Schiefer Kegel

Die Basis des allgemeinen Schiefkegels ist eine geschlossene Kurve mit der Parameter-Darstellung ${\displaystyle x(t):=p(t)}$ und ${\displaystyle y(t):=q(t)}$, wobei ${\displaystyle p}$ und ${\displaystyle q}$ im Intervall ${\displaystyle [c,d]}$ differenzierbar sind (bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen), außerdem: ${\displaystyle p(c)=p(d)}$ und ${\displaystyle q(c)=q(d)}$. Der Punkt ${\displaystyle E=(u,v)}$ liegt in der Kurven-Ebene, die Kegelspitze ${\displaystyle S}$ steht im Abstand ${\displaystyle h}$ senkrecht über ${\displaystyle E}$, also ${\displaystyle S=(u,v,h)}$. Der folgende Formalismus gilt auch für nicht geschlossene Kurven, dann spricht man besser von Segeln als von Kegeln (Dreiecks-Segeln, geschwungenen Dreiecken). Um die Formeln übersichtlich zu halten, wird die Ableitung nach ${\displaystyle t}$ (wie in der Physik üblich) mit einem Punkt versehen.

Die Formel für die Mantelfläche ${\displaystyle M}$ des allgemeinen Schiefkegels gleicht der des schiefen Ellipsenkegels (abgesehen von den Integrationsgrenzen):

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}{\sqrt {Z(t)^{2}+h^{2}\cdot N(t)^{2}}}\mathrm {d} t}$

Hier bedeuten

${\displaystyle Z(t)=(p-u)\cdot {\dot {q}}-(q-v)\cdot {\dot {p}}}$

und

${\displaystyle N(t)={\sqrt {{\dot {p}}^{2}+{\dot {q}}^{2}}}}$

Man könnte mit diesem Formalismus auch den Pyramiden-Mantel berechnen (die Pyramide als „Kegel“ mit quadratischer Basis), aber hier führt die Elementar-Geometrie schneller zum Ziel.

Das Radizieren einer Funktion ${\displaystyle f}$ über ${\displaystyle [c,d]}$ erfordert Sorgfalt, denn die Quadratwurzel aus ${\displaystyle f^{2}}$ ist mehrdeutig, sogar unendlich vieldeutig. Um das einzusehen, braucht man nur an einer beliebigen Stelle ${\displaystyle a}$ (die nicht Nullstelle von ${\displaystyle f}$ ist) den Wert ${\displaystyle f(a)}$ in ${\displaystyle -f(a)}$ umzukehren. Geometrisch bedeutsam sind die Wurzeln ${\displaystyle |f|}$ und ${\displaystyle f}$. Wenn in der Formel für den Mantel eines allgemeinen Schiefkegels die Höhe ${\displaystyle h}$ gegen Null strebt, entsteht der Ausdruck

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}{\sqrt {Z(t)^{2}}}\mathrm {d} t}$

und insbesondere für die Wurzel ${\displaystyle |Z(t)|}$:

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}|Z(t)|\mathrm {d} t}$

geometrisch gesehen ist das die Fläche des „zusammengefalteten“ Kegelmantels in der xy-Ebene (wo die Kegelbasis liegt). Für die Wurzel ${\displaystyle Z(t)}$ hingegen ergibt sich

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}Z(t)\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}((p-u)\cdot {\dot {q}}-(q-v)\cdot {\dot {p}})\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}(p{\dot {q}}-{\dot {p}}q)\mathrm {d} t}$

weil die bestimmten Integrale über die Ableitungen von ${\displaystyle uq}$ und ${\displaystyle vp}$ Null sind. Das folgt aus der Nebenbedingung ${\displaystyle p(c)=p(d)}$ und ${\displaystyle q(c)=q(d)}$. Geometrisch gesehen handelt es sich hierbei um die Fläche der Kegelbasis. Durch partielle Integration (und Beachtung von ${\displaystyle p(c)q(c)=p(d)q(d)}$) gewinnt man die Gleichung:

${\displaystyle M={\frac {1}{2}}\int \limits _{c}^{d}(p{\dot {q}}-{\dot {p}}q)\mathrm {d} t=\int \limits _{c}^{d}p{\dot {q}}\mathrm {d} t}$

Der rechte Ausdruck besticht durch seine Kürze, ist aber unpraktisch, weil sich der scheinbar komplizierte linke Ausdruck besser auswerten lässt. Die Fläche zwischen den Tangenten von ${\displaystyle E}$ an die Kegelbasis (die Basis selbst nicht mitgerechnet), also die Fläche des Tangenten-Zipfels, ergibt sich aus

${\displaystyle M={\frac {1}{4}}\int \limits _{c}^{d}(|Z(t)|-Z(t))\mathrm {d} t}$

Der Faktor ¼ (statt ½) besagt, dass die Fläche des Tangentenzipfels nur einmal gezählt wird (statt doppelt wie beim zusammengefalteten Kegelmantel, bei dem die ${\displaystyle E}$ zugewandte und die ${\displaystyle E}$ abgewandte Mantelfläche übereinander liegen). Wenn ${\displaystyle E}$ auf dem Rand oder innerhalb der Kegelbasis liegt, verschwindet ${\displaystyle M}$. Dann nämlich fallen Basis und zusammengefalteter Mantel in eins.

