Signatur (Topologie)

Die Signatur ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie eine wichtige Invariante von glatten Mannigfaltigkeiten. Die Signatur ist nur in ${\displaystyle 4n}$ Dimensionen nicht trivial, da ihre Definition sich auf die Schnittform sowie selbstduale und antiselbstduale Differentialformen stüzt, welche ebenfalls nur in ${\displaystyle 4n}$ Dimensionen existieren. In diesen Fällen ist die Signatur eine zentrale Information zur Beschreibung dieser zusätzlich möglichen Strukturen. Ihre Berechnung ist möglich durch den Signatursatz von Hirzebruch.

Die Signatur ist insbesondere von grundlegender Wichtigkeit beim Studium von 4-Mannigfaltigkeiten, ihrem einfachsten Fall. Etwa taucht die Signatur in der Noether-Formel für fast komplexe Strukturen auf oder den Dimensionen des Yang-Mills-Modulraumes und Seiberg-Witten-Modulraumes, welche wichtige Informationen über diese kodieren.

Für eine glatte ${\displaystyle 4n}$-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M}$ kann die mittlere Betti-Zahl ${\displaystyle b_{2n}(M)}$ aufgeteilt werden in die selbstduale Betti-Zahl ${\displaystyle b_{2n}^{+}(M)}$ und die antiselbstduale Betti-Zahl ${\displaystyle b_{2n}^{-}(M)}$ mit:

${\displaystyle b_{2n}^{\pm }(M)=\operatorname {rk} H_{\pm }^{2n}(M,\mathbb {Z} )=\dim {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} ,\pm }^{2n}(M)\geq 0;}$^[1]

${\displaystyle b_{2n}(M)=b_{2n}^{+}(M)+b_{2}^{-}(M)\geq 0.}$^[2]

Dabei sind ${\displaystyle H_{\pm }^{2n}(M,\mathbb {Z} )<H_{\pm }^{2n}(M,\mathbb {Z} )}$ die jeweils unter der Schnittform positiv und negativ definiten Unterräume^[3] sowie ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} ,\pm }^{2n}(M,\mathbb {Z} )<{\mathcal {H}}_{\mathrm {dR} }^{2n}(M,\mathbb {Z} )}$ die jeweils unter dem Hodge-Stern-Operator selbstdualen und antiselbstdualen harmonischen Differentialformen. Durch die Hodge-Zerlegung sind die obigen Ausdrücke identisch.

Bei der Signatur wird nun die Differenz statt der Summe betrachtet, wodurch also auch negative Werte möglich sind:^[4][5]

${\displaystyle \sigma (M):=b_{2n}^{+}(M)-b_{2}^{-}(M)\in \mathbb {Z} .}$

Umgekehrt lassen sich also aus der mittleren Betti-Zahl und der Signatur wieder die selbstdualen und antiselbstdualen Betti-Zahlen bestimmen:

${\displaystyle b_{2n}^{\pm }(M)={\frac {1}{2}}(b_{2n}(M)\pm \sigma (M)).}$

Dadurch kann die Signatur auch als Diskrepanz zwischen diesen verstanden werden.

• Die Signatur wandelt disjunkte Vereinigungen in Summen und kartesische Produkte in Produkte um. Für ${\displaystyle 4n}$-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle N}$ gilt:

${\displaystyle \sigma (M\sqcup N)=\sigma (M)+\sigma (N)}$

${\displaystyle \sigma (M\times N)=\sigma (M)\cdot \sigma (N).}$

Dabei deutet die hintere Formel auf die naheliegende Idee hin, die Signatur für alle anderen Mannigfaltigkeiten zu erweitern, indem die Signatur eines geeigneten Produktes genommen wird. Etwa kann für eine Fläche ${\displaystyle M}$ die Signatur der 4-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle M\times M}$ betrachtet werden. Das funktioniert jedoch nicht, da bei solchen Zerlegungen die Signatur unter immer verschwindet, was mithilfe des Satzes von Künneth und des unten formulierten Signatursatzes von Hirzebruch folgt.

