Satz von Lovelock

Der Satz von Lovelock ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie, einem Teilgebiet der Physik, ein wichtiger Satz über die Struktur der Einsteinschen Feldgleichungen, welche Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschreiben. Benannt ist der Satz nach David Lovelock, der diesen im Jahr 1971 beschrieb. Auf dessen Grundlage entstand zudem die Lovelock-Gravitation, eine möglichst allgemeine Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie in höheren Dimensionen.

Der Satz von Lovelock besagt, dass jeder Riemann-Tensor ${\displaystyle A}$, welcher aus dem metrischen Tensor sowie dessen ersten und zweiten Ableitungen gebildet wird und zudem linear in den zweiten Ableitungen ist, eine Linearkombination aus dem Einstein-Tensor ${\displaystyle G}$ und dem metrischen Tensor ${\displaystyle g}$ selbst ist, also:

${\displaystyle A_{\mu \nu }=aG_{\mu \nu }+bg_{\mu \nu }=a\left(R_{\mu \nu }-{\frac {R}{2}}g_{\mu \nu }\right)+bg_{\mu \nu }.}$

Genau die obigen Bedingungen werden bei der Konstruktion der Einsteinschen Feldgleichungen gefordert, wodurch der Satz von Lovelock zur wichtigen Aussage wird, dass diese dann nur zwei zu bestimmende Parameter hat. ${\displaystyle a}$ kann durch den nichtrelativistischen Newtonschen Grenzfall festgelegt werden und ${\displaystyle b}$, besser bekannt als kosmologische Konstante ${\displaystyle \Lambda }$, durch kosmologische Messungen. Dabei beschreibt der hintere Term das noch unverstandene Phänomen der dunkle Energie und wurde in den ursprünglichen Einsteinschen Feldgleichungen zunächst nicht beachtet. Als Albert Einstein und Willem de Sitter im Jahr 1917 damit die damals gängige Vorstellung eines statischen (also unveränderlichen) Universums beschreiben wollten war die Einführung zur Vermeidung von Instabilität durch einen unvermeidbaren Gravitationskollaps notwendig. Nach dem Satz von Lovelock gab es ohne die Aufgabe der ursprünglichen Konstruktionsbedingungen also nur eine einzige Möglichkeit dafür. Nach der Entdeckung der beschleunigten Expansion des Universums von Georges Lemaître im Jahr 1927 bezeichnete Albert Einstein den Term laut George Gamov jedoch berühmterweise als „größte Eselei meines Lebens“.

Weitere kosmologische Entdeckungen machten den Term jedoch wieder relevant. Da jedoch weiterhin keine komplette Übereinstimmung erzielt ist, weichen zahlreiche alternative Gravitationstheorien auf Modifikationen aus, welche nach dem Satz von Lovelock zwingend auch die Aufgabe der obigen Bedingungen fordern. Etwa sind diese nicht mehr linear in den zweiten Ableitungen des metrischen Tensors oder enthalten zusätzlich höhere Ableitungen. Ein bekanntes Beispiel ist die Gauß-Bonnet-Gravitation.

• Satz von Vermeil

• David Lovelock: The Einstein Tensor and Its Generalizations. In: Journal of Mathematical Physics. 12. Jahrgang, Nr. 3, 1971, S. 498–501, doi:10.1063/1.1665613 (englisch). 
• David Lovelock: The Four-Dimensionality of Space and the Einstein Tensor. In: Journal of Mathematical Physics. 13. Jahrgang, Nr. 6, 10. Januar 1972, S. 874–876, doi:10.1063/1.1666069 (englisch).