Stöchiometrische Matrix

Die stöchiometrische Matrix ist eine Matrix, welche die Stöchiometrie eines Reaktionsnetzwerkes in kompakter Form repräsentiert.

Sie wird meist mit ${\displaystyle N}$ abgekürzt. In der Regel entsprechen die Spalten von ${\displaystyle N}$ den Reaktionen des Systems während die Zeilen den chemischen Spezies entsprechen. Spezies einer Reaktion, welche in Summe konsumiert werden, erhalten einen Eintrag mit negativen Vorzeichen und Spezies, welche in Summe produziert werden, erhalten einen positiven Eintrag an der Position von ${\displaystyle N}$, welche der gegebenen Reaktion und Spezies entspricht. Die Änderung der Spezies nach der Zeit ist dann gegeben durch ${\displaystyle {\text{d}}c/{\text{d}}t=Nv}$ wobei ${\displaystyle v}$ den Vektor der Reaktionsraten (auch „Flussvektor“ genannt) repräsentiert. In einem stationären Zustand gilt demnach ${\displaystyle Nv=\mathbf {0} }$, d. h. das System befindet sich in einem Fließgleichgewicht.

Die stöchiometrische Matrix lässt Rückschlüsse auf die Reaktionsraten der stationären Zustände zu. Im stationären Zustand muss dann mindestens ${\displaystyle v\in {\text{kern}}(N)}$ gelten, d. h. die Menge aller solcher ${\displaystyle v}$ liegen im Nullraum von ${\displaystyle N}$. Diese Bedingung ist unabhängig von der Kinetik, welcher das gegebene chemische System zugrunde liegt.

Der Rang der stöchiometrischen Matrix gibt die Zahl linear unabhängiger Reaktionen an.

Die vier Reaktionen

${\displaystyle {\begin{array}{crcl}R_{1}:=&{\text{A}}&\rightarrow &{\text{B}},\\R_{2}:=&4{\text{C}}+2{\text{B}}&\rightarrow &5{\text{C}}+{\text{B}},\\R_{3}:=&{\text{C}}&\rightarrow &{\text{D}},\\R_{4}:=&{\text{D}}&\rightarrow &{\text{A}},\end{array}}}$

lassen sich wie folgt als Matrix kodieren:

${\displaystyle N=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&0&0&1\\1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\end{array}}\right],}$

wobei die Spalten der Reihe nach den Reaktionen ${\displaystyle R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}}$ und die Zeilen den Spezies ${\displaystyle {\text{A}},{\text{B}},{\text{C}},{\text{D}}}$ entsprechen. Reaktion ${\displaystyle R_{1}}$ konsumiert eine Einheit von Spezies ${\displaystyle {\text{A}}}$ und produziert eine Einheit von Spezies ${\displaystyle {\text{B}}}$ (erste Spalte). Gleichfalls wird in Reaktion ${\displaystyle R_{2}}$ netto eine Einheit von Spezies ${\displaystyle {\text{C}}}$ produziert während netto eine Einheit von Spezies ${\displaystyle {\text{B}}}$ konsumiert wird (zweite Spalte). Ist im Beispiel ${\displaystyle v=[1,1,1,1]^{T}}$, dann ergibt sich ${\displaystyle Nv=\mathbf {0} }$ und das System befindet sich in einem stationären Zustand.

Wie man an diesem Beispiel sieht kann das originale chemische System nicht allein durch Kenntnis der stöchiometrischen Matrix rekonstruiert werden. Für Reaktion ${\displaystyle R_{2}}$ existieren unendliche viele Möglichkeiten, welche die gleiche Spalte in ${\displaystyle N}$ erzeugen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}3{\text{C}}+{\text{B}}&\rightarrow &4{\text{C}},\\4{\text{C}}+2{\text{B}}&\rightarrow &5{\text{C}}+{\text{B}},\\5{\text{C}}+3{\text{B}}&\rightarrow &6{\text{C}}+2{\text{B}},\\&\vdots &\end{array}}}$

Demnach enthält die stöchiometrische Matrix weniger Information als der ursprüngliche Satz an Reaktionen.

