Pontrjagin-Zahl

Pontrjagin-Zahlen sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle charakteristische Zahlen. Es sind ganzzahlige topologischen Invarianten für reelle Vektorbündel, welche aus deren Pontrjagin-Klassen berechnet werden. Insbesondere gibt es diese auch für reelle Mannigfaltigkeiten über deren Tangentialbündel. Nach einem Satz von Pontrjagin und Thom sind zwei orientierbare glatte Mannigfaltigkeiten genau dann orientiert bordant, wenn alle ihre Stiefel-Whitney-Zahlen und Pontrjagin-Zahlen übereinstimmen.

Sei ${\displaystyle E\twoheadrightarrow M}$ ein reelles Vektorbündel über einer orientierbaren ${\displaystyle 4n}$-dimensionalen glatten Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ mit einer Fundamentalklasse ${\displaystyle [M]\in H_{n}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$ und ${\displaystyle i_{1}+\ldots +i_{r}=n}$ eine Partition. Mit der Kronecker-Paarung und dem Cup-Produkt ist die Stiefel-Whitney-Zahl von ${\displaystyle E}$ zu dieser Partition:^[1]

${\displaystyle p_{i_{1}}\ldots p_{i_{r}}[E]:=\langle p_{i_{1}}(E)\smile \ldots \smile p_{i_{r}}(E),[M]\rangle \in \mathbb {Z} .}$

Pontrjagin-Zahlen werden für gewöhnlich für gewöhnlich für deren Tangentialbündel verwendet mit der Kurznotation:

${\displaystyle p_{i_{1}}\ldots p_{i_{r}}[M]:=p_{i_{1}}\ldots p_{i_{r}}[TM]}$.

Die Pontrjagin-Zahlen des komplexen projektiven Raumes ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2n}}$ (dessen zugrundeliegende reelle Mannigfaltigkeit ${\displaystyle 4n}$-dimensional ist) sind gegeben durch:

${\displaystyle p_{i_{1}}\ldots p_{i_{r}}[\mathbb {C} P^{2n}]={\binom {2n+1}{i_{1}}}\ldots {\binom {2n+1}{i_{r}}}.}$

• Unter einem Orientierungswechsel wechselt das Vorzeichen der Fundamentalklasse und dadurch auch aller Pontrjagin-Zahlen einer glatten Mannigfaltigkeit. Verschwindet also nur eine einzige nicht, dann hat die glatte Mannigfaltigkeit keinen orientierungsumkehrenden Diffeomorphismus.^[2]
• Eine kompakte orientierbare glatte Mannigfaltigkeit ist der Rand einer kompakten orientierbaren glatten Mannigfaltigkeit genau dann, wenn alle ihre Stiefel-Whitney-Zahlen und Pontrjagin-Zahlen verschwinden.^[3]

• Stiefel-Whitney-Zahl
• Chern-Zahl

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Princeton University Press, 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 

1. ↑ Milnor & Stasheff 74, S. 185
2. ↑ Milnor & Stasheff 74, S. 186
3. ↑ Milnor & Stasheff 74, Lemma 17.3