Tangente (Winkelhalbierende)

Die Tangente als Winkelhalbierende an Kegelschnitten ist ein spezifisches geometrisches Konstruktionsverfahren, bei dem die Tangente an einem Kegelschnitt durch die Winkelhalbierende eines von ihr gebildeten Winkels gefunden wird. Dies ist eine allgemeine Methode, bei der der Bezugspunkt ${\displaystyle P}$, von dem aus die Tangente konstruiert wird, sowohl auf dem Kegelschnitt als auch außerhalb dessen liegen kann.

• Gepunktete Linien sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Konstruktion (Bild 1)

Zuerst wird der Kreis mit gegebenem Radius um den Mittelpunkt ${\displaystyle M}$ gezogen und der Berührungspunkt ${\displaystyle P}$, durch den die Tangente verlaufen soll, frei gewählt. Um ${\displaystyle P}$ wird ein Kreis mit gleichem Radius und dessen Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MB}}|}$ eingezeichnet. Es folgt ein Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {MB}}|}$ um ${\displaystyle M}$ und ein zweiter mit gleichem Radius um ${\displaystyle B}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle A}$. Abschließend zieht man die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) des Winkels ${\displaystyle \left(M,A,B\right)}$ durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle P}$.

Nachweis (Bild 1)

Die durch den Punkt ${\displaystyle A}$ gezogene Winkelhalbierende ist bekanntlich dann eine Kreistangente in ${\displaystyle P}$, wenn sie rechtwinklig zum Radius ${\displaystyle |{\overline {MP}}|}$ verläuft.

Die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ erfüllt diese Bedingung, sie ist infolgedessen die Kreistangente in ${\displaystyle P}$.

Konstruktion (Bild 2)

Nach dem Einzeichnen des Kreises mit gegebenem Radius um Punkt ${\displaystyle M}$, wird der Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb des Kreises beliebig positioniert. Der Punkt ${\displaystyle B}$ wird auf dem Kreis beliebig positioniert und eine Halbgerade durch ${\displaystyle B}$ gezogen. Ein Halbkreis um ${\displaystyle B}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {BM}}|}$ schneidet die Halbgerade in ${\displaystyle C}$. Der Kreisbogen um ${\displaystyle P}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PM}}|}$ wird eingezeichnet. Es folgen zwei Kreisbögen mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {MC}}|}$, der eine um Punkt ${\displaystyle M}$ und der zweite um den soeben erzeugten Punkt ${\displaystyle D}$; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle E}$. Abschließend zieht man die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) durch die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle E}$, dabei wird der Berührungspunkt ${\displaystyle A}$ der Tangente generiert.

Nachweis (Bild 2)

Die durch den Punkt ${\displaystyle P}$ gezogene Winkelhalbierende ist bekanntlich dann eine Kreistangente in ${\displaystyle A}$, wenn sie rechtwinklig zum Radius ${\displaystyle |{\overline {MA}}|}$ verläuft.

Aufgrund von ${\displaystyle |{\overline {MB}}|=|{\overline {BC}}|=|{\overline {MA}}=|{\overline {AD}}|}$ ist der Punkt ${\displaystyle A}$ ein Scheitel des rechten Winkels ${\displaystyle \left(D,P,M\right)}$. Die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ steht senkrecht zum Durchmesser ${\displaystyle |{\overline {MA}}|}$ und ist somit die Kreistangente mit Berührungspunkt ${\displaystyle A}$.

• Gepunktete Linien sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Konstruktion (Bild 3)

Auf einer gegebenen Ellipse ${\displaystyle e}$ mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ wird zuerst ein beliebiger Punkt ${\displaystyle P}$ auf der Ellipse – nahe ${\displaystyle F_{1}}$ – bestimmt. Eine Halbgerade ab dem Punkt ${\displaystyle F_{2}}$ durch ${\displaystyle P}$ schließt sich an. Nach dem Verbinden des Punktes ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle F_{1}}$ folgt ein Kreis ${\displaystyle k_{1}}$ um ${\displaystyle P}$ mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {PF_{1}}}|}$; Schnittpunkt mit der Halbgeraden ist ${\displaystyle F'}$. Mit gleichem Radius zieht man den Kreis ${\displaystyle k_{2}}$ um ${\displaystyle F'}$ und ebenso den Kreis ${\displaystyle k_{3}}$ um ${\displaystyle F_{1}}$; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle A}$. Abschließend wird die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) des Winkels ${\displaystyle \left(F_{1},P,F'\right)}$ durch die Punkte ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle P}$ gezogen.

