Kobayashi-Kriterium

In der Mathematik gibt das Kobayashi-Kriterium eine leichter nachprüfbare Bedingung für die Eigentlichkeit einer Gruppenwirkung auf einem homogenen Raum. Es ist nach Toshiyuki Kobayashi benannt.

Es sei ${\displaystyle G}$ eine reduktive Lie-Gruppe und seien ${\displaystyle H_{1},H_{2}}$ Lie-Untergruppen. Es ist leicht zu sehen, dass die Wirkung von ${\displaystyle H_{1}}$ auf ${\displaystyle G/H_{2}}$ genau dann eine eigentliche Wirkung ist, wenn für jede kompakte Teilmenge ${\displaystyle S\subset G}$ der Durchschnitt ${\displaystyle H_{1}\cap SH_{2}S}$ kompakt ist. Man definiert deshalb

${\displaystyle H_{1}\pitchfork H_{2}\Leftrightarrow {\text{ für jede kompakte Teilmenge }}S\subset G{\text{ hat }}H_{1}\cap SH_{2}S{\text{ kompakten Abschluss}}}$

und formuliert mit dieser Bezeichnung das folgende Kriterium.

Kobayashi-Kriterium: Sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ die Cartan-Unteralgebra der Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$, ${\displaystyle W}$ ihre Weyl-Gruppe und ${\displaystyle \mu \colon G\to {\mathfrak {a}}/W}$ die Cartan-Projektion. Dann ist die Wirkung von ${\displaystyle H_{1}}$ auf ${\displaystyle G/H_{2}}$ genau dann eine eigentliche Wirkung, wenn ${\displaystyle \mu (H_{1})\pitchfork \mu (H_{2})}$ in ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$.

Der Vorteil dieses Kriteriums ist, dass ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist und dass man die Bedingung nur für abgeschlossene Kugeln ${\displaystyle S}$ nachprüfen muss. Damit ist diese Bedingung sehr viel einfacher nachzuprüfen als die Kompaktheit von ${\displaystyle H_{1}\cap SH_{2}S}$ für alle kompakten Teilmengen ${\displaystyle S\subset G}$.

• T. Kobayashi: Proper action on a homogeneous space of reductive type. Math. Ann. 285, No. 2, 249-263 (1989).
• T. Kobayashi: Criterion for proper actions on homogeneous spaces of reductive groups. J. Lie Theory 6, No. 2, 147-163 (1996).
• K. Ogawa, T. Okuda: A proof of Kobayashi’s properness criterion from a viewpoint of metric geometry. Pevzner, Michael (ed.) et al., Symmetry in geometry and analysis. Volume 1. Singapore: Birkhäuser. Prog. Math. 357, 377-405 (2025).

• T. Kobayashi: Proper Actions and Representation Theory