Cartan-Projektion

In der Mathematik ist die Cartan-Projektion ein Hilfsmittel in der Theorie der Lie-Gruppen und Lie-Algebren.

Es sei ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {g}}}$ eine Cartan-Unteralgebra. Zu einem Wurzelsystem ${\displaystyle \Sigma }$ sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{+}\subset {\mathfrak {a}}}$ die positive Weyl-Kammer und ${\displaystyle A^{+}=\exp({\mathfrak {a}}^{+})}$.

Dann gibt es eine eindeutige maximal kompakte Untergruppe ${\displaystyle K\subset G}$ mit

${\displaystyle G=KA^{+}K}$

und eine eindeutige Abbildung

${\displaystyle \mu \colon G\to A^{+}}$,

so dass sich jedes ${\displaystyle g\in G}$ auf eindeutige Weise als ${\displaystyle g=k_{1}\mu (g)k_{2}}$ mit (von ${\displaystyle g}$ abhängenden) ${\displaystyle k_{1},k_{2}\in K}$ zerlegen lässt.

Die Abbildung ${\displaystyle \mu \colon G\to A^{+}}$ heißt Cartan-Projektion. Es gilt ${\displaystyle \mu (g)=KgK\cap A^{+}}$.

Es sei

${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {R} ),K=SO(n),A^{+}=\left\{\operatorname {diag} (\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n})\in G:\sigma _{1}\geq \ldots \geq \sigma _{n}>0\right\}}$.

Dann ist die Cartan-Projektion gegeben durch

${\displaystyle \mu (g)=\operatorname {diag} (\sigma _{1}(g),\ldots ,\sigma _{n}(g))}$,

wobei ${\displaystyle \sigma _{i}(g)^{2}}$ der ${\displaystyle i}$-te Eigenwert von ${\displaystyle g^{t}g}$ ist.

Eine andere stetige Projektion ${\displaystyle \lambda \colon G\to {\overline {\mathfrak {a}}}^{+}}$ kann man durch die Jordan-Zerlegung definieren, sie hängt mit der Cartan-Projektion über

${\displaystyle \lambda (g)=\lim _{n\to \infty }{\frac {\exp ^{-1}(\mu (g^{n}))}{n}}}$

zusammen.^[1] Im Fall ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {R} )}$ erhält man die Abbildung

${\displaystyle \lambda (g)=(\log \mid \lambda _{1}(g)\mid ,\log \mid \lambda _{2}(g)\mid ,\ldots ,\log \mid \lambda _{n}(g)\mid )}$,

wobei ${\displaystyle \lambda _{1}(g),\ldots ,\lambda _{n}(g)}$ die Eigenwerte (evtl. mit Wiederholungen) in aufsteigender Reihenfolge sind.

• Helgason, Sigurdur: Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces. Corrected reprint of the 1978 original. Graduate Studies in Mathematics, 34. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2848-7 (Kapitel 9)
• Benoist, Yves: Actions propres sur les espaces homogènes réductifs. (Kapitel 3) pdf

• Witte Morris, David: Cartan-decomposition subgroups

1. ↑ Benoist: Propriétés asymptotiques des groupes linéaires, GAFA 7 (1997), 1-47