Zentraler Grenzwertsatz für Richtungsstatistik

Der zentrale Grenzwertsatz der Wahrscheinlichkeitstheorie formuliert Bedingungen, unter denen das Mittel einer hinreichend großen Zahl unabhängiger Zufallsvariable endlichen Mittels und endlicher Varianz approximativ einer Normalverteilung genügt.

Für Richtungsstatistiken werden Richtungen (Einheitsvektoren im Rⁿ), Achsen (eindimensionale Untervektorräume im Rⁿ) oder Rotationen in Rⁿ betrachtet.^[1] Mittel und Varianzen von Richtungsgrößen sind endlich, sodass der zentrale Grenzwertsatz insbesondere auf Richtungsstatistiken angewendet werden kann.

Dieser Artikel behandelt nur Einheitsvektoren im 2-dimensionalen Vektorraum R², aber die Methode kann auch auf den allgemeineren Fall endlicher Dimension erweitert werden.

Es liege eine Stichprobe gemessener Winkel ${\displaystyle \theta _{i}}$ vor. Da diese nur bis auf additive Vielfache von ${\displaystyle 2\pi }$ bestimmt sind, wird stattdessen die komplexe Größe ${\displaystyle z_{i}=e^{i\theta _{i}}=\cos(\theta _{i})+i\sin(\theta _{i})}$ als Zufallsvariable verwendet. Für die Wahrscheinlichkeitsverteilung können die Momente kartesisch und in Polarkoordinaten ausgedrückt werden:

${\displaystyle m_{n}=E(z^{n})=C_{n}+iS_{n}=R_{n}e^{i\theta _{n}}\,}$

Daraus folgt:

${\displaystyle C_{n}=E(\cos(n\theta ))\,}$

${\displaystyle S_{n}=E(\sin(n\theta ))\,}$

${\displaystyle R_{n}=|E(z^{n})|={\sqrt {C_{n}^{2}+S_{n}^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta _{n}=\arg(E(z^{n}))\,}$

Aus einer Stichprobe vom Umfang N werden die (komplexen) Mittel berechnet:

${\displaystyle {\overline {m_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}z_{i}^{n}={\overline {C_{n}}}+i{\overline {S_{n}}}={\overline {R_{n}}}e^{i{\overline {\theta _{n}}}}}$

wobei

${\displaystyle {\overline {C_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\cos(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {S_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sin(n\theta _{i})}$

${\displaystyle {\overline {R_{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}|z_{i}^{n}|}$

${\displaystyle {\overline {\theta _{n}}}={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\arg(z_{i}^{n})}$

Der reelle Vektor [${\displaystyle {\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}}$] repräsentiert das Mittel ${\displaystyle ({\overline {m_{1}}})}$ der gemessenen Werte und wird als zweidimensionale relle Zufallsvariable behandelt.^[1] Der zentrale Grenzwertsatz ergibt nun für ${\displaystyle {\overline {C_{1}}}}$ und ${\displaystyle {\overline {S_{1}}}}$ im Grenzfall unendlich großen Stichprobenumfangs die Verteilung:

${\displaystyle [{\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}}]{\xrightarrow {d}}{\mathcal {N}}([C_{1},S_{1}],\Sigma /N)}$

wobei ${\displaystyle {\mathcal {N}}()}$ die zweidimensionale Normalverteilung und ${\displaystyle \Sigma }$ die Kovarianzmatrix für die zirkuläre Verteilung ist:

${\displaystyle \Sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{CC}&\sigma _{CS}\\\sigma _{SC}&\sigma _{SS}\end{bmatrix}}\quad }$

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}\,}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=\sigma _{SC}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )\,}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}\,}$

Da das zirkuläre Mittel auf den Einheitskreis beschränkt ist, die Normalverteilung aber auf der ganzen Ebene definiert ist, ist das Integral der bivarianten Normalverteilung über dem Einheitskreis nicht gleich eins, sondern erreicht im Allgemeinen den Wert eins erst im Limes.

Eine direkte Rechnung ergibt:

${\displaystyle C_{2}=E(\cos(2\theta ))=E(\cos ^{2}\theta -1)=E(1-\sin ^{2}\theta )\,}$

${\displaystyle S_{2}=E(\sin(2\theta ))=E(2\cos \theta \sin \theta )\,}$

Daraus erhält man für die Einträge der Kovarianzmatrix:

${\displaystyle \sigma _{CC}=E(\cos ^{2}\theta )-E(\cos \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1+C_{2}-2C_{1}^{2}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{CS}=E(\cos \theta \sin \theta )-E(\cos \theta )E(\sin \theta )={\frac {1}{2}}\left(S_{2}-2C_{1}S_{1}\right)}$

${\displaystyle \sigma _{SS}=E(\sin ^{2}\theta )-E(\sin \theta )^{2}={\frac {1}{2}}\left(1-C_{2}-2S_{1}^{2}\right)}$

In Polarkoordinaten ausgedrückt ergibt sich: Wenn ${\displaystyle P({\overline {C_{1}}},{\overline {S_{1}}})d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$ die Wahrscheinlichkeit ist, dass Ereignis im (kartesischen) Element ${\displaystyle d{\overline {C_{1}}}d{\overline {S_{1}}}}$ auftritt, dann ist das in Polarkoordinaten ausgedrückt ${\displaystyle P({\overline {R_{1}}}\cos({\overline {\theta _{1}}}),{\overline {R_{1}}}\sin({\overline {\theta _{1}}})){\overline {R_{1}}}d{\overline {R_{1}}}d{\overline {\theta _{1}}}}$.

1. ↑ ^{a b} S. Rao Jammalamadaka, Ashis Sengupta: Topics in circular statistics (= Series on multivariate analysis. Nr. 5). World Scientific, River Edge, N.J 2001, ISBN 978-981-02-3778-3 (google.com).