Nachweis (Bild 3)

Der Punkt ${\displaystyle P}$ ist dann ein Punkt einer Ellipse, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ des Winkels ${\displaystyle \left(F_{1},P,F'\right)}$ ist.^[1]

Da die beiden Kreise ${\displaystyle k_{2}}$ und ${\displaystyle k_{3}}$ mit dem Schnittpunkt ${\displaystyle A}$ den Winkel ${\displaystyle \left(F_{1},P,F'\right)}$ halbieren, ist die Gerade (rot), die durch ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle A}$ geht, eine Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ dieses Winkels und somit die Tangente in ${\displaystyle P}$.

Konstruktion (Bild 4)

Auf einer gegebenen Ellipse ${\displaystyle e}$ mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$ wird zuerst ein beliebiger Punkt ${\displaystyle P}$ außerhalb der Ellipse bestimmt. Es folgt der Kreisbogen ${\displaystyle k{b_{1}}}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {S_{2}S_{1}}}|=2a}$ um ${\displaystyle F_{2}}$ und der Kreisbogen ${\displaystyle k{b_{2}}}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PF_{1}}}|}$ um ${\displaystyle P}$. Noch zwei kurze Kreisbögen mit Radius z. B ${\displaystyle |{\overline {F'M}}|}$, der eine um ${\displaystyle F'}$ und der zweite um ${\displaystyle F_{1}}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle B}$. Schließlich zieht man die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) des Winkels ${\displaystyle \left(F',P,F_{1}\right)}$ durch die Punkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle P}$; dabei wird der Berührungspunkt ${\displaystyle A}$ der Tangente generiert.

Nachweis (Bild 4)

Der Punkt ${\displaystyle A}$ ist dann ein Punkt einer Ellipse, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ des Winkels ${\displaystyle \left(F',P,F_{1}\right)}$ ist.^[1]

Da ${\displaystyle |{\overline {PF'}}|=|{\overline {PF_{1}}}|}$ und die Gerade (rot) den Winkel ${\displaystyle \left(F',P,F_{1}\right)}$ halbiert, ist sie auch die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ und ist somit die Tangente in ${\displaystyle A}$.

Gegeben sei eine Parabel ${\displaystyle y={\tfrac {1}{4}}x^{2}}$. Für die beiden folgenden Konstruktionen (Bilder 5 und 6) ist vorab die Position des Brennpunktes ${\displaystyle F}$ sowie die Leitlinie ${\displaystyle l}$ zu ermitteln. Der Brennpunkt ${\displaystyle F=\left(0,{\tfrac {1}{4a}}\right)}$ wird mithilfe des Koeffizienten ${\displaystyle a={\tfrac {1}{4}}}$ von ${\displaystyle x^{2}}$ mit ${\displaystyle {\overline {FS}}={\tfrac {1\cdot 4}{4\cdot 1}}=1}$ bestimmt. Es folgt der Kreis mit Radius ${\displaystyle |{\overline {FS}}|}$ um ${\displaystyle S}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle B}$. Die Leitlinie ${\displaystyle l}$ wird als Senkrechte zur Symmetrieachse der Parabel durch Punkt ${\displaystyle B}$ gezogen.

• Gepunktete Linien sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Konstruktion (Bild 5)

Nach dem Fällen des Lots von ${\displaystyle P}$ auf die Leitlinie ${\displaystyle l}$ mit Fußpunkt ${\displaystyle C}$, folgt ein kurzer Kreisbogen mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {PF}}|}$ um ${\displaystyle F}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle A}$. Jetzt wird die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) des Winkels ${\displaystyle \left(C,B,F\right)}$ durch die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle B}$ gezogen.

Nachweis (Bild 5)

Der Punkt ${\displaystyle P}$ ist dann ein Punkt einer Parabel, wenn sein Abstand zur Leitlinie ${\displaystyle |{\overline {PC}}|}$ gleich dem Abstand ${\displaystyle |{\overline {PF}}|}$ zum Brennpunkt ist.^[2]

Aufgrund ${\displaystyle |AF|=|AC|=|PC|}$ ist die Bedingung erfüllt und die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ ist die Tangente in ${\displaystyle P}$

Konstruktion (Bild 6)

Nach dem beliebigen Positionieren des Punktes ${\displaystyle P}$, außerhalb der Parabel, wird ein Kreisbogen um Punkt ${\displaystyle P}$ und durch ${\displaystyle F}$ gezogen, bis er die Leitlinie ${\displaystyle l}$ in ${\displaystyle C}$ schneidet. Es folgen kurze Kreisbögen, z. B. mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {PF}}|}$, um die Punkte ${\displaystyle F}$ und ${\displaystyle C}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle D}$. Schließlich wird die Winkelhalbierende durch die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle D}$ gezogen, dabei wird der Berührungspunkt ${\displaystyle A}$ auf der Parabel generiert.

