Stiefel-Whitney-Zahl

Stiefel-Whitney-Zahlen sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle charakteristische Zahlen. Es sind binäre topologischen Invarianten für reelle Vektorbündel, welche aus deren Stiefel-Whitney-Klassen berechnet werden. Insbesondere gibt es diese auch für glatte Mannigfaltigkeiten über deren Tangentialbündel. Nach dem Satz von Pontrjagin-Thom sind zwei glatte Mannigfaltigkeiten genau dann unorientiert bordant, wenn alle ihre Stiefel-Whitney-Zahlen übereinstimmen. Zwei orientierbare glatte 5-Mannigfaltigkeiten sind genau dann bordant, wenn ihre jeweilige De-Rham-Invariante, eine spezielle Stiefel-Whitney-Zahl, übereinstimmt.

Sei ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ ein reelles Vektorbündel über einer ${\displaystyle n}$-dimensionalen Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer eindeutigen Fundamentalklasse ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M,\mathbb {Z} _{2})\cong \mathbb {Z} _{2}}$ und ${\displaystyle i_{1}+\ldots +i_{r}=n}$ eine Partition. Mit der Kronecker-Paarung und dem Cup-Produkt ist die Stiefel-Whitney-Zahl von ${\displaystyle E}$ zu dieser Partition:^[1]

${\displaystyle w_{i_{1}}\ldots w_{i_{r}}[E]:=\langle w_{i_{1}}(E)\smile \ldots \smile w_{i_{r}}(E),[M]\rangle \in \mathbb {Z} _{2}.}$

Stiefel-Whitney-Zahlen werden für gewöhnlich für deren Tangentialbündel verwendet mit der Kurznotation:

${\displaystyle w_{i_{1}}\ldots w_{i_{r}}[M]:=w_{i_{1}}\ldots w_{i_{r}}[TM]}$.

• Alle Stiefel-Whitney-Zahlen einer 3-Mannigfaltigkeit verschwinden.^[2]
• Für eine ${\displaystyle n}$-dimensionale Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ ist ihre letzte Stiefel-Whitney-Klasse die Reduktion ihrer Euler-Klasse, also ${\displaystyle w_{n}(TM)=e(TM)\operatorname {mod} 2}$.^[3][4] Gemäß des Satzes von Chern-Gauß-Bonnet stellt die Euler-Klasse genau die Euler-Charakteristik dar. Mit einer Fundamentalklasse ${\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} }\in H^{n}(M,\mathbb {Z} )}$ und dessen Reduktion ${\displaystyle [M]_{\mathbb {Z} _{2}}=[M]_{\mathbb {Z} }\operatorname {mod} 2\in H^{n}(M,\mathbb {Z} _{2})}$ ist konkret:^[5]

${\displaystyle w_{n}[M]=\langle w_{n}(TM),[M]_{\mathbb {Z} _{2}}\rangle =\langle e(TM),[M]_{\mathbb {Z} }\rangle \operatorname {mod} 2=\chi (M)\operatorname {mod} 2.}$

Insbesondere verschwindet die Euler-Charakteristik immer für ${\displaystyle n}$ ungerade als Folge von dessen Definition als alternierender Summe und der Poincaré-Dualität von ${\displaystyle M}$.

• Für eine komplexe Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ sind dessen gerade Stiefel-Whitney-Klassen die Reduktionen von dessen Chern-Klassen, also ${\displaystyle w_{2i}(M)=c_{i}(M)\operatorname {mod} 2\in H^{2i}(M,\mathbb {Z} _{2})}$. Daher sind dessen aus geraden Partitionen bestehende Stiefel-Whitney-Zahlen die Reduktionen von dessen Chern-Zahlen:

${\displaystyle w_{2i_{1}}\ldots w_{2i_{r}}[M]=c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[M]\operatorname {mod} 2.}$

Die folgenden beiden Resultate sind Hin- und Rückrichtung einer Äquivalenz, die gemeinsam auch als Satz von Pontrjagin-Thom bezeichnet werden:

• Satz von Pontrjagin: Alle Stiefel-Whitney-Zahlen des Randes einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit verschwinden.^[6]
• Satz von Thom: Wenn alle Stiefel-Whitney-Zahlen einer geschlossenene glatten Mannigfaltigkeit verschwinden, dann ist es der Rand einer kompakten glatten Mannigfaltigkeit.^[7]

Die Stiefel-Whitney-Zahlen des reellen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ sind gegeben durch:

${\displaystyle w_{i_{1}}\ldots w_{i_{r}}[\mathbb {R} P^{n}]={\binom {n+1}{i_{1}}}\ldots {\binom {n+1}{i_{r}}}\operatorname {mod} 2.}$

Mit den Chern-Zahlen des komplexen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$ sind dessen Stiefel-Whitney-Zahlen gegeben durch:

${\displaystyle w_{2i_{1}}\ldots w_{2i_{r}}[\mathbb {C} P^{n}]=c_{i_{1}}\ldots c_{i_{r}}[\mathbb {C} P^{n}]\operatorname {mod} 2={\binom {n+1}{i_{1}}}\ldots {\binom {n+1}{i_{r}}}\operatorname {mod} 2.}$