Beispielsweise sollen 6 bekannte Reaktionen simultan ablaufen^[1]:

1) ${\displaystyle 1\mathrm {A} +2\mathrm {B} \;\longrightarrow \;1\mathrm {C} }$

2) ${\displaystyle 1\mathrm {C} \;\longrightarrow \;1\mathrm {A} +2\mathrm {B} }$

3) ${\displaystyle 2\mathrm {A} +2\mathrm {B} \;\longrightarrow \;1\mathrm {D} +1\mathrm {E} }$

4) ${\displaystyle 1\mathrm {D} +1\mathrm {E} \;\longrightarrow \;2\mathrm {A} +2\mathrm {B} }$

5) ${\displaystyle 1\mathrm {A} +3\mathrm {B} \;\longrightarrow \;1\mathrm {D} +1\mathrm {F} }$

6) ${\displaystyle 1\mathrm {D} +1\mathrm {F} \;\longrightarrow \;1\mathrm {A} +3\mathrm {B} }$

Wie man an den obigen chemischen Reaktionsgleichungen sieht, sind jeweils zwei Gleichungen als Gleichgewichtsreaktion zusammengehörig:

• 1) und 2)
• 3) und 4)
• 5) und 6)

Sie können daher nicht alle voneinander "unabhängig" sein. Eine Reduzierung der Anzahl der Gleichungen ist daher sinnvoll und möglich. Welche der genannten Reaktionsgleichungen letztendlich als unabhängige verbleiben ist faktisch eine zufällige oder willkürliche Entscheidung, die vom Ergebnis des Gaußschen Verfahrens abhängt.

Nimmt ein Stoff/Reaktand i nicht an der Reaktion j teil, so ist sein stöchiometrischer Koeffizient für diese Reaktion j in der Koeffizientenmatrix mit Null anzusetzen. Dies gilt generell für Inertstoffe, falls diese mit bilanziert werden müssen.

Nun erfolgt die lineare Vereinfachung mit dem Gaußschen Algorithmus. Im Beispiel durch Addition von Zeilen (Reaktionen bzw. von deren stöchiometrischen Koeffizienten).

Ergebnis der Bearbeitung:

Koeffizientenmatrix linear unabhängiger Reaktionen mit dem Rang ${\displaystyle r=\sum j_{\text{unabhängig}}=3}$

	Reaktand i
Reaktion j	A	B	C	D	E	F
1)	−1	−2	+1	0	0	0
3)	−2	−2	0	+1	+1	0
5)	−1	−3	0	+1	0	+1

Es verbleiben also im Beispiel nur drei Reaktionen als linear unabhängige Reaktionen. Der Rang der Koeffizientenmatrix ist daher r=3.

Seien ${\displaystyle \mathbb {P} :=\{x\in \mathbb {R} \ \vert \ x>0\}}$ die Menge aller reellen Zahlen größer Null und ${\displaystyle {\overline {\mathbb {P} }}:=\mathbb {P} \cup \{0\}}$ die Menge aller reellen Zahlen größer oder gleich Null^[2]. Weiterhin sei ${\displaystyle r}$ die Anzahl der Reaktionen im gegebenen chemischen System. Die folgenden Mengen an Vektoren ${\displaystyle v}$ repräsentieren stationäre Zustände chemischer Systeme mit unterschiedlichen Randbedingungen^[3]:

• nur reversible Reaktionen, d. h. Reaktionen, welche in Vorwärts- und Rückwärtsrichtung ablaufen können: ${\displaystyle {\text{ker}}(N)}$;
• nur irreversible Reaktionen, d. h. Reaktionen, welche nur in Vorwärtsrichtung ablaufen können: ${\displaystyle {\text{ker}}(N)\cap {\overline {\mathbb {P} }}^{r}}$;
• eine Mischung aus reversiblen und irreversiblen Reaktionen: ${\displaystyle \{v\in \mathbb {R} ^{r}{\text{ }}\vert {\text{ }}Nv=\mathbf {0} {\text{ and }}v_{i}\geq 0{\text{ }}\forall i\in Irr\}}$, wobei ${\displaystyle Irr}$ die Menge der Indices der irreversiblen Reaktionen bezeichnet.

Die stöchiometrische Matrix ist ein zentrales Werkzeug der Systembiologie. Sie ermöglicht eine systematische Analyse der Flussvektoren von stationären Zuständen eines chemischen oder biologischen Systems. Im Allgemeinen ist hierbei der Größe des zu analysierenden Systems fast keine Grenze gesetzt, da ihre Verwendung nur Methoden aus der linearen Algebra erfordert. Methoden, welche auf die stöchiometrische Matrix zurückgreifen, sind z. B.: FBA (Flux Balance Analysis)^[4], FCA (Flux Coupling Analysis)^[5], FVA (Flux Variability Analysis)^[6], das Konzept der EFMs (Elementary Flux Modes)^[7][8] und ähnliche Methoden wie Extreme Currents^[8][9] und Extreme Pathways^[8][10], DFBA (Dynamic FBA)^[11] und CRNT (Chemical Reaction Network Theory)^{[2][12][13][14]}.

