Kaluza-Klein-Christoffel-Symbol

Die fünfdimensionale Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind in der Kaluza-Klein-Theorie, einer Vereinigung von Allgemeiner Relativitätstheorie und Elektromagnetismus, eine Verallgemeinerung der vierdimensionalen Christoffel-Symbole. Benutzt werden diese direkt für die Geodätengleichung der Kaluza-Klein-Theorie und tauchen indirekt über den Kaluza-Klein-Riemann-Krümmungstensor auch in den Kaluza-Klein-Einstein-Feldgleichungen auf.

Benannt sind die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nach Theodor Kaluza, Oskar Klein und Elwin Bruno Christoffel.

Sei ${\displaystyle {\widetilde {g}}_{ab}}$ die Kaluza-Klein-Metrik. Die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole sind gegeben durch:^[1]

${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}:={\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{cd}(\partial _{a}{\widetilde {g}}_{bd}+\partial _{b}{\widetilde {g}}_{ad}-\partial _{d}{\widetilde {g}}_{ab}).}$

Eigenschaften

• Für nichtkompaktifizierte Raumzeit-Indizes fallen die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole nicht auf die gewöhnlichen Christoffel-Symbole zurück. Stattdessen gilt:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{\mu \nu }^{\sigma }=\Gamma _{\mu \nu }^{\sigma }-{\frac {1}{2}}A^{\sigma }\left(\partial _{\mu }\left(\phi ^{2}A_{\nu }\right)+\partial _{\nu }\left(\phi ^{2}A_{\mu }\right)\right)}$

• Für kompaktifizierte Raumzeit-Indizes vereinfachen sich die Kaluza-Klein-Christoffel-Symbole mit der Zylinderbedingung:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{44}^{\mu }=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{\mu d}\partial _{d}{\widetilde {g}}_{44}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{\mu \nu }\partial _{\nu }{\widetilde {g}}_{44}=-\phi g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi ,}$

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{44}^{4}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{4d}\partial _{d}{\widetilde {g}}_{44}=-{\frac {1}{2}}{\widetilde {g}}^{4\nu }\partial _{\nu }{\widetilde {g}}_{44}=\phi A^{\nu }\partial _{\nu }\phi .}$

• Analog zum Christoffel-Symbol, doch zusätzlich mit dem Zusammenhang ${\displaystyle {\widetilde {g}}=\phi ^{2}g}$,^[2] gilt:

  ${\displaystyle {\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{a}=\partial _{b}\ln {\sqrt {-{\widetilde {g}}}}=\partial _{b}\ln \left(\phi {\sqrt {-g}}\right).}$

• J. M. Overduin, Wesson, P. S.: Kaluza–Klein Gravity. In: Physics Reports. 283. Jahrgang, Nr. 5, 1997, S. 303–378, doi:10.1016/S0370-1573(96)00046-4, arxiv:gr-qc/9805018, bibcode:1997PhR...283..303O (englisch). 
• Chris Pope: Kaluza–Klein Theory. Abgerufen im 1. Januar 1 (englisch). 
• Yvonne Choquet-Bruhat: General Relativity and the Einstein equations (= Oxford Mathematical Monographs). Oxford University Press, 2008, ISBN 978-0-19-923072-3, ISSN 0964-9174 (englisch). 

1. ↑ Overduin & Wesson 1997, Gleichung (4)
2. ↑ Pope, Gleichung (1.14)