Makroskopisches Quantentunneln

Das Makroskopische Quantentunneln (engl. macroscopic quantum tunneling, kurz MQT) ist ein Phänomen der Quantenmechanik, bei dem ein makroskopisches System – also ein System aus einer sehr großen Zahl von Teilchen – eine Potentialbarriere durchquert, die es nach klassischer Physik nicht überwinden kann. Der Effekt demonstriert, dass quantenmechanische Kohärenz auch in Systemen auftreten kann, die groß genug sind, um im Labor sichtbar oder technisch messbar zu sein.

Das Makroskopische Quantentunneln wurde von John Clarke, Michel Devoret und John M. Martinis in experimentellen Arbeiten zwischen 1984 und 1985 beobachtet.^[1] Der zentrale Fortschritt ihrer Forschung bestand darin, zu zeigen, dass die Gesetze der Quantenmechanik auch für makroskopische Variablen gelten. Sie konnten nachweisen, dass die ursprünglich für mikroskopische Systeme, wie Atome, Elektronen, und Photonen, entwickelte Quantenmechanik auch eine kollektive Variable, wie die Phasendifferenz ${\displaystyle \phi }$ eines supraleitenden Stroms, beschreiben kann.

Die drei Physiker erhielten 2025 den Nobelpreis für Physik für die Entdeckung des makroskopischen quantenmechanischen Tunnelns und der Energiequantisierung in einem elektrischen Stromkreis.^[2]

Zusammengefasst sind die Hauptaspekte der Leistung von John Clarke, Michel Devoret und John M. Martinis:

1. Sie beobachteten erstmals das makroskopische Quantentunneln bei dem ein makroskopischer Freiheitsgrad – die Phase der makroskopischen Wellenfunktion im Josephson-Effekt – durch eine effektive Potentialbarriere tunnelt. Dieser Prozess ist formal analog zum Tunneln von Alphateilchen aus einem Atomkern beim radioaktiven Zerfall, unterscheidet sich jedoch dadurch, dass hier nicht ein einzelnes Teilchen, sondern eine kollektive, makroskopische Variable quantenmechanisches Verhalten zeigt.
2. Sie zeigten die Energiequantisierung in makroskopischen elektrischen Schaltkreisen.
3. Sie bewiesen, dass diese makroskopischen Zustände kohärent überlagert werden können. Damit wurde der Weg zu quantenmechanisch kohärenten Schaltkreisen eröffnet – der Grundstein für supraleitende Qubits und die heutige Quanteninformationsverarbeitung.

Ende der 1970er Jahre schlug der britisch-amerikanische Physiker Anthony James Leggett vor, dass das Tunneln eines gesamten makroskopischen Zustands, also der kollektiven Wellenfunktion aller Cooper-Paare, in einem Josephson-Kontakt beobachtet werden könne.^[3]

Die BCS-Theorie der Supraleitung basiert auf der Erkenntnis, dass sich Elektronen in der Nähe der Fermi-Fläche aufgrund einer effektiven, anziehenden Wechselwirkung zu gebundenen Paaren zusammenschließen. Diese sogenannten Cooper-Paare besitzen im Grundzustand weder Spin noch Bahndrehimpuls und nehmen daher denselben symmetrischen Zwei-Teilchen-Zustand ein. Da sich die Cooper-Paare wie zusammengesetzte Bosonen verhalten, liegt es nahe, den supraleitenden Zustand als makroskopische Kondensation dieser Bosonen, also als Bose-Einstein-Kondensat, zu interpretieren.^[4] In der BCS-Theorie wird der supraleitende Zustand durch eine makroskopische Wellenfunktion^[5]

${\displaystyle \Psi _{j}={\sqrt {n_{s,j}}}\,e^{i\phi _{j}},\quad j=1,2}$

beschrieben, wobei ${\displaystyle n_{s,j}}$ die Dichte der Cooper-Paare und ${\displaystyle \phi _{j}}$ ihre makroskopische Phase ist. Die Phasendifferenz

${\displaystyle \phi =\phi _{1}-\phi _{2}}$

ist die zentrale dynamische Variable des Josephson-Kontakts. Dieser Kontakt entsteht, wenn zwei Supraleiter durch eine sehr dünne Isolatorschicht (typischerweise 10 bis 20 ${\displaystyle \mathrm {\AA} }$) voneinander getrennt werden. Dann können Cooper-Paare quantenmechanisch durch die Barriere tunneln.^[6] Aufgrund der makroskopischen Phasenkohärenz beider Supraleiter entsteht dabei ein stationärer, verlustfreier Tunnelstrom, selbst bei verschwindender Spannung zwischen ihnen.