In der Verfahrenstechnik werden komplexe Reaktionssysteme, in denen also mehrere "unabhängige" chemische Reaktionen gleichzeitig im Reaktionsvolumen ablaufen, mithilfe der Stöchiometrischen Matrix der unabhängigen Reaktionen bilanziert. Dazu benutzt man Umsatzvariablen und modifizierte Umsatzvariablen dieser Reaktionen.

• Autorenkollektiv (federführend K. Budde): Reaktionstechnik III (Reihe Verfahrenstechnik), VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1977, S. 21–27 (Bilanzierungsbeispiel Nr. 3 einer komplexen chemischen Gasreaktion. Aufstellung und Vereinfachung der Koeffizienten-Matrix. Bestimmung des Ranges der Matrix (Anzahl linear unabhängiger Reaktionen). Vereinfachung der Matrix mit dem Gaußschen Algorithmus. Bilanzierung der nicht-volumenkonstanten Gasreaktionen als Stoffmengenbilanzen mittels normaler Umsatzvariable für einen kontinuierlichen Prozess.); sowie Budde: Reaktionstechnik I, Leipzig 1974, Kapitel "Stöchiometrische Grundlagen komplexer Reaktionen" S. 35
• Anwendung des Gibbsschen Phasengesetzes auf chemische Reaktionen, S. 105–109 in Karl-Heinz Näser, Dieter Lempe, Otfried Regen: Physikalische Chemie für Techniker und Ingenieure, VEB Deutscher Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1990, 19. unveränderte Auflage, ISBN 3-342-00545-9

• Freiheitsgrad (die Anzahl der unabhängigen Reaktionsgleichungen hängt von der Anzahl der Reaktanden und Phasen etc. ab)
• Gibbssches Phasengesetz

1. ↑ Autorenkollektiv (K. Budde federführend): Reaktionstechnik III (Reihe Verfahrenstechnik), VEB Verlag für Grundstoffindustrie, Leipzig 1977, Beispiel 3 S. 23, Berechnung eines komplexen Reaktionssystems nicht-volumenkonstanter Gasreaktionen mit der stöchiometrischen Matrix und den Umsatzvariablen der unabhängigen Reaktionen
2. ↑ ^{a b} J. Gunawardena: Chemical reaction network theory for in-silico biologists. 2003
3. ↑ J. Gagneur and S. Klamt: Computation of elementary modes: a unifying framework and the new binary approach. BMC Bioinformatics 2004
4. ↑ J. D. Orth and I. Thiele and B. O. Palsson: What is flux balance analysis? Nat Biotechnol 2010
5. ↑ A. P. Burgard and E. V. Nikolaev and C. H. Schilling and C. D. Maranas: Flux coupling analysis of genome-scale metabolic network reconstructions. Genome Res 2004
6. ↑ R. Mahadevan and C. Schilling: The effects of alternate optimal solutions in constraint-based genome-scale metabolic models. Metabolic engineering 2003
7. ↑ S. Schuster and D. A. Fell and T. Dandekar: A general definition of metabolic pathways useful for systematic organization and analysis of complex metabolic networks. Nat Biotechnol 2000
8. ↑ ^{a b c} A. Larhlimi and A. Bockmayr: On inner and outer descriptions of the steady-state flux cone of a metabolic network. Computational Methods in Systems Biology 2008
9. ↑ B. L. Clarke: Stoichiometric network analysis. Cell Biochem Biophys 1988
10. ↑ C. H. Schilling and D. Letscher and B. O. Palsson: Theory for the systemic definition of metabolic pathways and their use in interpreting metabolic function from a pathway-oriented perspective. J Theor Biol 2000
11. ↑ R. Mahadevan and J. S. Edwards and F. J. Doyle: Dynamic flux balance analysis of diauxic growth in Escherichia coli. Biophys J 2002
12. ↑ F. Horn and R. Jackson: General mass action kinetics. Arch Rational Mech Anal 1972
13. ↑ M. Feinberg: Lectures on chemical reaction networks. 1979
14. ↑ M. Feinberg: The existence and uniqueness of steady states for a class of chemical reaction networks. Arch Rational Mech Anal 1995

• Stöchiometrische Analyse zellulärer Reaktionssysteme (PDF; 168 kB)