Ndt ist das Integrationselement des Umfangs der Kegelbasis (siehe Grafik). Der Umfang der Kegelbasis ergibt sich daher zu

${\displaystyle U=\int \limits _{c}^{d}|N(t)|\mathrm {d} t}$

Wenn man nur ${\displaystyle N(t)}$ als Integranden wählt (statt ${\displaystyle |N(t)|}$), kann es vorkommen, dass das Integral verschwindet. Beispiel: Die Astroide (Sternkurve) hat die Parameterdarstellung ${\displaystyle p(t)=a\cos ^{3}(t),q(t)=a\sin ^{3}(t)}$ über ${\displaystyle [0,2\pi ]}$. Dann ist ${\displaystyle N(t)^{2}=9a^{2}\sin ^{2}(t)\cos ^{2}(t)}$. Für ${\displaystyle N(t)=3a\sin(t)\cos(t)}$ verschwindet das Integral über ${\displaystyle [0,2\pi ]}$. Für ${\displaystyle |N(t)|}$ jedoch ergibt sich

${\displaystyle U=3a\int \limits _{0}^{2\pi }\left|\sin(t)\cdot \cos(t)\right|\mathrm {d} t=12a\int \limits _{0}^{\frac {\pi }{2}}\sin(t)\cdot \cos(t)\mathrm {d} t=6a}$

Der Quotient misst den Abstand des Höhenfußpunktes ${\displaystyle E=(u,v)}$ von der Kurven-Tangente an ${\displaystyle (p,q)}$ in Abhängigkeit von ${\displaystyle t}$ (siehe Grafik). Die allgemeine Gleichung der Tangente an ${\displaystyle (p,q)}$ lautet

${\displaystyle (p-x)\cdot {\dot {q}}-(q-y)\cdot {\dot {p}}=0}$

Division durch ${\displaystyle N}$ führt zur Hesseschen Normalform. Den Abstand des Punktes ${\displaystyle E=(u,v)}$ von der Tangente gewinnt man dadurch, dass man ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ in die Normalform einsetzt (ohne die Null): das Ergebnis ist ${\displaystyle Z/N}$. Beispiel: Die Funktionen ${\displaystyle p(t)=r\cos(t)+m}$ und ${\displaystyle q(t)=r\sin(t)+n}$ über ${\displaystyle [0,2\pi ]}$ beschreiben den Kreis ${\displaystyle r}$ um ${\displaystyle (m,n)}$. Dann ist ${\displaystyle Z(t)/N(t)=r+(m-u)\cos(t)+(n-v)\sin(t)}$. Wenn ${\displaystyle E}$ in das Zentrum des Kreises rückt, wenn also ${\displaystyle u=m}$ und ${\displaystyle v=n}$, resultiert ${\displaystyle Z(t)/N(t)=r}$, d. h. die Lote von ${\displaystyle E}$ auf die Kreistangenten sind die Radiusvektoren der Länge ${\displaystyle r}$.

Die Parameterdarstellung des Kreises ${\displaystyle r}$ lautet: ${\displaystyle p(t)=r\cos(t),q(t)=r\sin(t)}$ über ${\displaystyle [0,2\pi ]}$.

Wenn man diese Werte und ihre Ableitungen in die Formel für den Mantel des allgemeinen Schiefkegels einsetzt, erhält man den Ausdruck

${\displaystyle M={\frac {r}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {(r-u\cdot \cos(t)-v\cdot \sin(t))^{2}+h^{2}}}\mathrm {d} t}$

Mit einem geeigneten (festen) Winkel ${\displaystyle w}$ lassen sich ${\displaystyle u}$ und ${\displaystyle v}$ darstellen als ${\displaystyle u=e\cos(w)}$ und ${\displaystyle v=e\sin(w)}$, wobei ${\displaystyle e^{2}:=u^{2}+v^{2}}$, daher gilt nach dem Additionstheorem: ${\displaystyle u\cos(t)+v\sin(t)=e\cos(w-t)}$, so dass

${\displaystyle M={\frac {r}{2}}\int \limits _{0}^{2\pi }{\sqrt {(r-e\cdot \cos(w-t))^{2}+h^{2}}}\mathrm {d} t}$

Bei der Integration über den Vollkreis spielt die Wahl von ${\displaystyle w}$ keine Rolle. Man darf deshalb ${\displaystyle w=0}$ setzen. Der Integrand ist für ${\displaystyle w=0}$ eine bezüglich ${\displaystyle \pi }$ symmetrische Funktion, so dass man nur über den Halbkreis zu integrieren braucht und das Resultat verdoppeln muss, also:

${\displaystyle M=r\int \limits _{0}^{\pi }{\sqrt {(r-e\cdot \cos(t))^{2}+h^{2}}}\mathrm {d} t}$.

• Schiefer Kreiskegel
• Schiefer Ellipsenkegel