Brian David Josephson^[7] zeigte 1962, dass das Tunneln der Cooper-Paare durch die Barriere zu zwei fundamentalen Beziehungen führt:^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{J}&=I_{c}\sin \phi ,\\{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}&={\frac {2e}{\hbar }}\,V.\end{aligned}}}$

Hierbei bezeichnet ${\displaystyle I_{J}}$ den supraleitenden Tunnelstrom, ${\displaystyle I_{c}}$ den kritischen Strom, also den maximal möglichen verlustfreien Tunnelstrom, und ${\displaystyle V}$ die Spannung über dem Josephson-Kontakt.

Die erste Josephson-Gleichung beschreibt den DC-Josephson-Effekt^[9], bei dem ein verlustfreier Strom durch die dünne Isolationsschicht zwischen zwei Supraleitern fließt, solange ${\displaystyle |I_{J}|<I_{c}}$ und ${\displaystyle V=0}$ gilt. Er gehört zu den fundamentalen Konsequenzen der Supraleitung und lässt sich unmittelbar aus der BCS-Theorie ableiten. Er beruht auf der Existenz eines makroskopisch kohärenten Quantenzustands der Cooper-Paare.

Die zweite Gleichung beschreibt den AC-Josephson-Effekt: ^[10] Wird eine konstante Spannung ${\displaystyle V}$ an den Kontakt angelegt, so beginnt der Tunnelstrom mit der Frequenz

${\displaystyle \omega _{J}={\frac {2eV}{\hbar }}}$

zu oszillieren. Diese Beziehung stellt eine direkte Verbindung zwischen Spannung und Frequenz her und bildet die Grundlage vieler Präzisionsmessungen, etwa bei der Realisierung von Spannungsnormalen in der Metrologie.

Ein Josephson-Kontakt mit einer Eigenkapazität ${\displaystyle C}$ und einem parallelgeschalteten Widerstand ${\displaystyle R}$ lässt sich als nichtlinearer elektrischer Kreis beschreiben, in dem der gesamte Strom ${\displaystyle I}$ aus mehreren Komponenten besteht: dem supraleitenden Tunnelstrom ${\displaystyle I_{J}}$, dem ohmschen Strom ${\displaystyle I_{R}}$, dem Verschiebungsstrom ${\displaystyle I_{C}}$ und einem thermischen Rauschstrom ${\displaystyle I_{N}(t)}$. Das ist das sogenannte RCSJ-Modell (Resistively and Capacitively Shunted Junction). Für die Strombilanz gilt^[11]

${\displaystyle I+I_{N}(t)=I_{J}+I_{R}+I_{C}}$,

wobei die einzelnen Beiträge durch

• ${\displaystyle I_{J}=I_{c}\sin \phi ,\quad {\text{(Josephson-Strom)}}}$
• ${\displaystyle I_{R}={\frac {V}{R}},\quad {\text{(ohmscher Strom)}}}$
• ${\displaystyle I_{C}=C\,{\frac {{\text{d}}V}{{\text{d}}t}},\quad {\text{(Verschiebungsstrom)}}}$
• ${\displaystyle I_{N}(t)\sim {\sqrt {4k_{\text{B}}T{\tfrac {\Delta f}{R}}}},\quad {\text{(Nyquist-Rauschstrom)}}}$

gegeben sind. Hierbei bezeichnet ${\displaystyle I_{c}}$ den kritischen Josephson-Strom, ${\displaystyle \phi }$ die Phasendifferenz der makroskopischen Wellenfunktion über den Kontakt und ${\displaystyle I_{N}(t)}$ das thermische Stromrauschen. Letzteres entsteht nach dem Nyquist-Theorem durch die thermische Bewegung der Elektronen im Widerstand ${\displaystyle R}$ bei der Temperatur ${\displaystyle T}$ und ist eine fundamentale Form weißen Rauschens mit über weite Frequenzbereiche ${\displaystyle \Delta f}$ konstanter spektraler Leistungsdichte.^[12]

Die Spannung ${\displaystyle V}$ über dem Josephson-Kontakt ist mit der Phasendifferenz ${\displaystyle \phi (t)}$ durch die zweite Josephson-Gleichung ${\displaystyle V={\tfrac {\hbar }{2e}}\,{\tfrac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}}$ verknüpft. Damit wird die Strombilanz zu:

${\displaystyle I+I_{N}(t)=I_{c}\sin \phi +{\frac {1}{R}}\,{\frac {\hbar }{2e}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}+C\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\!\left({\frac {\hbar }{2e}}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}\right)}$.

