Vier-Kreise-Satz

Der Vier-Kreise-Satz besagt in der euklidischen Geometrie, dass bei vier sich schneidenden Kreisen (schwarz im Bild) vier der acht Schnittpunkte (A,B,C,D) genau dann auf einem Kreis liegen (rot), wenn es die anderen vier Schnittpunkte (A',B',C',D') auch tun. Dieser Satz wird meist Jakob Steiner zugesprochen.^[1]

Der Beweis^[1] basiert auf den Eigenschaften von Sehnenvierecken und dem Kreiswinkelsatz, demzufolge der Mittelpunktswinkel eines Kreisbogens doppelt so groß ist wie einer der zugehörigen Umfangswinkel (Zentriwinkelsatz).

Das Bild zeigt vier Kreise ☉AA'D'D, ☉DD'C'C, ☉CC'B'B und ☉BB'A'A, die sich in den Punkten A, B, C, D und A', B', C', D' schneiden, wobei nach Voraussetzung die ersten vier Schnittpunkte konzyklisch sind (großer roter Kreis). Im Kreis ☉BB'A'A um P ist der Mittelpunktswinkel ∠BPA' (rot) gleich 2α und nach dem Zentriwinkelsatz doppelt so groß wie der Umfangswinkel ∠BAA'=α. Nach dem Kreiswinkelsatz ist der Umfangswinkel ∠A'B'B=π−α (magenta) der Ergänzungswinkel von ∠BAA'=α und nach Konstruktion auch der Ergänzungswinkel von α'. Denn dieser Winkel liegt zwischen der Geraden BB' und der Seite A'B' des inneren Vierecks □A'B'C'D'. Also ist α'=α. In gleicher Weise können die Identitäten β=β', γ=γ', δ=δ' und ∠DD'A'=π−β, ∠C'D'C=π−γ, ∠BB'C'=π−δ nachgewiesen werden.

In einem Sehnenviereck ergänzen sich gegenüberliegende Winkel zum gestreckten Winkel 180° oder π rad. Weil sich hier die Umfangswinkel α'+δ' und β'+γ' genauso wie α+β und γ+δ zum gestreckten Winkel ergänzen, erweist sich auch □A'B'C'D' als Sehnenviereck und liegen die Schnittpunkte A', B', C' sowie D' auf einem Kreis.

Wenn bekannt ist, dass die inneren Kreise konzyklisch sind, dann können die Beweisschritte problemlos „rückwärts“ durchlaufen werden. Q.e.d.

1. ↑ ^{a b} A. Ostermann, G. Wanner: Geometry by Its History. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-29162-3, S. 58 f., doi:10.1007/978-3-642-29163-0.