Faktorregel

Die Faktorregel^[1][2][3] ist eine Regel zur Ableitung einer Funktion der Form ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$, wobei ${\displaystyle k}$ eine reelle Zahl und ${\displaystyle u(x)}$ eine differenzierbare Funktion ist. In Kurzschreibweise lautet sie

${\displaystyle (k\cdot u)'=k\cdot u'}$.

Der konstante Faktor ${\displaystyle k}$ bleibt also beim Differenzieren erhalten. Die Faktorregel folgt direkt aus der Definition der Ableitung, kann aber auch als Spezialfall der Produktregel aufgefasst werden.

Ist eine Funktion ${\displaystyle u}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und ${\displaystyle k}$ eine reelle Zahl, so ist auch die Funktion ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$ an der Stelle ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar, und es gilt

${\displaystyle f'(x_{0})=k\cdot u'(x_{0})\,.}$

Die Funktion ${\displaystyle f(x)=5x^{2}}$ setzt sich aus ${\displaystyle u(x)=x^{2}}$ und dem konstanten Faktor ${\displaystyle k=5}$ zusammen. Es ist ${\displaystyle u'(x)=2x}$ und mit der Faktorregel folgt

${\displaystyle f'(x)=5\cdot 2x=10x}$.

Sei ${\displaystyle u}$ eine von ${\displaystyle x}$ abhängige Funktion und die Funktion ${\displaystyle f}$ das ${\displaystyle k}$-fache von ${\displaystyle u}$, das heißt ${\displaystyle f=k\cdot u}$. Ändert sich die unabhängige Variable um ${\displaystyle \Delta x}$, so ändert sich ${\displaystyle u}$ um ${\displaystyle \Delta u}$ und ${\displaystyle f}$ entsprechend um das ${\displaystyle k}$-fache, das heißt es ist ${\displaystyle \Delta f=k\cdot \Delta u}$. Hieraus folgt, indem man durch ${\displaystyle \Delta x}$ teilt, die Gleichung

${\displaystyle {\frac {\Delta f}{\Delta x}}=k\cdot {\frac {\Delta u}{\Delta x}}}$.

Lässt man nun ${\displaystyle \Delta x\to 0}$ gehen, so erhält man die Faktorregel.^[4]

Der Graph von ${\displaystyle f=k\cdot u}$ geht aus dem Graphen von ${\displaystyle u}$ durch Streckung in ${\displaystyle y}$-Richtung um den Streckfaktor ${\displaystyle k}$ hervor. Jedes Steigungsdreieck wird dabei ebenfalls in ${\displaystyle y}$-Richtung gestreckt, wodurch sich die Länge der ${\displaystyle y}$-Kathete ver-${\displaystyle k}$-facht, während die ${\displaystyle x}$-Kathete unverändert bleibt. Da diese Ver-${\displaystyle k}$-fachung für alle Steigungsdreiecke gilt, bleibt er auch erhalten, wenn man beliebig kleine Steigungsdreiecke betrachtet und schließlich den Grenzübergang bildet, also von den Sekantensteigungen zur Tangentensteigung übergeht.^[5][6]

Sei ${\displaystyle u(x)}$ bei ${\displaystyle x_{0}}$ differenzierbar und ${\displaystyle f(x)=k\cdot u(x)}$. Dann konvergiert ${\textstyle {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für ${\displaystyle x\to x_{0}}$ gegen ${\displaystyle u'(x_{0})}$. Nach den Grenzwertsätzen konvergiert dann aber auch ${\textstyle k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}}$ für ${\displaystyle x\to x_{0}}$, und zwar gegen ${\displaystyle k\cdot u'(x_{0})}$. Damit folgt

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}{\frac {k\cdot u(x)-k\cdot u(x_{0})}{x-x_{0}}}=\lim _{x\to x_{0}}k\cdot {\frac {u(x)-u(x_{0})}{x-x_{0}}}=k\cdot u'(x_{0}).}$^[3]

• Summenregel
• Produktregel
• Quotientenregel
• Umkehrregel
• Kettenregel

Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167–168.

1. ↑ Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler Band 1. 14. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-05619-3, S. 331. 
2. ↑ Ilja Nikolajewitsch Bronschtein, Konstantin Adolfowitsch Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 5. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Thun und Frankfurt am Main 2001, ISBN 3-8171-2005-2, S. 394. 
3. ↑ ^{a b} Greefrath et al.: Didaktik der Analysis. 2016, S. 167. 
4. ↑ G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung 1. VEB Verlag der deutschen Wissenschaften, Berlin 1989, ISBN 3-326-00398-6, S. 185 (archive.org). 
5. ↑ Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 208. 
6. ↑ Gilbert Greefrath u. a.: Didaktik der Analysis (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). 1. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-48876-8, S. 167 f.