Dies lässt sich zur klassischen Bewegungsgleichung der Phase umformen:

${\displaystyle C\left({\frac {\hbar }{2e}}\right)^{2}{\frac {{\text{d}}^{2}\phi }{{\text{d}}\,t^{2}}}+{\frac {1}{R}}\left({\frac {\hbar }{2e}}\right)^{2}{\frac {{\text{d}}\phi }{{\text{d}}t}}-{\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}\phi }}\left({\frac {\hbar I_{c}}{2e}}\right)\left[\cos \phi -{\frac {I}{I_{c}}}\phi \right]=\left({\frac {\hbar }{2e}}\right)I_{N}(t)}$

Das ist die RCSJ-Gleichung, die formal der Bewegungsgleichung eines Teilchens der ${\displaystyle M_{\phi }=C({\tfrac {\hbar }{2e}})^{2}}$ entspricht, das sich in einem geneigten Waschbrettpotential

${\displaystyle U(\phi )=-E_{J}\cos \phi -{\frac {\hbar I}{2e}}\phi ,\quad {\text{mit }}E_{J}={\frac {\hbar I_{c}}{2e}}}$

unter dem Einfluss einer viskosen Dämpfung bewegt.^[11] Die Dynamik der Josephson-Phase entspricht also exakt der Bewegung eines Teilchens in dem geneigten Waschbrettpotential. Es wird durch das Nyquist-Rauschen angetrieben und ist der Reibung ausgesetzt.

Das Teilchen im Waschbrettpotential befindet sich nicht in Ruhe, sondern es führt am Boden des Potentialtopfs Schwingungen mit der sogenannten Plasmafrequenz aus. Im Gleichgewicht befindet sich die Phase ${\displaystyle \phi }$ im Minimum des Potentials, bestimmt durch

${\displaystyle {\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}\phi }}={\frac {{\text{d}}\,\,\,}{{\text{d}}\phi }}\left(-E_{J}\cos \phi -{\frac {\hbar I}{2e}}\phi \right)=0\quad \Rightarrow \quad E_{J}\sin \phi _{0}={\frac {\hbar I}{2e}}\quad \Rightarrow \quad I=I_{c}\sin \phi _{0}}$

Für kleine Abweichungen ${\displaystyle \delta \phi =\phi -\phi _{0}}$ erweitert man das Potential um das Minimum:

${\displaystyle U(\phi )\approx U(\phi _{0})+{\tfrac {1}{2}}U''(\phi _{0})\,(\delta \phi )^{2}\quad {\text{mit }}U''(\phi _{0})=E_{J}\cos \phi _{0}}$

Die linearisierte Bewegungsgleichung für kleine Oszillationen lautet dann:

${\displaystyle M_{\phi }{\frac {{\text{d}}^{2}(\delta \phi )}{{\text{d}}t^{2}}}+U''(\phi _{0})\,(\delta \phi )=0}$

mit der effektiven Masse ${\displaystyle M_{\phi }=C({\tfrac {\hbar }{2e}})^{2}}$. Daraus ergibt sich die Plasmafrequenz des Josephson-Kontakts mit ${\displaystyle \sin \phi _{0}={\tfrac {I}{I_{c}}}}$ bzw. ${\displaystyle \cos \phi _{0}=(1-\sin ^{2}\phi _{0})^{1/2}=(1-I^{2}/I_{c}^{2})^{1/2}}$:^[1]

${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {\frac {U''(\phi _{0})}{M_{\phi }}}}={\sqrt {\frac {E_{J}\cos \phi _{0}}{C(\hbar /2e)^{2}}}}={\sqrt {{\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}\,\cos \phi _{0}}}={\sqrt {\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}}\left(1-{\frac {I^{2}}{I_{c}^{2}}}\right)^{1/4}}$

Physikalisch beschreibt ${\displaystyle \omega _{p}}$ die Eigenfrequenz kleiner Schwingungen der Josephson-Phase im Potentialminimum. Sie bestimmt auch die typische Frequenz, mit der das System um den metastabilen Zustand oszilliert, bevor es durch thermische Aktivierung oder Quantentunneln ausbricht.

