Zernike-Polynom

Die Zernike-Polynome sind nach Frits Zernike benannte orthogonale Polynome auf dem Einheitskreis. Sie sind orthogonal bezüglich des Skalarprodukts ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\iint _{x^{2}+y^{2}\leq 1}f(x,y)g(x,y)\mathrm {d} x\mathrm {d} y}$ in kartesischen beziehungsweise ${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{\phi =0}^{2\pi }\int _{\rho =0}^{1}f(\rho ,\phi )g(\rho ,\phi )\rho \mathrm {d} \rho \mathrm {d} \phi }$ in Polarkoordinaten.

Die Zernike Polynome spielen insbesondere in der Wellenoptik eine wichtige Rolle. Es gibt bezüglich ${\displaystyle \phi }$ gerade und ungerade Zernike-Polynome.
Die geraden Zernike-Polynome sind definiert durch:

${\displaystyle Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\cos m\phi }$, also ${\displaystyle Z_{n}^{+m}(\rho ,-\phi )=Z_{n}^{+m}(\rho ,\phi )}$,

und die ungeraden durch

${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\,\sin m\phi }$, also ${\displaystyle Z_{n}^{-m}(\rho ,-\phi )=-Z_{n}^{-m}(\rho ,\phi )}$

wobei ${\displaystyle m}$ und ${\displaystyle n}$ nichtnegative ganze Zahlen sind. Zusätzlich wird gefordert, dass ${\displaystyle m\leq n}$ und ${\displaystyle n-m}$ gerade ist. ${\displaystyle \phi }$ ist der azimutale Winkel und ${\displaystyle \rho }$ ist der normierte radiale Abstand.

Die Radialpolynome ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ sind definiert gemäß

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=\!\sum _{k=0}^{(n-m)/2}\!\!\!{\frac {(-1)^{k}\,(n-k)!}{k!\,((n+m)/2-k)!\,((n-m)/2-k)!}}\;\rho ^{n-2\,k}}$,

wenn ${\displaystyle n-m}$ gerade ist und ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=0}$, wenn ${\displaystyle n-m}$ ungerade ist.

In dieser Form sind sie zu ${\displaystyle R_{n}^{m}(1)=1}$ normiert.

Zernike-Polynome sind ein Produkt eines radiusabhängigen Teils ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ und eines winkelabhängigen Teils ${\displaystyle G^{m}}$:

${\displaystyle Z_{n}^{\pm m}(\rho ,\phi )=R_{n}^{m}(\rho )\cdot G^{m}(\phi )\!.}$

Zernike-Polynome werden üblicherweise in Polarkoordinaten angegeben. Mit ${\displaystyle x=\rho \cos \phi }$ und ${\displaystyle y=\rho \sin \phi }$ umgewandelt auf kartesische Koordinaten sind die Zernike-Polynome ${\displaystyle Z_{n}^{\pm m}}$ bivariate Polynome in ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$.^[1]

Eine Rotation des Koordinatensystems um den Winkel ${\displaystyle 2\pi /m}$ ändert den Wert des Polynoms nicht:

${\displaystyle G^{m}(\phi +2\pi /m)=G^{m}(\phi )\!.}$

Der radiusabhängige Teil ${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )}$ist ein Polynom über ${\displaystyle \rho }$ vom Grad ${\displaystyle n}$, welches nur Potenzen ${\displaystyle \rho ^{k}}$ mit ${\displaystyle m\leq k\leq n}$ und ${\displaystyle k-m}$ gerade enthält. Dadurch sind ${\displaystyle \rho ^{k}\cos(m\phi )}$ und ${\displaystyle \rho ^{k}\sin(m\phi )}$ und somit auch die Zernike-Polynome in kartesischen Koordinaten als Polynome in ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle y}$ darstellbar, vgl. Winkelfunktionen für weitere Vielfache.