Nachweis (Bild 6)

Der Punkt ${\displaystyle A}$ ist dann ein Punkt einer Parabel, wenn sein Abstand zur Leitlinie ${\displaystyle |{\overline {AC}}|}$ gleich dem Abstand ${\displaystyle |{\overline {AF}}|}$ zum Brennpunkt ist.^[2]

Wegen Gleichheit der Strecken ${\displaystyle {\overline {PF}}={\overline {PC}}={\overline {FD}}={\overline {CD}}}$ ist auch ${\displaystyle {\overline {AF}}={\overline {AC}}}$. Somit ist die Gerade (rot) durch ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle D}$ die gesuchte Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ und deshalb auch die Tangente im Punkt ${\displaystyle A}$.

• Gepunktete Linien sind nicht Teil der Konstruktion, sie dienen lediglich der Verdeutlichung.

Konstruktion (Bild 7)

Gegeben sei eine Hyperbel mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$. Der Punkt ${\displaystyle P}$ wird beliebig auf die Hyperbel, z. B nahe ${\displaystyle F_{1}}$, positioniert. Die Verbindung des Punktes ${\displaystyle P}$ mit ${\displaystyle F_{2}}$ und der Kreisbogen um ${\displaystyle P}$ mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PF_{1}}}|}$ bis auf die soeben erzeugte Strecke ${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$, liefern den Schnittpunkt ${\displaystyle B}$. Es folgen kurze Kreisbögen, z. B. mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {BF_{2}}}|}$, um die Punkte ${\displaystyle B}$ und ${\displaystyle F_{1}}$; Schnittpunkt ist ${\displaystyle A}$. Nun zieht man die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ durch Punkt ${\displaystyle A}$ als Tangente in ${\displaystyle P}$.

Nachweis (Bild 7)

Der Punkt ${\displaystyle P}$ ist dann ein Punkt einer Hyperbel, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ des Winkels ${\displaystyle \left(F_{2},P,F_{1}\right)}$ ist.^[3]

Da ${\displaystyle |{\overline {PB}}|=|{\overline {PF_{1}}}|}$ und die Gerade (rot), die den Winkel ${\displaystyle \left(F_{2},P,F_{1}\right)}$ halbiert und durch ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle A}$ geht, ist sie die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ und somit auch die Tangente in ${\displaystyle P}$.

Konstruktion (Bild 8)

Gegeben sei eine Hyperbel mit den Brennpunkten ${\displaystyle F_{1}}$ und ${\displaystyle F_{2}}$. Der Punkt ${\displaystyle P}$ wird beliebig außerhalb der Hyperbel positioniert. Es folgen der Leitkreis ${\displaystyle l_{k}}$ der Hyperbel mit Radius ${\displaystyle |{\overline {2a}}|}$ um ${\displaystyle F_{2}}$ und der Kreisbogen mit Radius ${\displaystyle |{\overline {PF_{1}}}|}$ ab ${\displaystyle F_{1}}$ um ${\displaystyle P}$, bis er den Leitkreis ${\displaystyle l_{k}}$ in ${\displaystyle C}$ schneidet. Für die Halbierung des Winkels ${\displaystyle \left(F_{1},P,C\right)}$ bedarf es zweier Kreisbögen mit dem Radius ${\displaystyle |{\overline {CF_{1}}}|}$, einen um Punkt ${\displaystyle C}$ und einen um Punkt ${\displaystyle F_{1}}$; dabei ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle D}$. Abschließend zieht man die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ (rot) durch die Punkte ${\displaystyle P}$ und ${\displaystyle D}$, dabei wird der Berührungspunkt ${\displaystyle A}$ der gesuchten Tangente generiert.

Nachweis (Bild 8)

Der Punkt ${\displaystyle A}$ ist dann ein Punkt einer Hyperbel, wenn die Gerade, die durch ihn geht, die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ des Winkels ${\displaystyle \left(F_{1},P,C\right)}$ ist.^[3]

Da ${\displaystyle |{\overline {PF_{1}}}|=|{\overline {PC}}|}$, ${\displaystyle |{\overline {F_{1}D}}|=|{\overline {CD}}|}$ und die Gerade (rot) den Winkel ${\displaystyle \left(F_{1},P,C\right)}$ halbiert, ist sie die Winkelhalbierende ${\displaystyle w}$ und somit auch die Tangente in ${\displaystyle A}$.

1. ↑ ^{a b} Peter Lesky: 5.2 Tangente in einem Ellipsenpunkt (mit Beweis). Kegelschnitte. Universität Stuttgart, 2020, S. 67–68, abgerufen am 1. Oktober 2025. 
2. ↑ ^{a b} Dieter Neßelmann: Tangente der Parabel. Vorkurs Mathematik Teil: Geometrie und lineare Algebra. Universität Rostock, 24. Juni 2014, abgerufen am 19. Oktober 2023. 
3. ↑ ^{a b} Peter Lesky: 6.6 Tangente an Hyperbel. Kegelschnitte. Universität Stuttgart, 2020, S. 86–87, abgerufen am 1. Oktober 2025.