird ${\displaystyle x}$ als unabhängige Variable gesehen, so hat diese Geraden die Steigung ${\displaystyle a/b}$, und ist gleich ${\displaystyle f'(x_{0})}$; wird ${\displaystyle y}$ als unabhängige Variable gesehen, so hat sie die Steigung ${\displaystyle b/a}$, welche zugleich ${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})}$ ist. Also ist

${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$.^[8]

Die Umkehrregel lässt sich durch das formale Rechnen mit Differentialen herleiten: Ist ${\displaystyle y=f(x)}$ eine Funktion mit Ableitung ${\displaystyle y'(x)={\tfrac {dy}{dx}}}$ (Leibniz-Notation) und ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ ihre Umkehrabbildung mit der Ableitung ${\displaystyle x'(y)={\tfrac {dx}{dy}}}$, so erhält man die Umkehrregel durch „Kehrwertbildung“:

${\displaystyle y'(x)={\frac {dx}{dy}}={\frac {1}{\frac {dy}{dx}}}={\frac {1}{x'(y)}}}$.^[2][9][10]

Aus der Identität ${\displaystyle (f\circ f^{-1})(y)=y}$ folgt durch Ableiten auf beiden Seiten

${\displaystyle f'(f^{-1}(y))\cdot (f^{-1})'(y)=1}$.

Mittels Division durch ${\displaystyle f'(f^{-1}(y))\neq 0}$ erhält man hieraus die Umkehrregel.

Damit man die linke Seite der Identität mit der Kettenregel ableiten darf, muss ${\displaystyle f}$ differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle x=f^{-1}(y)}$ mit ${\displaystyle f'(x)\neq 0}$ sein und ${\displaystyle f^{-1}}$ differenzierbar an der Stelle ${\displaystyle y=f(x)}$ sein.^[11][12][13]

Beim Satz von der Umkehrfunktion werden Bedingungen für die Funktion ${\displaystyle f}$ formuliert, welche die Existenz der Ableitung der Umkehrfunktion sicherstellen. Statt im folgenden Satz strenge Monotonie vorauszusetzen, ist es auf Intervallen äquivalent, die Injektivität von ${\displaystyle f}$ zu verlangen.^[12] Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann für den Zielbereich das Intervall ${\displaystyle J=f(I)}$ genutzt werden, wodurch die Bijektivität von ${\displaystyle f}$ und damit die Existenz der Umkehrfunktion gesichert ist. Wird zudem die Differenzierbarkeit statt an nur einer Stelle, auf dem gesamten Intervall gefordert (eine stärkere Bedingung), so kann auf die Annahme der Stetigkeit verzichtet werden.

Sei ${\displaystyle I\subseteq \mathbb {R} }$ ein nicht-triviales Intervall, ${\displaystyle f\colon I\to \mathbb {R} }$ eine stetige, streng monotone Funktion und ${\displaystyle f^{-1}}$ ihre Umkehrfunktion. Ist ${\displaystyle f}$ in ${\displaystyle x_{0}\in I}$ differenzierbar und ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, dann ist ${\displaystyle f^{-1}}$ an der Stelle ${\displaystyle y_{0}=f(x_{0})}$ differenzierbar und es gilt

${\displaystyle (f^{-1})'(y_{0})={\frac {1}{f'(f^{-1}(y_{0}))}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$.^[14]

Eine Möglichkeit, die Aussage zu zeigen, ist über den Differenzenquotienten von Folgen.

