Sherrington-Kirkpatrick-Modell

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell ist in der statistischen Physik ein lösbares Spin-Glas-Modell, welches 1975 von David Sherrington und Scott Kirkpatrick eingeführt wurde.^[1] Es ist ein Mean-Field-Modell für das Spin-Glas.

Das Sherrington-Kirkpatrick-Modell besteht aus einer Konfiguration ${\displaystyle \sigma =(\sigma _{1},\dots ,\sigma _{N})\in \Sigma _{N}:=\{-1,1\}^{N}}$ bestehend aus ${\displaystyle N}$ binären Spins ${\displaystyle \sigma _{i}\in \{-1,1\}}$ und einem Hamiltonoperator ${\displaystyle H_{N}\colon \Sigma _{N}\to \mathbb {R} }$ gegeben durch

${\displaystyle H_{N}(\sigma )={\frac {1}{\sqrt {N}}}\sum \limits _{1\leq i<j\leq N}g_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j},}$

wobei die ${\displaystyle \{g_{ij}\}_{1\leq i<j\leq N}}$ unabhängige und normalverteilte Zufallsvariablen sind, das heißt ${\displaystyle g_{ij}\sim {\mathcal {N}}(0,1)}$ für ${\displaystyle 1\leq i<j\leq N}$ .^[2]

Üblicherweise ist man nun an

${\displaystyle \max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )}$

(für eine Realisation der Zufallsvariablen ${\displaystyle g_{ij}}$) interessiert.

• ${\displaystyle H_{N}(\sigma )}$ ist zentriert und gaußsch. Es gilt

${\displaystyle \mathbb {E} [H_{N}(\sigma ^{1})H_{N}(\sigma ^{2})]={\frac {1}{N}}\sum \limits _{i<j}\sigma _{i}^{1}\sigma _{j}^{1}\sigma _{i}^{2}\sigma _{j}^{2}={\frac {N}{2}}\left({\frac {1}{N}}\sum \limits _{i=1}^{N}\sigma _{i}^{1}\sigma _{i}^{2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}}={\frac {N}{2}}\left(R_{1,2}\right)^{2}-{\frac {1}{2}},}$

wobei ${\displaystyle R_{1,2}}$ ein normalisiertes euklidisches Skalarprodukt ist.^[3]

Die Partitionsfunktion ist

${\displaystyle Z_{N}(\beta )=\sum \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}\exp(\beta H_{N}(\sigma )),}$

wobei ${\displaystyle \beta >0}$ der inverse Temperatur-Parameter ist. Die freie Energie ist

${\displaystyle F_{N}(\beta )={\frac {1}{N}}\mathbb {E} \log(Z_{N}(\beta )).}$

Dann gilt

${\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\mathbb {E} \left[\max \limits _{\sigma \in \Sigma _{N}}H_{N}(\sigma )\right]=\lim \limits _{\beta \to \infty }{\frac {F(\beta )}{\beta }},}$

wobei ${\displaystyle F(\beta )=\lim \limits _{N\to \infty }F_{N}(\beta ).}$^[4]

Eine natürliche Verallgemeinerung ist das gemischte p-Spin-Modell, dessen Hamiltonian aus linearen Kombinationen von ${\displaystyle p}$ Spins (statt nur ${\displaystyle 2}$) besteht.

• Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model: An Overview. In: Journal of Statistical Physics. Band 149, Nr. 2. Springer Science and Business Media, 2012, S. 362–383, doi:10.1007/s10955-012-0586-7. 
• Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model. Springer, New York 2013, doi:10.1007/978-1-4614-6289-7. 
• Michael Talagrand: Mean Field Models for Spin Glasses. Band 1. Springer, ISBN 978-3-642-26598-3, doi:10.1007/978-3-642-15202-3. 
• M. Mezard, G. Parisi, M. A. Virasoro: Spin glass theory and Beyond. (= World Scientific Lect. Notes in Physics. Band 9). World Scientific, Singapore 1987, ISBN 9971-5-0115-5.

1. ↑ D. Sherrington, S. Kirkpatrick: Solvable model of a spin glass. In: Phys. Rev. Lett. Band 35, 1975, S. 1792–1796, doi:10.1103/PhysRevLett.35.1792. 
2. ↑ Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model: An Overview. In: Journal of Statistical Physics. Band 149, Nr. 2. Springer Science and Business Media, 2012, S. 362–383, doi:10.1007/s10955-012-0586-7. 
3. ↑ Michael Talagrand: Mean Field Models for Spin Glasses. Band 1. Springer, 2011, ISBN 978-3-642-26598-3, doi:10.1007/978-3-642-15202-3. 
4. ↑ Dmitry Panchenko: The Sherrington-Kirkpatrick Model. Springer, New York 2013, S. 3–4, doi:10.1007/978-1-4614-6289-7.