Gemeinlot

Das Gemeinlot ist ein Begriff aus der Mathematik insbesondere aus der analytischen Geometrie. Zu zwei Geraden bezeichnet es eine Gerade oder Strecke, die sowohl Lot der einen als auch Lot der anderen Gerade ist, also „gemeinsames“ Lot ist. Verlaufen die beiden Geraden windschief zueinander, so ist das Gemeinlot eindeutig bestimmt; in diesem Fall ist es (als Strecke aufgefasst) die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden, und seine Länge definiert deren Abstand zwischen den beiden Geraden.

Das Gemeinlot zweier Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ist eine Gerade oder Strecke, welche ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ unter rechtem Winkel schneidet.^[1][2][3]

Im dreidimensionalen Raum seien zwei Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ gegeben durch die Parametergleichungen

${\displaystyle g\colon \ {\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {u}};\qquad h\colon \ {\vec {x}}={\vec {b}}+\mu {\vec {v}}}$.

Ist ${\displaystyle {\vec {n}}}$ ein Normalenvektor der Richtungsvektoren ${\displaystyle {\vec {u}}}$ und ${\displaystyle {\vec {v}}}$, beispielsweise das Kreuzprodukt ${\displaystyle {\vec {n}}={\vec {u}}\times {\vec {v}}}$, so entspricht der Ansatz

${\displaystyle {\vec {a}}+\lambda {\vec {u}}+\nu {\vec {n}}={\vec {b}}+\mu {\vec {v}}}$

einem linearen Gleichungssystem, das sich nach ${\displaystyle \lambda }$, ${\displaystyle \mu }$ und ${\displaystyle \nu }$ auflösen lässt. Einsetzen dieser Parameterwerte in die Gleichungen der Geraden ${\displaystyle g}$ und ${\displaystyle h}$ ergibt die Ortsvektoren der beiden Fußpunkte des Gemeinlotes und damit dessen Gleichung.

Das Gemeinlot zweier Geraden ist die kürzeste Verbindungsstrecke zwischen den beiden Geraden.^[4] Deshalb definiert man den Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden als Länge ihres Gemeinlots.

• Abstand zwischen zwei windschiefen Geraden

• Tilo Arens, Rolf Busam, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Grundwissen Mathematikstudium. 2. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-63312-0, S. 249–250. 
• Tilo Arens, Frank Hettlich, Christian Karpfinger, Ulrich Kockelkorn, Klaus Lichtenegger, Hellmut Stachel: Mathematik. 5. Auflage. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2023, ISBN 978-3-662-64388-4, S. 721–723. 

1. ↑ Kurt Peter Müller: Raumgeometrie. 2. Auflage. Vieweg+Teubner, Wiesbaden 2004, ISBN 3-519-12397-5, S. 15. 
2. ↑ Arens et al.: Mathematik. 2023, S. 721. 
3. ↑ Christian Karpfinger, Hellmuth Stachel: Lineare Algebra. 1. Aufl. 2020. Springer Berlin Heidelberg, Berlin, Heidelberg 2020, ISBN 978-3-662-61339-9. 
4. ↑ Arens et al.: Mathematik. 2023, S. 249.