Sei ${\displaystyle y_{n}\in f(I)\backslash \{f(x_{0})\}}$ eine beliebige Folge mit ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }y_{n}=f(x_{0})}$ und sei ${\displaystyle x_{n}:=f^{-1}(y_{n})}$. Aus den Voraussetzungen kann man folgern, dass ${\displaystyle f^{-1}}$ bijektiv und stetig ist^[15], daher gilt ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}}$ und ${\displaystyle x_{n}\neq x_{0}}$ für alle ${\displaystyle n}$. Es gilt

${\displaystyle (f^{-1})'(f(x_{0}))=\lim _{n\to \infty }{\frac {f^{-1}(f(x_{n}))-f^{-1}(f(x_{0}))}{y_{n}-f(x_{0})}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}-x_{0}}{f(x_{n})-f(x_{0})}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{\frac {f(x_{n})-f(x_{0})}{x_{n}-x_{0}}}}={\frac {1}{f'(x_{0})}}}$.^[14]

Sei ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ offen, ${\displaystyle f}$ holomorph in ${\displaystyle D}$, ${\displaystyle z_{0}\in D}$ und ${\displaystyle f'(z_{0})\neq 0}$. Dann existiert eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ von ${\displaystyle z_{0}}$ und ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle f(z_{0})}$, sodass ${\displaystyle f|_{U}:U\to V}$ bijektiv und ${\displaystyle f^{-1}}$ holomorph in ${\displaystyle V}$ ist mit

${\displaystyle (f^{-1})'(z)={\frac {1}{f'(f^{-1}(z))}}}$, für alle ${\displaystyle z\in V}$.^[16]

Fordert man die Stetigkeit der ersten Ableitung von ${\displaystyle f}$, so genügt bereits die Voraussetzung ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$, da daraus direkt ${\displaystyle f'\neq 0}$ auf einem kleinen Bereich um ${\displaystyle x_{0}}$ und daraus wiederum die Existenz der Umkehrfunktion von ${\displaystyle f}$ auf diesem kleinen Bereich folgt. Von dieser Grundidee geht man bei der mehrdimensionalen Verallgemeinerung der Umkehrregel, dem Satz von der Umkehrabbildung, aus:

Sei ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ offen, ${\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}}$ eine stetig differenzierbare Funktion, sodass die Jacobi-Matrix ${\displaystyle Df(x_{0})}$ invertierbar ist. Dann ist ${\displaystyle f}$ ein lokaler Homöomorphismus; d. h. es gibt für jedes ${\displaystyle x_{0}\in \Omega }$ eine offene Umgebung ${\displaystyle U}$ und eine offene Umgebung ${\displaystyle V}$ von ${\displaystyle f(x_{0})}$, sodass ${\displaystyle f}$ ein Homöomorphismus von ${\displaystyle U}$ nach ${\displaystyle V}$ ist. Es gilt:

${\displaystyle Df^{-1}(f(x_{0}))=Df(x_{0})^{-1}}$.^[17]

Der Beweis ist ein Korollar des Satzes von der impliziten Funktion.

Der Satz von der Umkehrabbildung ist ein lokales Ergebnis, d. h. er gilt für jeden Punkt. A priori zeigt der Satz also nur, dass die Funktion ${\displaystyle f}$ lokal bijektiv ist. Mit dem folgenden Lemma aus der Topologie kann die lokale Injektivität auf eine globale Injektivität erweitert werden.

Wenn ${\displaystyle A}$ eine abgeschlossene Teilmenge einer (zweitabzählbaren) topologischen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ (oder allgemeiner ein topologischer Raum, der eine kompakte Ausschöpfung zulässt), ${\displaystyle Z}$ ein topologischer Raum, ${\displaystyle f\colon X\to Z}$ ein auf ${\displaystyle A}$ injektiver lokaler Homöomorphismus ist, dann ist ${\displaystyle f}$ injektiv auf einer Umgebung von ${\displaystyle A}$.

