Ungleichung von Carlson-Beurling

Die Ungleichung von Carlson-Beurling (englisch Carlson-Beurling inequality) ist eine Integralungleichung der Mathematik und als solche der Funktionalanalysis zugehörig. Sie geht auf zwei Publikationen der beiden schwedischen Mathematiker Fritz David Carlson (1888–1952) und Arne Karl August Beurling (1905–1986) aus den Jahren 1934 und 1939 zurück und gibt eine obere Abschätzung für die Fouriertransformierten gewisser differenzierbarer komplexwertiger Funktionen.^[1]

Mit der Carlson−Beurling−Ungleichung ist eine Reihe weiterer Untersuchungen verbunden.

Sie lässt sich angeben wie folgt:^[1.1]

Gegeben seien im Körper der reellen Zahlen ein abgeschlossenes Intervall ${\displaystyle J=[a,b]\;(a,b\in \mathbb {R} \;,a<b)}$ und darauf eine stetig differenzierbare Funktion

${\displaystyle f\;\colon J\to \mathbb {C} }$ ,

wobei zudem

${\displaystyle f(a)=f(b)=0}$

gelten soll.

Weiter sei ${\displaystyle ({\mathcal {F}}f)(t)\,(t\in \mathbb {R} )}$ die zugehörige Fouriertransformatierte.^{[E 1][E 2]}

Dann gilt

${\displaystyle {\mathcal {F}}{f}\in L^{1}(\mathbb {R} )}$^{[E 3]}

und dabei die Ungleichung:

${\displaystyle \|{\mathcal {F}}{f}\|_{1}\leq {2\pi }\cdot {\sqrt {\|f\|_{2}\cdot \|f'\|_{2}}}}$ .^{[E 4]}

Als direkte Folgerung ergibt sich, dass jede Funktion ${\displaystyle f}$ der obigen Art darstellbar ist als Fouriertransformatierte einer im Unendlichen verschwindenden stetigen Funktion ${\displaystyle g\;\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} }$ .^[1.2]

Ein Vorläuferresultat war von Fritz Carlson im Jahre 1934 vorgelegt worden. Es lässt sich zusammengefasst wie folgt formulieren:^[2][3][4]

Gegeben seien das unendliche Intervall ${\displaystyle J_{0}=[0,\infty )\subset \mathbb {R} }$  und darauf eine Lebesgue-integrierbare Funktion ${\displaystyle f\;\colon J_{0}\to J_{0}}$ .

Dann gilt die Ungleichung

${\displaystyle \left(\int _{0}^{\infty }{f(x)}\,dx\right)^{4}\leq {\pi }^{2}\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{f^{2}(x)}\,dx\right)\cdot \left(\int _{0}^{\infty }{x^{2}\cdot f^{2}(x)}\,dx\right)}$ .

Ganz analog – und dabei etwas schärfer – gilt für jede Folge ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n=1,2,3,\ldots }}$  nicht-negativer reeller Zahlen die Ungleichung

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n}}\right)^{4}<{\pi }^{2}\cdot \left(\sum _{n=1}^{\infty }{{a_{n}}^{2}}\right)\cdot \left(\sum _{n=1}^{\infty }{n^{2}\cdot {a_{n}}^{2}}\right)}$ ,

sofern nicht alle ${\displaystyle a_{n}=0}$ sind und die beiden rechts stehenden Reihen konvergieren, also ${\displaystyle <\infty }$  sind.

In beiden Fällen ist unter den gegebenen allgemeinen Voraussetzungen der auf der rechten Seite erscheinende Faktor ${\displaystyle {\pi }^{2}}$  der bestmögliche.