• Zwei kompakte orientierbare 4-Mannigfaltigkeiten sind genau dann orientiert bordant, wenn ihre Signaturen identisch sind. Anders ausgedrückt ist die Signatur eine Bordismusinvariante.^[6]
• Aus der Kombination der beiden vorherigen Eigenschaften folgt, dass die Signatur ein Gruppenisomorphismus ${\displaystyle \sigma \colon \Omega _{4}^{\operatorname {SO} }\rightarrow \mathbb {Z} }$ ist.
• Signatursatz von Hirzebruch: Signatur und L-Geschlecht einer orientierbaren Mannigfaltigkeit sind identisch, wobei letzteres eine spezielle Kombination aus Pontrjagin-Zahlen ist, also Cup-Produkten von Pontrjagin-Klassen in der Kronecker-Paarung mit der Fundamentalklasse. In vier und acht Dimensionen gelten etwa:^[7]

${\displaystyle \sigma (M^{4})={\frac {1}{3}}\langle p_{1}(M^{4}),[M^{4}]\rangle \in \mathbb {Z} ;}$

${\displaystyle \sigma (M^{8})={\frac {1}{45}}\langle (7p_{2}-p_{1}^{2})(M^{8}),[M^{8}]\rangle \in \mathbb {Z} .}$

Dabei ist die vordere Formel generell wichtig für das Studium von 4-Mannigfaltigkeiten und die hintere Formel wurde von John Milnor im Jahr 1954 bei der Konstruktion der Milnor-Sphären verwendet, den historisch ersten Beispielen von exotischen Sphären.

Da die Sphären ${\displaystyle S^{4n}}$ verschwindende mittlere Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{2n}(S^{4n},\mathbb {Z} )\cong 1}$ haben, verschwindet also auch ihre Signatur ${\displaystyle \sigma (S^{4n})=0}$. Alternativ folgt das daraus, dass Sphären nullbordant sind, also sich als Rand ${\displaystyle S^{4n}=\partial D^{4n+1}}$ einer orientierbaren Mannigfaltigkeit darstellen lassen. Zwar verschwindet bei Tori ${\displaystyle T^{4n}=(S^{1})^{4n}}$ deren mittlere Kohomologiegruppe nicht, doch auch diese lassen sich als Rand ${\displaystyle T^{4n}=\partial (D^{2}\times T^{4n-1})}$ einer orientierbaren Mannigfaltigkeit darstellen und haben daher Signatur ${\displaystyle \sigma (T^{4n})=0}$. Aufgrund der gleichen Signatur sind Sphären und Tori insbesondere orientiert bordant zueinander. Statt einem nicht zusammenhängenden Bordismus kombiniert aus den beiden Nullbordismen kann auch ein zusammenhängender Bordismus konstruiert werden: Seien ${\displaystyle S^{4n},T^{4n}\hookrightarrow \mathbb {R} ^{4n+1}}$ zwei Einbettungen (siehe Einbettungssatz von Whitney), sodass entweder die Sphäre komplett im Torus oder der Torus komplett in der Sphäre liegt. Möglich ist die Ineinanderschachtelung aufgrund der gerade beschriebenen Nullbordismen und deren Kompaktheit. In beiden Fällen beschreibt der ${\displaystyle 4n+1}$-dimensionale Zwischenraum nun einen zusammenhängenden Bordismus.

Ein wichtiges nicht triviales Beispiel ist der zweite komplexe projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{2}}$, welcher eine zentrale Rolle im Donaldson-Theorem spielt:^[8]

${\displaystyle \sigma (\mathbb {C} P^{2})=1.}$

Oft wird der Raum ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}\cong \mathbb {C} P^{1}\times \mathbb {C} P^{1}}$ mit nicht diagonalisierbarer Schnittform als Beispiel verwendet, für welches das Donaldson-Theorem nicht anwendbar ist. Jedoch ist dieser im gleichen Gebiet trotzdem wichtig. Aufgrund der Aufteilung in ein Produkt von glatten Mannigfaltigkeiten mit trivialer Signatur oder alternativ der Darstellung als Rand ${\displaystyle S^{2}\times S^{2}\cong \partial (D^{3}\times S^{2})}$ einer orientierbaren Mannigfaltigkeit gilt:

${\displaystyle \sigma (S^{2}\times S^{2})=0.}$

• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and Four-Manifolds (= Mathematical Sciences Research Institute Publications. Band 1). Springer, 1984, ISBN 1-4613-9705-7 (englisch). 
• Simon K. Donaldson und Peter B. Kronheimer: The Geometry of Four-Manifolds. Oxford University Press, 1990, ISBN 0-19-853553-8, doi:10.1093/oso/9780198535539.001.0001 (englisch). 

1. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.16)
2. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.1)
3. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, nach Gleichung (4.3.12) auf S. 147
4. ↑ Freed & Uhlenbeck 84, S. 22
5. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, nach Gleichung (1.1.1) auf S. 3
6. ↑ Freed & Uhlenbeck 84; Beweis von Theorem 2.25, S. 47; Kapitel 8, S. 141
7. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, Gleichung (1.1.3)
8. ↑ Donaldson & Kronheimer 90, Untersektion 1.1.2