Das Lemma impliziert die folgende (in gewisser Weise) globale Version des Satzes von der Umkehrfunktion:

Sei ${\displaystyle f\colon U\to V}$ eine Abbildung zwischen offenen Teilmengen von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ oder allgemeiner von Mannigfaltigkeiten. Angenommen, ${\displaystyle f}$ ist stetig differenzierbar (d. h. ${\displaystyle C^{k}}$). Wenn ${\displaystyle f}$ auf einer abgeschlossenen Teilmenge ${\displaystyle A\subset U}$ injektiv ist und die Jacobi-Matrix von ${\displaystyle f}$ in jedem Punkt von ${\displaystyle A}$ invertierbar ist, dann ist ${\displaystyle f}$ auf einer Umgebung ${\displaystyle A'}$ von ${\displaystyle A}$ injektiv und ${\displaystyle f^{-1}\colon f(A')\to A'}$ ist stetig differenzierbar.^[18]

Wenn ${\displaystyle A}$ ein Punkt ist, dann entspricht dieser Satz dem üblichen Satz von der Umkehrabbildung.

• Faktorregel
• Summenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Kettenregel

• Steffen Goebbels, Stefan Ritter: Mathematik verstehen und anwenden: Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 4. Auflage. Springer Spektrum, 2023, ISBN 978-3-662-68366-8, S. 344–347.
• Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. Springer, Wiesbaden 2023, ISBN 978-3-658-40129-0, S. 237–239.
• Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin u. a. 2004, ISBN 3-540-40371-X, S. 143.
• Richard Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 1971, 3-540-05466-9, S. 128–134.
• Karl Strubecker: Einführung in die Höhere Mathematik. Band II: Differentialrechnung einer reellen Veränderlichen. Oldenbourg, München / Wien 1967, S. 153–156.
• Georg Prange, Werner von Koppenfels: Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung. Erster Band: Funktionen einer reellen Veränderlichen. Springer, Berlin / Heidelberg 1943, ISBN 978-3-540-01337-2, S. 210–211 und S. 266–267.
• Greefrath et al: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 177–179.
• Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 304–305.
• Tilo Arens et al.: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 329–330.
• Edmund Weitz: Konkrete Mathematik (nicht nur) für Informatiker. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin 2021, ISBN 978-3-662-62617-7, S. 573–574.

1. ↑ Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 238. 
2. ↑ ^{a b} Otto Toeplitz: Die Entwicklung der Infinitesimalrechnung (= Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. Band 56). Springer, Berlin / Heidelberg 1949, ISBN 3-642-49496-X, S. 102. 
3. ↑ Goebbels, Richter: Mathematik verstehen und anwenden. 2023, S. 345. 
4. ↑ Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 1971, S. 131. 
5. ↑ Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 239. 
6. ↑ Courant: Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung 1. 1971, S. 132. 
7. ↑ Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 178. 
8. ↑ Prange, von Koppenfels: Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung. 1943, S. 210. 
9. ↑ Prange, von Koppenfels: Vorlesungen über Integral- und Differentialrechnung. 1943, S. 266–267. 
10. ↑ Dietmar Herrmann: Mathematik der Neuzeit. Springer Spektrum, Berlin 2022, ISBN 978-3-662-65416-3, Kapitel 13.15 Der Calculus von Leibniz, S. 436. 
11. ↑ Königsberger: Analysis 1. 2004, S. 143. 
12. ↑ ^{a b} Goebbels, Ritter: Mathematik verstehen und anwenden. Differenzial- und Integralrechnung, Lineare Algebra. 2023, S. 344. 
13. ↑ Arens et al.: Mathematik. 2023, S. 329. 
14. ↑ ^{a b} Otto Forster: Analysis 1. Springer Fachmedien Wiesbaden, Wiesbaden 2016, ISBN 978-3-658-11544-9, S. 172, doi:10.1007/978-3-658-11545-6. 
15. ↑ Forster, Lindemann: Analysis 1. 2023, S. 173. 
16. ↑ Wolf-Patrick Düll: Höhere Analysis. S. 3. 
17. ↑ The inverse function theorem for everywhere differentiable maps. In: What's new. 13. September 2011, abgerufen am 2. Dezember 2025 (englisch). 
18. ↑ Ch. I., § 3, Exercise 10. and § 8, Exercise 14. in V. Guillemin, A. Pollack. "Differential Topology". Prentice-Hall Inc., 1974. ISBN 0-13-212605-2.