Sylvestermatrix

In der Algebra ist die Sylvestermatrix zu zwei Polynomen eine spezielle mit den Koeffizienten der Polynome besetzte Matrix, deren Determinante die Resultante der Polynome ergibt. Sie ist nach dem britischen Mathematiker James J. Sylvester benannt.

Seien ${\displaystyle R}$ ein kommutativer Ring sowie ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zwei Polynome

${\displaystyle f=\sum _{i=0}^{m}f_{i}X^{i}=f_{0}+f_{1}X+\cdots +f_{m}X^{m}\quad }$ und ${\displaystyle \quad g=\sum _{i=0}^{n}g_{i}X^{i}=g_{0}+g_{1}X+\cdots +g_{n}X^{n}}$

aus dem Polynomring ${\displaystyle R[X]}$ mit den Graden ${\displaystyle \deg(f)=m\geq 1}$ und ${\displaystyle \deg(g)=n\geq 1}$.

Dann heißt die quadratische ${\displaystyle (m+n)}$-Matrix^[1]

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&0&\cdots &0\\0&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &&&&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&f_{m}&f_{m-1}&\cdots &f_{1}&f_{0}\\g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&0&\cdots &0\\0&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}&\cdots &0\\\vdots &&\ddots &&&&\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&g_{n}&g_{n-1}&\cdots &g_{1}&g_{0}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}S_{1}(f)\\\vdots \\S_{n}(f)\\S_{1}(g)\\\vdots \\S_{m}(g)\end{pmatrix}}}$

die Sylvestermatrix zu ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$. Die ${\displaystyle S_{i}(P)}$ stehen für eine Zeile der Matrix mit Koeffizienten des Polynoms ${\displaystyle P\in \{f,g\}}$.

Für das Polynom ${\displaystyle f}$ mit ${\displaystyle \deg(f)+1}$ Koeffizienten gibt es ${\displaystyle n=\deg(g)}$ Zeilen mit verschobenen Koeffizienten, weil ${\displaystyle n+m-(\deg(f)+1)=n-1}$ Einträge in einer Zeile jeweils mit ${\displaystyle 0}$ gefüllt sind. Daraus folgt: Die erste Zeile, die ganz links in der Matrix beginnt, kann insgesamt ${\displaystyle n-1}$ mal nach rechts verschoben werden.

Beispiel: Seien ${\displaystyle \deg(f)=4}$ und ${\displaystyle \deg(g)=3}$, dann ist die Sylvestermatrix

${\displaystyle \operatorname {Syl} (f,g)={\begin{pmatrix}f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0&0\\[2mm]0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}&0\\[1mm]0&0&f_{4}&f_{3}&f_{2}&f_{1}&f_{0}\\[1mm]g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0&0\\[1mm]0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0&0\\[1mm]0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}&0\\[1mm]0&0&0&g_{3}&g_{2}&g_{1}&g_{0}\end{pmatrix}}}$

Die trunkierte Sylvester-Matrix ${\displaystyle M_{ji}}$ wird verwendet, um den Grad des größten gemeinsamen Teilers zweier Polynome ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$ zu bestimmen.

Für ${\displaystyle 0\leq i\leq j\leq \min(m,n)}$ entsteht ${\displaystyle M_{ji}}$ aus der Sylvestermatrix durch folgende Schritte^[2]

• Man behält die ersten ${\displaystyle m-j}$ Zeilen von ${\displaystyle f}$-Koeffizienten,
• Man behält die ersten ${\displaystyle n-j}$ Zeilen von ${\displaystyle g}$-Koeffizienten,
• Man behält die ersten ${\displaystyle m+n-2j}$ Spalten

${\displaystyle M_{ji}={\begin{pmatrix}f_{m}&&\cdots &&&f_{0}&0&0\\0&\ddots &&&&&\ddots &0\\0&0&f_{m}&&&&&f_{0}\\0&0&0&f_{m}&&&&f_{1}\\0&0&0&0&\ddots &&&\vdots \\0&0&0&0&0&f_{m}&\cdots &f_{j}\\g_{n}&&\cdots &&&g_{0}&0&0\\0&\ddots &&&&&\ddots &0\\0&0&g_{n}&&&&&g_{0}\\0&0&0&g_{n}&&&&g_{1}\\0&0&0&0&\ddots &&&\vdots \\0&0&0&0&0&g_{n}&\cdots &g_{j}\\\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle M_{ij}}$ ist dann eine ${\displaystyle (m+n-2j)\times (m+n-2j)}$-Matrix.

Das Polynom

${\displaystyle S_{j}(f,g)=\sum _{i=0}^{j}\left(\det M_{ji}\right)\,X^{i}}$

ist dann die ${\displaystyle j}$-te Subresultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$; ihr Leitkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {psc} _{j}(f,g)=\det M_{jj}}$

ist der ${\displaystyle j}$-te Hauptsubresultantenkoeffizient. Der ${\displaystyle 0}$-te Hauptsubresultantenkoeffizient

${\displaystyle \operatorname {res} (f,g)=\det \operatorname {Syl} (f,g)}$

schließlich ist die Resultante von ${\displaystyle f}$ und ${\displaystyle g}$.

Die Hauptsubresultantenkoeffizienten haben eine wichtige Bedeutung als „Gradmesser“ des größten gemeinsamen Teilers von Polynomen: Der Grad von ${\displaystyle \operatorname {ggT} (f,g)}$ für zwei Polynome ungleich 0 über einem kommutativen faktoriellen Integritätsring ist genau das kleinste ${\displaystyle k\geq 0}$ mit ${\displaystyle \operatorname {psc} _{k}(f,g)\neq 0}$.

1. ↑ Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004, S. 4 (semanticscholar.org). 
2. ↑ Peter F. Stiller: An Introduction to the Theory of Resultants. 2004 (semanticscholar.org).