Zernike-Polynome in Polarkoordinaten und in kartesischen Koordinaten^[2]

Polynom	Polarkoordinaten	Kartesische Koordinaten	Wellenoptische Interpretation
${\displaystyle Z_{0}^{0}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	Mittelwert (Piston)
${\displaystyle Z_{1}^{-1}}$	${\displaystyle \rho \sin \phi }$	${\displaystyle y}$	Verschwenkung in der horizontalen Achse
${\displaystyle Z_{1}^{1}}$	${\displaystyle \rho \cos \phi }$	${\displaystyle x}$	Verschwenkung in der vertikalen Achse
${\displaystyle Z_{2}^{0}}$	${\displaystyle -1+2\rho ^{2}}$	${\displaystyle -1+2(x^{2}+y^{2})}$	Defokussierung
${\displaystyle Z_{2}^{-2}}$	${\displaystyle \rho ^{2}\sin(2\phi )}$	${\displaystyle 2xy}$	Astigmatismus schräg (45°) zu den Hauptachsen
${\displaystyle Z_{2}^{2}}$	${\displaystyle \rho ^{2}\cos(2\phi )}$	${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$	Astigmatismus in den Hauptachsen
${\displaystyle Z_{3}^{-1}}$	${\displaystyle (3\rho ^{3}-2\rho )\sin \phi }$	${\displaystyle 3y(x^{2}+y^{2})-2y}$	Koma, horizontale Achse
${\displaystyle Z_{3}^{1}}$	${\displaystyle (3\rho ^{3}-2\rho )\cos \phi }$	${\displaystyle 3x(x^{2}+y^{2})-2x}$	Koma, vertikale Achse
${\displaystyle Z_{4}^{0}}$	${\displaystyle 6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$	${\displaystyle 6(x^{2}+y^{2})^{2}-6(x^{2}+y^{2})+1}$	Sphärische Aberration

${\displaystyle R_{n}^{m}}$ ist eine bezüglich ${\displaystyle \rho }$ gerade (ungerade) Funktion, wenn ${\displaystyle m}$ gerade (ungerade) ist.

Der radiusabhängige Teil ${\displaystyle R_{n}^{m}}$ stellt einen Spezialfall der Jacobi-Polynome ${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)}$ dar.

${\displaystyle R_{n}^{m}(\rho )=(-1)^{(n-m)/2}\rho ^{m}P_{(n-m)/2}^{(m,0)}(1-2\rho ^{2})}$

Die Reihe der radiusabhängigen Polynome beginnt mit

${\displaystyle R_{0}^{0}(\rho )=1}$

${\displaystyle R_{1}^{1}(\rho )=\rho }$

${\displaystyle R_{2}^{0}(\rho )=2\rho ^{2}-1}$

${\displaystyle R_{2}^{2}(\rho )=\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{3}^{1}(\rho )=3\rho ^{3}-2\rho }$

${\displaystyle R_{3}^{3}(\rho )=\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{4}^{0}(\rho )=6\rho ^{4}-6\rho ^{2}+1}$

${\displaystyle R_{4}^{2}(\rho )=4\rho ^{4}-3\rho ^{2}}$

${\displaystyle R_{4}^{4}(\rho )=\rho ^{4}}$

${\displaystyle R_{5}^{1}(\rho )=10\rho ^{5}-12\rho ^{3}+3\rho }$

${\displaystyle R_{5}^{3}(\rho )=5\rho ^{5}-4\rho ^{3}}$

${\displaystyle R_{5}^{5}(\rho )=\rho ^{5}}$

${\displaystyle R_{6}^{0}(\rho )=20\rho ^{6}-30\rho ^{4}+12\rho ^{2}-1}$

Allgemein ist ${\displaystyle R_{n}^{n}(\rho )=\rho ^{n}.}$

In der Optik werden Zernike-Polynome benutzt, um Abbildungsfehler optischer Systeme quantitativ zu erfassen. Dies findet zum Beispiel in der adaptiven Optik Anwendung.

Seit einigen Jahren ist die Verwendung der Zernike-Polynome auch in der Optometrie und Augenheilkunde üblich. Hier führen Abweichungen der Cornea beziehungsweise der Linse von der idealen Form zu Abbildungsfehlern.

• Frits Zernike: „Beugungstheorie des Schneidenverfahrens und seiner verbesserten Form, der Phasenkontrastmethode.“ Physica 1, 689–704, 1934.
• Born and Wolf: Principles of Optics. Oxford: Pergamon, 1970.

• Eric W. Weisstein: Zernike Polynomial. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Lakshminarayanan & Fleck, Review, 2011: Zernike polynomials: A guide.
2. ↑ Wyant - Zernike Polynomials For The Web.