Satz von Hua

Der Satz von Hua (englisch Hua's theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz der Algebra, der auf eine wissenschaftliche Publikation des chinesischen Mathematikers Hua Luogeng aus dem Jahr 1949 zurückgeht. Er behandelt die Frage, wann ein die additive Struktur berücksichtigender Gruppenhomomorphismus zweier Divisionsringe auch die multiplikative Struktur respektiert.

Die dem Satz von Hua zugrunde liegende Fragestellung war im Zusammenhang mit Fragen der Projektiven Geometrie zuvor schon von Mathematikern wie Karl von Staudt, Germán Ancochea (1908–1981) und Irving Kaplansky behandelt worden. Anschließend an Huas Arbeit kam es zu einer Reihe von weitergehenden Untersuchungen und hier auch zu Verallgemeinerungen des Satzes.

Der Satz lässt sich in moderner Fassung folgendermaßen darstellen:^[1]

Gegeben seien zwei Divisionsringe ${\displaystyle D}$ und ${\displaystyle E}$ und dazu eine Abbildung ${\displaystyle \phi \colon \,D\to E}$. Dabei soll gelten:

(1) ${\displaystyle \phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)\,\,(a,b\in D)}$

(2) ${\displaystyle \phi (u^{-1})\phi (u)=1\,\,(u\in D\setminus \{0\})}$

(3) ${\displaystyle \phi (1)=1}$

Dann ist die Abbildung ${\displaystyle \phi }$ injektiv und dabei entweder ein Homomorphismus oder ein Antihomomorphismus von Ringen.

In seiner Arbeit des Jahres 1949 hat Hua seinen Satz in einer enger gefassten Darstellung angegeben:^[2]

Gegeben sei ein Divisionsring ${\displaystyle D}$ und dazu eine bijektive Abbildung ${\displaystyle \phi \colon \,D\to D}$. Dabei soll gelten:

(1) ${\displaystyle \phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)\,(a,b\in D)}$

(2^*) ${\displaystyle \phi (aba)=\phi (a)\phi (b)\phi (a)\,(a,b\in D)}$

(3) ${\displaystyle \phi (1)=1}$

Dann ist die Abbildung ${\displaystyle \phi }$ bezüglich der Ringstruktur von ${\displaystyle D}$ entweder ein Automorphismus oder ein Antiautomorphismus.

1.) Die oben zuerst genannte moderne Fassung des Satzes umfasst den Satz aus Huas Darstellung insofern , als unter Berücksichtigung der Bijektivität von ${\displaystyle \phi }$ die Bedingung (2^*) die Bedingung (2) nach sich zieht. Indem man nämlich für ${\displaystyle u\in D\setminus \{0\}}$ die Setzungen ${\displaystyle a=u}$ und ${\displaystyle b=u^{-1}}$ macht, gewinnt man ${\displaystyle 0\neq \phi (u)=\phi (u)\phi (u^{-1})\phi (u)}$ und dann mittels Kürzung ${\displaystyle \phi (u^{-1})\phi (u)=1}$.

2.) Dass ${\displaystyle \phi }$ notwendig injektiv sein muss, liegt an der oben genannte Bedingung (2) . Denn sie impliziert auch, dass der Kern von ${\displaystyle \phi }$ lediglich aus dem Nullelement allein bestehen kann. Insbesondere schließt dies ein, dass ein Körperhomomorphismus stets injektiv ist.

3.) In dem Lehrbuch von Paul Moritz Cohn wird der Beweis – anschließend an die Darstellung in Emil Artins bekanntem Lehrbuch Geometric Algebra von 1957 – auf eine Gleichung aufgebaut, die als Hua's identity, also als Gleichung von Hua, bezeichnet wird. Diese besagt, dass in dem Divisionsring ${\displaystyle D}$ für ${\displaystyle a,b\in {D\setminus \{0\}}}$ mit ${\displaystyle ab\neq 1}$ stets

${\displaystyle a-\left(a^{-1}+\left(b^{-1}-a\right)^{-1}\right)^{-1}=aba}$

gilt.^{[3][H 1][H 2]}

• G. Ancochea: Le théorème de von Staudt en géométrie projective quaternionienne. In: Crelles Journal. Band 184, 1942, S. 193–198 (zbMATH Open). 
• E. Artin: Geometric Algebra (= Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics. Band 3). Interscience Publishers Ltd., New York, London 1957, doi:10.1002/9781118164518 (zbMATH Open). 
• Francis Buekenhout: Une généralisation du théorème de von Staudt-Hua. In: Bulletin de la Classe des Sciences. 5e Série. Band 51, 1965, S. 1282–1293 (zbMATH Open). 
• P. M. Cohn: Further Algebra and Applications. 2. Auflage. Springer-Verlag, London 2003, ISBN 1-85233-667-6, Kap. 9 (zbMATH Open). 
• Stelian Paul Cojan: A generalization of the theorem of von Staudt-Hua-Buekenhout. In: Mathématica – Revue d’Analyse Numérique et de Théorie de l’Approximation. Mathématica. Band 27(50), 1985, S. 93–96 (zbMATH Open). 
• H. Essannouni, A. Kaidi: Hua’s theorem for simple Artin algebras. In: Linear Algebra and its Applications. Band 297, 1999, S. 9–22 (zbMATH Open). 
• Loo-Keng Hua: On the automorphisms of a sfield. In: Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. Band 35, 1949, S. 386–389, doi:10.1073/pnas.35.7.386 (zbMATH Open). 
• S. A. Huq: Semi-homomorphisms of rings. In: Bulletin of the Australian Mathematical Society. Band 36, 1987, S. 121–125 (zbMATH Open). 
• Irving Kaplansky: Semi-automorphisms of rings. In: Duke Mathematical Journal. Band 14, 1947, S. 521–525 (zbMATH Open). 
• Benno Klotzek: Eine Verallgemeinerung des Satzes von v. Staudt-Hua. In: Wissenschaftliche Zeitschrift der Pädagogischen Hochschule Karl Liebknecht, Potsdam. Band 32, 1988, S. 169–172 (zbMATH Open). 
• K. P. Shum, Y. Q. Guo: A new proof of L. K. Hua’s theorem on homomorphisms. In: Scientiae Mathematicae Japonicae. Band 58, 2004, S. 613–615 (zbMATH Open). 
• Robert W. van der Waall: An extension to a theorem of Hua. In: Southeast Asian Bulletin of Mathematics. Band 41, 2017, S. 747–753 (zbMATH Open). 
• Zhexian Wan: Contributions of Professor Loo-Keng Hua to algebra and geometry. In: Advances in Mathematics (Beijing). Band 15, 1986, S. 233–234 (zbMATH Open). 

1. ↑ P. M. Cohn: Further Algebra and Application. Springer-Verlag, London 2003, Kap. 9, S. 344 ff. 
2. ↑ Hua Loo-Keng: On the automorphisms of a sfield. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA. Band 35, 1949, S. 386–387. 
3. ↑ P. M. Cohn: Further Algebra and Application. Springer-Verlag, London 2003, Kap. 9, S. 345. 

1. ↑ Mit dieser Gleichung wird die Verbindung zwischen Bedingung (2) und Bedingung (2^*) deutlich.
2. ↑ Gemäß Huas Gleichung hat man demnach im Falle ${\displaystyle D=\mathbb {R} }$ man für ${\displaystyle a,b\in {\mathbb {R} \setminus \{0\}}}$ mit ${\displaystyle ab\neq 1}$ stets

   ${\displaystyle a-{\frac {1}{\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{\left({\frac {1}{b}}-a\right)}}\right)}}=a^{2}b}$.