Eine 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ hat fünf Stiefel-Whitney-Zahlen, nämlich ${\displaystyle w_{1}^{4}[M]}$, ${\displaystyle w_{1}^{2}w_{2}[M]}$, ${\displaystyle w_{1}w_{3}[M]}$, ${\displaystyle w_{2}^{2}[M]}$ und ${\displaystyle w_{4}[M]}$. Ist ${\displaystyle M}$ orientierbar, also genau dann wenn ${\displaystyle w_{1}(M)=0}$,^[8] dann verschwinden die vorderen drei automatisch. Nach dem Signatursatz von Hirzebruch^[9] für die Signatur und dem Satz von Chern-Gauß-Bonnet^[10] für die Euler-Charakteristik gilt jeweils:

${\displaystyle \langle p_{1}(TM),[M]_{\mathbb {Z} }\rangle =3\sigma (M);}$

${\displaystyle \langle e(TM),[M]_{\mathbb {Z} }\rangle =\chi (M).}$

Mit den Reduktionen ${\displaystyle w_{2}^{2}(TM)=p_{1}(TM)\operatorname {mod} 2}$^[11] und ${\displaystyle w_{4}(TM)=e(TM)\operatorname {mod} 2}$^[3] ergeben sich damit:^[10]

${\displaystyle w_{2}^{2}[M]=\langle w_{2}^{2}(TM),[M]_{\mathbb {Z} _{2}}\rangle =\langle p_{1}(TM),[M]_{\mathbb {Z} }\rangle \operatorname {mod} 2=\sigma (M)\operatorname {mod} 2;}$

${\displaystyle w_{4}[M]=\langle w_{4}(TM),[M]_{\mathbb {Z} _{2}}\rangle =\langle e(TM),[M]_{\mathbb {Z} }\rangle \operatorname {mod} 2=\chi (M)\operatorname {mod} 2.}$

Beide diese Stiefel-Whitney-Zahlen haben darüber hinaus den gleichen Wert, da mithilfe der Betti-Zahlen:

${\displaystyle \sigma (M)+\chi (M)=2{\big (}b_{0}(M)-b_{1}(M)+b_{2}^{+}(M){\big )}.}$

Dadurch vereinfacht sich in diesem Fall der Satz von Pontrjagin-Thom: Zwei orientierbare 4-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ sind unorientiert bordant genau dann wenn ${\displaystyle \sigma (M)\operatorname {mod} 2=\sigma (N)\operatorname {mod} 2}$ genau dann wenn ${\displaystyle \chi (M)\operatorname {mod} 2=\chi (N)\operatorname {mod} 2}$. Werden zusätzlich die Pontrjagin-Zahlen für Orientierbarkeit hinzugenommen, sorgt der Signatursatz von Hirzebruch für eine elegante Einschränkung: Zwei orientierbare 4-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ sind sogar orientiert bordant genau dann wenn sogar ${\displaystyle \sigma (M)=\sigma (N)}$. Anders ausgedrückt ist ${\displaystyle \sigma \colon \Omega _{4}^{\mathrm {SO} }\rightarrow \mathbb {Z} }$ ein Gruppenisomorphismus.

Eine 5-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ hat sieben Stiefel-Whitney-Zahlen, nämlich ${\displaystyle w_{1}^{5}[M]}$, ${\displaystyle w_{1}^{3}w_{2}[M]}$ ${\displaystyle w_{1}^{2}w_{3}[M]}$, ${\displaystyle w_{1}w_{2}^{2}[M]}$, ${\displaystyle w_{1}w_{4}[M]}$, ${\displaystyle w_{2}w_{3}[M]}$ und ${\displaystyle w_{5}[M]}$. Letztere verschwindet gemäß den obigen Eigenschaften immer. Ist ${\displaystyle M}$ orientierbar, also genau dann wenn ${\displaystyle w_{1}(M)=0}$,^[8] dann verschwinden zudem die vorderen fünf. In diesem Fall kann nur die Stiefel-Whitney-Zahl ${\displaystyle w_{2}w_{3}[M]}$ überhaupt nichttrivial sein und wird De Rham-Invariante aufgrund dieser speziellen Rolle genannt. Dadurch vereinfacht sich in diesem Fall der Satz von Pontrjagin-Thom: Zwei orientierbare 5-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ sind orientiert bordant genau dann wenn ${\displaystyle w_{2}w_{3}[M]=w_{2}w_{3}[N]}$. Anders ausgedrückt ist ${\displaystyle w_{2}w_{3}\colon \Omega _{5}^{\mathrm {SO} }\rightarrow \mathbb {Z} _{2}}$ ein Gruppenisomorphismus.

• Chern-Zahl
• Pontrjagin-Zahl

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Princeton University Press, 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. 2017 (englisch, cornell.edu [PDF]). 

1. ↑ Milnor & Stasheff 74, S. 51
2. ↑ Milnor & Stasheff 74, Problem 11-D
3. ↑ ^{a b} Milnor & Stasheff 74, Proposition 9.5
4. ↑ Hatcher 17, Proposition 3.13 c
5. ↑ Milnor & Stasheff 74, Corollary 11.12
6. ↑ Milnor & Stasheff 74, Theorem 4.9
7. ↑ Milnor & Stasheff 74, Theorem 4.10
8. ↑ ^{a b} Milnor & Stasheff 74, Problem 12-A
9. ↑ Milnor & Stasheff 74, Signature theorem 19.4
10. ↑ ^{a b} Milnor & Stasheff 74, Corollary 11.12
11. ↑ Milnor & Stasheff 74, Problem 15-A