Windschiefe

In der Geometrie heißen zwei Geraden windschief^[1] (seltener kreuzend^[2]), wenn sie sich weder schneiden noch parallel zueinander sind. Dies ist im zweidimensionalen Raum nicht möglich, da hier alle denkbaren Geraden in der gleichen Ebene liegen und sich entweder schneiden oder parallel sind. Windschiefe Geraden gibt es daher nur in mindestens dreidimensionalen Räumen.

Das Wort „windschief“ stammt von der Vorstellung, dass zwei ursprünglich parallele Geraden um ihre Verbindungsachse (Transversale) „gewunden“, also verdreht wurden.^[3]

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, die Windschiefe von zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ nachzuweisen:

• Die Windschiefe lässt sich direkt anhand der Definition nachweisen. Es muss also gezeigt werden, dass die Geraden nicht parallel zueinander sind und sich außerdem nicht schneiden.

• Alternativ genügt es zu zeigen, dass ein Richtungsvektor von ${\displaystyle g}$, ein Richtungsvektor von ${\displaystyle h}$ und ein Verschiebungsvektor von einem Punkt auf ${\displaystyle g}$ zu einem Punkt auf ${\displaystyle h}$ linear unabhängig sind.^[4]
• Äquivalent kann man zeigen, dass es keine Ebene gibt, die beide Geraden enthält.^[5]

Das Gemeinlot zweier Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ist die eindeutig bestimmte Strecke, die im rechten Winkel zu den beiden Geraden steht. Seine Länge definiert den Abstand ${\displaystyle d=d(g,h)}$ der beiden Geraden.

Gegeben seien die windschiefen Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ mit den Stützpunkten ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ bzw. den Stützvektoren ${\displaystyle {\vec {a}}={\overrightarrow {OA}},\;{\vec {b}}={\overrightarrow {OB}}}$ und den Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$. Dann sind die Parameterformen der Geradengleichungen

${\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}}$

${\displaystyle h\colon \ {\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$,

wobei ${\displaystyle {\vec {a}},\,{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ist und die drei Vektoren ${\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}},\,{\vec {v}},\,{\vec {w}}}$ linear unabhängig sein müssen.

Ein Normalenvektor ${\displaystyle {\vec {n}}}$, der senkrecht auf den beiden Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {w}}}$ steht, lässt sich über das Kreuzprodukt berechnen als ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$. Durch Normierung erhält man den Einheitsnormalenvektor

${\displaystyle {\vec {n}}_{0}={\frac {{\vec {v}}\times {\vec {w}}}{|{\vec {v}}\times {\vec {w}}|}}}$.

Die Berechnung des Abstandes ist möglich durch die orthogonale Projektion des Verbindungsvektors der Stützpunkte auf den Normalenvektor. Dazu wird der Normalenvektor auf die Länge 1 gebracht. Der Abstand der beiden windschiefen Geraden beträgt dann^[6]

${\displaystyle d(g,h)=|({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot {\vec {n}}_{0}|}$.

Die beiden Geradengleichungen lauten ausgeschrieben

${\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\[0.7ex]a_{2}\\[0.7ex]a_{3}\end{pmatrix}}+r{\begin{pmatrix}v_{1}\\[0.7ex]v_{2}\\[0.7ex]v_{3}\end{pmatrix}}}$,

${\displaystyle h\colon \ {\vec {x}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\[0.7ex]b_{2}\\[0.7ex]b_{3}\end{pmatrix}}+s{\begin{pmatrix}w_{1}\\[0.7ex]w_{2}\\[0.7ex]w_{3}\end{pmatrix}}\ \ \,r,s\in \mathbb {R} }$.

Der Abstand der beiden windschiefen Geraden mit Hilfe der Determinante det beträgt dann

${\displaystyle d(g,h)={\frac {\left|\det {\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}&a_{2}-b_{2}&a_{3}-b_{3}\\v_{1}&v_{2}&v_{3}\\w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{pmatrix}}\right|}{\sqrt {{\begin{vmatrix}v_{2}&v_{3}\\w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}v_{3}&v_{1}\\w_{3}&w_{1}\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}v_{1}&v_{2}\\w_{1}&w_{2}\end{vmatrix}}^{2}}}}}$.