• Sorina Barza, Emil C. Popa: Inequalities related with Carlson’s inequality. In: Tamkang Journal of Mathematics. Band 29, 1998, S. 59–64 (zbMATH Open). 
• Sorina Barza, Josip Pečarić, Lars-Erik Persson: Carlson type inequalities. In: Journal of Inequalities and Applications. Band 2, 1998, S. 121–135 (zbMATH Open). 
• Sorina Barza, Victor Burenkov, Josip Pečarić, Lars-Erik Persson: Sharp multidimensional multiplicative inequalities for weighted Lp spaces with homogeneous weights. In: Mathematical Inequalities & Applications. Band 1, 1998, S. 53–67, doi:10.7153/mia-01-04 (zbMATH Open). 
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 3., neubearbeitete Auflage. Walter de Gruyter, Berlin, New York 1978, ISBN 3-11-007698-5, Kap. 8 (zbMATH Open). 
• Arne Beurling: Sur les intégrales de Fourier absolument convergentes et leur application à une transformation fonctionnelle. In: 9. Congr. des Math. scand. 1938. Band 25, 1939, S. 345–366 (zbMATH Open). 
• F. Carlson: Une inégalité. In: Arkiv för Matematik, Astronomi och Fysik B. Band 25, 1934, S. 1–5 (zbMATH Open). 
• Markus Haase: Functional Analysis. An Elementary Introduction (= Graduate Studies in Mathematics. Band 156). American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2014, ISBN 978-0-8218-9171-1 (zbMATH Open). 
• G. H. Hardy: A note on two inequalities. In: Journal of the London Mathematical Society. Band 11, 1936, S. 167–170 (zbMATH Open). 
• Leo Larsson, Lech Maligranda, Josip Pečarić, Lars-Erik Persson: Multiplicative Inequalities of Carlson type and Interpolation. World Scientific, Hackensack, New Jersey 2006, ISBN 981-256-708-9 (zbMATH Open). 
• Leo Larsson, Josip Pečarić, Lars-Erik Persson: An extension of the Landau and Levin-Stečkin inequalities. In: Acta Scientiarum Mathematicarum. Band 70, 2004, S. 25–34 (zbMATH Open). 
• V. I. Levin, E. K. Godunova: Verallgemeinerung der Ungleichungen von Carlson. Russisch. In: Matematicheskiĭ Sbornik. Novaya Seriya. Band 67 (109), 1965, S. 643–646 (zbMATH Open). 
• Amir Kamaly: Fritz Carlson’s inequality and its application. In: Mathematica Scandinavica. Band 86, 2000, S. 100–108 (zbMATH Open). 

1. ↑ Markus Haase: Functional Analysis. An Elementary Introduction. American Mathematical Society, Providence, Rhode Island 2014, S. 348 ff. 
   1. ↑ S. 348
   2. ↑ S. 349
2. ↑ Barza/Pečarić/Persson: Carlson type inequalities. In: J. Inequal. Appl. Band 2, 1998, S. 121–135. 
3. ↑ F. Carlson: Une inégalité. In: Ark. Mat. Astron. Fys. B. Band 25, 1934, S. 1–5. 
4. ↑ Larsson/Pečarić/Persson: An extension of the Landau and Levin-Stečkin inequalities. In: Acta Sci. Math. Band 70, 2004, S. 25–34. 

1. ↑ Hier wird also die Normierungskonstante ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ weggelassen und als Normierungskonstante ${\displaystyle 1}$ zugrunde gelegt.
2. ↑ Streng genommen wird die Fouriertransformatierte für auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definierte Lebesgue-integrierbare Funktionen gebildet. Man nimmt also für den hiesigen Fall die Fortsetzung der Funktion auf ganz ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit ${\displaystyle f(t)=0\,(t\in {\mathbb {R} \setminus J})}$ als gegeben an.
3. ↑ Sowohl die Funktion selbst als auch ihre Ableitungsfunktion als auch die Quadrate der zugehörigen Betragsfunktion sind stetig und damit auch Lebesgue-integrierbar.
4. ↑ Hier handelt es sich also um L^p-Normen für ${\displaystyle p=1,\,2}$ .