Spiegelungsmatrix

Als Spiegelungsmatrix bezeichnet man in der linearen Algebra eine Matrix, die eine Spiegelung darstellt. Das einfachste Beispiel ist die Spiegelung an einer Ursprungsgeraden ${\displaystyle g}$ in der Ebene. Die Spiegelungsabbildung ergibt sich als Matrix-Vektor-Produkt der Matrix mit dem entsprechenden Vektor.

Ist ${\displaystyle g}$ eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$, so ist die Spiegelung an ${\displaystyle g}$ eine lineare Abbildung ${\displaystyle \varphi _{g}}$. Die darstellende Matrix ${\displaystyle S_{g}}$ bezüglich der Standardbasis hat die Gestalt

${\displaystyle S_{g}={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha &\sin 2\alpha \\\sin 2\alpha &-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}}$.

Die ${\displaystyle x}$-Achse ist eine Ursprungsgerade mit Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha =0}$. Also lautet die Matrix einer Spiegelung an der ${\displaystyle x}$-Achse

${\displaystyle S={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

Da die Spiegelung eine lineare Abbildung ist, genügt es, die Bilder der kanonischen Einheitsvektoren ${\textstyle e_{1}=\left({\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}}\right)}$ und ${\displaystyle e_{2}=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$ zu betrachten; diese bilden die Spalten der Spiegelungsmatrix. Eine Spiegelung von ${\displaystyle e_{1}}$ an der Ursprungsgerade mit Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$ entspricht einer Drehung von ${\displaystyle e_{1}}$ um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }$ gegen den Uhrzeigersinn (siehe Skizze). Also ist

${\displaystyle \varphi _{g}(e_{1})={\begin{pmatrix}\cos 2\alpha \\\sin 2\alpha \end{pmatrix}}}$.

Eine Spiegelung von ${\displaystyle e_{2}}$ entspricht einer Drehung von ${\displaystyle e_{2}}$ um den Winkel ${\displaystyle 2\alpha }$ und anschließender Umkehrung des Richtungssinns. Also ist

${\displaystyle \varphi _{g}(e_{2})={\begin{pmatrix}\sin 2\alpha \\-\cos 2\alpha \end{pmatrix}}}$.

Ist ${\displaystyle g}$ eine Gerade mit Normaleneinheitsvektor ${\displaystyle n}$, so hat die Spiegelungsmatrix die Gestalt

${\displaystyle S_{g}=I_{2}-2\,nn^{T}}$,

wobei ${\displaystyle I_{2}}$ die ${\displaystyle (2\times 2)}$-Einheitsmatrix ist.

Die ${\displaystyle x}$-Achse hat den Normaleneinheitsvektor ${\displaystyle e_{2}=\left({\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$. Es ist

${\displaystyle nn^{T}={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$

und somit

${\displaystyle S_{g}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}-2\,{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$.

Ist ${\displaystyle g}$ eine Gerade mit Einheitsnormale ${\displaystyle n}$ und ${\displaystyle x}$ ein Vektor, so ist ${\displaystyle n^{T}x}$ die Länge der Orthogonalprojektion von ${\displaystyle x}$ auf ${\displaystyle n}$. Spiegelt man nun ${\displaystyle x}$ an ${\displaystyle g}$, so gilt (siehe Abbildung)

${\displaystyle \varphi _{g}(x)=x-2n^{T}x\cdot n=(I_{2}-2n^{T}n)x}$.

Also ist ${\displaystyle S_{g}=I_{2}-2\,n^{T}n}$ die darstellende Matrix der Geraden ${\displaystyle n^{T}x=0}$.

Mithilfe dieser Spiegelungsmatrizen lässt sich auch eine Darstellung der Spiegelung eines Vektors ${\displaystyle {\vec {v}}}$ an einer beliebigen Geraden ${\displaystyle g={\vec {a}}+r\cdot {\vec {u}}}$ mit Neigungswinkel ${\displaystyle \alpha }$ darstellen. Hierzu sind zwei Schritte durchzuführen:

1. Die allgemeine Spiegelung wird auf eine Spiegelung an einer Ursprungsgeraden ${\displaystyle g^{*}=r\cdot {\vec {u}}}$ zurückgeführt. Dies wird durch Verschiebung von ${\displaystyle g}$ um ${\displaystyle -{\vec {a}}}$ erreicht: ${\displaystyle {\vec {v}}'={\vec {v}}-{\vec {a}}}$. Der Vektor ${\displaystyle {\vec {v}}'}$ wird nun an ${\displaystyle g^{*}}$ gespiegelt:

   ${\displaystyle {\vec {q}}'=S_{g}({\vec {v}}')=S_{g}({\vec {v}}-{\vec {a}})}$

2. Verschiebung von ${\displaystyle {\vec {q}}'}$ um den Stützvektor ${\displaystyle {\vec {a}}}$ der Ausgangsgeraden ${\displaystyle g}$:

   ${\displaystyle {\vec {q}}={\vec {q}}'+{\vec {a}}}$

Für ${\displaystyle n=3}$ stellt die Matrix

${\displaystyle S=I_{3}-2\,nn^{T}}$

eine Spiegelung im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ dar, und zwar an der Ebene, die durch ${\displaystyle n^{T}x=0}$ beschrieben wird. Analog kann man

${\displaystyle y=(I_{n}-2\,nn^{T})\,x}$

für ${\displaystyle n>3}$ als „Spiegelung“ an der Hyperebene ${\displaystyle n^{T}x=0}$ im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ auffassen.^[1] Folglich lassen sich allgemein

${\displaystyle S=I_{n}-2\,nn^{T}}$

als Spiegelungsmatrizen auffassen. Diese Matrizen werden in der numerischen Mathematik als Householder-Matrizen bezeichnet.

Spiegelungsmatrizen sind orthogonal und symmetrisch^[2] und haben die Determinante −1.

• Wolfgang Mackens, Heinrich Voß: Mathematik. Für Studierende der Ingenieurwissenschaften. Band 1. HECO-Verlag, Aachen 1993, ISBN 3-930121-00-X. 

1. ↑ Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure Band II. 11. Auflage. Springer Vieweg, Wiesbaden 2017, ISBN 978-3-658-19427-7, S. 310. 
2. ↑ Gilbert Strang: Lineare Algebra. Springer, Berlin / Heidelberg 2003, ISBN 3-540-43949-8, S. 231.