Den Lotfußpunkt ${\displaystyle F_{h}}$ erhält man, indem man eine Hilfsebene ${\displaystyle E}$ aufstellt. Der Punkt ${\displaystyle A}$ liegt auf der Hilfsebene, ${\displaystyle {\vec {v}}}$ und ${\displaystyle {\vec {n}}}$ spannen die Hilfsebene auf.

${\displaystyle E\colon \ {\vec {x}}={\vec {a}}+r{\vec {v}}+t{\vec {n}}\ \ ,r,t\in \mathbb {R} }$,

wobei der Normalenvektor bestimmt wird durch

${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {v}}\times {\vec {w}}}$.

Der Schnittpunkt von ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle h}$ ergibt den Lotfußpunkt ${\displaystyle F_{h}}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{h}={\frac {{\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{1}-{\vec {b}}\cdot {\vec {n}}_{1}}{{\vec {w}}\cdot {\vec {n}}_{1}}}{\vec {w}}+{\vec {b}}}$ mit ${\displaystyle {\vec {n}}_{1}={\vec {v}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$

Analog erhält man ${\displaystyle F_{g}}$ mit der Ebene ${\displaystyle E'\colon \ {\vec {x}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}+t{\vec {n}}\ \ \,s,t\in \mathbb {R} }$ und ihrem Schnittpunkt mit ${\displaystyle g}$:

${\displaystyle {\vec {F}}_{g}={\frac {{\vec {b}}\cdot {\vec {n}}_{2}-{\vec {a}}\cdot {\vec {n}}_{2}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {n}}_{2}}}{\vec {v}}+{\vec {a}}\quad }$mit ${\displaystyle \quad {\vec {n}}_{2}={\vec {w}}\times ({\vec {v}}\times {\vec {w}})}$.

Bei dieser Methode muss der Abstand ${\displaystyle d}$ nicht berechnet werden.

Die Lotfußpunkte können auch so bestimmt werden, dass man die beiden (vorerst unbekannten) Punkte ansetzt:

${\displaystyle {\vec {F}}_{h}={\vec {a}}+r{\vec {v}}\quad }$und${\displaystyle \quad {\vec {F}}_{g}={\vec {b}}+s{\vec {w}}}$

und dann einen entlang ${\displaystyle {\vec {n}}}$ verschiebt und ihn mit dem anderen zur Deckung bringt:

${\displaystyle {\vec {a}}+r{\vec {v}}+u{\vec {n}}={\vec {b}}+s{\vec {w}}}$.

Eine zeilenweise Auflösung ergibt ein System mit drei Variablen: ${\displaystyle r}$, ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle s}$. Die Fußpunkte sind dann:

${\displaystyle {\vec {a}}+r{\vec {v}}\quad }$und${\displaystyle \quad {\vec {b}}+s{\vec {w}}}$.

Der Abstand ${\displaystyle d}$ ergibt sich aus ${\displaystyle |u{\vec {n}}|}$.

• M. Jeger, B. Eckmann: Einführung in die vektorielle Geometrie und lineare Algebra für Ingenieure und Naturwissenschafter. Birkhäuser Verlag, Basel / Stuttgart 1967. 
• Joachim Köhler et al.: Analytische Geometrie und Abbildungsgeometrie in vektorieller Darstellung. Diesterweg-Verlag, Frankfurt am Main 1971, ISBN 3-425-05302-7
• Wilmut Kohlmann et al.: Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Vieweg-Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-594-10826-0
• Elisabeth und Friedrich Barth, Gert Krumbacher: Anschauliche Analytische Geometrie. Oldenbourg-Verlag, München 1997, ISBN 3-486-03500-2

1. ↑ Meyers Rechenduden. Bibliographisches Institut, Mannheim 1960, S. 807
2. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11. Auflage. Europa-Lehrmittel, Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 155. 
3. ↑ DWDS – Digitales Wörterbuch der deutschen Sprache. Abgerufen am 20. Mai 2021. 
4. ↑ Schülerduden Die Mathematik II. 3. Auflage. Dudenverlag, Mannheim / Wien / Zürich 1991, ISBN 3-411-04273-7, S. 439. 
5. ↑ Analytische Geometrie: Lehrbuch für die Sekundarstufe II; Gymnasium. Leistungskurs. Volk und Wissen, Berlin 2000, ISBN 3-06-001173-7, S. 144. 
6. ↑ Andreas Filler: Elementare Lineare Algebra (= Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II). Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2011, ISBN 978-3-8274-2412-9, S. 164.