Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor

Der fünfdimensionale Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor (oder Kaluza-Klein-Riemann-Christoffel-Krümmungstensor) ist in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung des vierdimensionalen Riemann-Krümmungstensors (oder Riemann-Christoffel-Krümmungstensors). Dessen Kontraktion mit sich selbst ist der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor, eine Verallgemeinerung des Ricci-Tensors. Dessen Kontraktion mit der Kaluza-Klein-Metrik ist das Kaluza-Klein-Ricci-Skalar, eine Verallgemeinerung des Ricci-Skalars.

Benannt sind der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor, Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar nach Theodor Kaluza, Oskar Klein, Bernhard Riemann und Gregorio Ricci-Curbastro.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ die Kaluza-Klein-Metrik und ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}}$ die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole. Der Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor ist gegeben durch:^[1]

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{acb}^{d}:=\partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}+{\widetilde {\Gamma }}_{ce}^{d}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{e}-{\widetilde {\Gamma }}_{be}^{d}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{e}.}$

Der Kaluza-Klein-Ricci-Tensor und -Skalar sind gegeben durch:^[2][3]

${\displaystyle {\widetilde {R}}_{ab}:=\partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial _{b}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-{\widetilde {\Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d},}$

${\displaystyle {\widetilde {R}}:={\widetilde {g}}^{ab}{\widetilde {R}}_{ab}.}$

Beide Formeln können mit dem gewöhnlichen Ricci-Tensor und Ricci-Skalar verbunden werden.^[4]

• J. M. Overduin, Wesson, P. S.: Kaluza–Klein Gravity. In: Physics Reports. 283. Jahrgang, Nr. 5, 1997, S. 303–378, doi:10.1016/S0370-1573(96)00046-4, arxiv:gr-qc/9805018, bibcode:1997PhR...283..303O (englisch). 
• Yvonne Choquet-Bruhat: General Relativity and the Einstein equations (= Oxford Mathematical Monographs). Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-923072-3, ISSN 0964-9174 (englisch). 

1. ↑ Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (4.1)
2. ↑ Overduin & Wesson 1997, Gleichung (4)
3. ↑ Choquet-Bruhat 08; Appendix VII, Gleichung (5.1)
4. ↑ Choquet-Bruhat 08, Kapitel XIV, Gleichungen (3.2)-(3.4) sowie Kapitel XVI, Gleichungen (3.1)-(3.3)