Gauß-Bonnet-Gravitation

Gauß-Bonnet-Gravitation ist in der Allgemeinen Relativitätstheorie, einem Teilgebiet der Physik, eine spezielle Modifikation der Einsteinschen Feldgleichungen, welche Gravitation als Krümmung der Raumzeit beschreiben und sich aus der Einstein-Hilbert-Wirkung ergeben. Genau diese wird für die Gauß-Bonnet-Gravitation mit anderen Krümmungstermen betrachtet, nämlich genau denen aus dem Satz von Gauß-Bonnet, gemäß welchem die Integration darüber in vier Dimensionen genau die Euler-Charakteristik ergibt. Aus diesem Grund ist Gauß-Bonnet-Gravitation nur in höheren Dimensionen nicht trivial, in welchen es zudem ein Spezialfall der Lovelock-Gravitation ist. Benannt ist Gauß-Bonnet-Gravitation nach Carl Friedrich Gauß und Pierre Ossian Bonnet.

In ${\displaystyle D}$ Dimensionen sind der Gauß-Bonnet-Term und die Einstein-Hilbert-Wirkung der Gauß-Bonnet-Gravitation mit dem Riemannschen Krümmungstensor ${\displaystyle R_{\kappa \lambda \mu \nu }}$, Ricci-Tensor ${\displaystyle R_{\mu \nu }}$ und Ricci-Skalar ${\displaystyle R}$ jeweils gegeben durch:

${\displaystyle {\mathcal {G}}=R_{\kappa \lambda \mu \nu }R^{\kappa \lambda \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+R^{2};}$

${\displaystyle S_{\mathrm {EH} }(g)=\int _{M}{\mathcal {G}}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} ^{D}x.}$

In vier Dimensionen ergibt sich dabei die konstante Euler-Charakteristik:

${\displaystyle \chi (M)=\int _{M}{\mathcal {G}}{\sqrt {-g}}\mathrm {d} ^{D}x.}$