Aus der Taylor-Entwicklung des Potentials um das Minimum ${\displaystyle \phi _{0}}$ ^[13]

${\displaystyle U(\phi )\approx U(\phi _{0})+{\frac {1}{2}}U''(\phi _{0})(\delta \phi )^{2}+{\frac {1}{6}}U'''(\phi _{0})(\delta \phi )^{3},\quad \delta \phi =\phi -\phi _{0},}$

wobei ${\displaystyle U''(\phi _{0})=E_{J}\cos \phi _{0}}$ und ${\displaystyle U'''(\phi _{0})=-E_{J}\sin \phi _{0}}$ sind. Damit folgt die Näherung

${\displaystyle U(\phi )\approx U(\phi _{0})+{\frac {E_{J}\cos \phi _{0}}{2}}(\delta \phi )^{2}-{\frac {E_{J}\sin \phi _{0}}{6}}(\delta \phi )^{3}}$

Dies entspricht der allgemeinen kubischen Form ${\displaystyle U(\phi )=A(\delta \phi )^{2}-B(\delta \phi )^{3}}$ mit den Identifikationen ${\displaystyle A={\tfrac {E_{J}\cos \phi _{0}}{2}}}$ und ${\displaystyle B={\tfrac {E_{J}\sin \phi _{0}}{6}}}$ und einer Barrierenhöhe von

${\displaystyle \Delta U={\frac {4A^{3}}{27B^{2}}}={\frac {4}{27}}{\frac {(E_{J}\cos \phi _{0})^{3}/8}{(E_{J}^{2}\sin ^{2}\phi _{0}/36)}}={\frac {2E_{J}}{3}}{\frac {(\cos \phi _{0})^{3}}{(\sin \phi _{0})^{2}}}={\frac {2E_{J}}{3}}\,{\frac {{\big [}1-(I/I_{c})^{2}{\big ]}^{3/2}}{(I/I_{c})^{2}}}={\frac {2E_{J}}{3}}\,{\frac {{\big [}1+(I/I_{c}){\big ]}^{3/2}{\big [}1-(I/I_{c}){\big ]}^{3/2}}{(I/I_{c})^{2}}}}$

Für Ströme sehr nahe am kritischen Strom (${\displaystyle I\to I_{c}}$) gilt ${\displaystyle 1-{\tfrac {I}{I_{c}}}=\epsilon \ll 1}$ und damit ${\displaystyle [1+(I/I_{c})]^{3/2}\approx 2{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle I/I_{c}\approx 1}$:^[1]

${\displaystyle \Delta U={\frac {2E_{J}}{3}}\,{\frac {{\big [}1+(I/I_{c}){\big ]}^{3/2}{\big [}1-(I/I_{c}){\big ]}^{3/2}}{(I/I_{c})^{2}}}\approx {\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\,E_{J}\,(1-I/I_{c})^{3/2}}$

Diese Näherung beschreibt die Metastabilitätsbarriere des Josephson-Kontakts bei einem Strom nahe der kritischen Stromstärke. Sie bestimmt die Rate des makroskopischen Quantentunnelns (MQT) aus dem metastabilen Zustand. Für die Plasmafrequenz gilt in dieser Näherung:

${\displaystyle \omega _{p}={\sqrt {\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}}\,{\big [}1-(I/I_{c})^{2}{\big ]}^{1/4}={\sqrt {\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}}\,{\big [}1+I/I_{c}{\big ]}^{1/4}{\big [}1-I/I_{c}{\big ]}^{1/4}\approx {\sqrt {\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}}2^{1/4}{\big [}1-I/I_{c}{\big ]}^{1/4}}$

Die Dämpfung der Schwingungen durch den Widerstand ${\displaystyle R}$, der als linear angenommen wird, wird dargestellt durch^[1]

${\displaystyle Q=\omega _{p}RC}$

In der klassischen Beschreibung kann das Teilchen aufgrund thermischer Aktivierung bei genügend hoher Temperatur aus dem Potentialtopf entweichen. Wenn die fluktuierende thermische Energie des Teilchens schließlich ${\displaystyle \Delta U}$ übersteigt, entweicht das Teilchen über die Oberseite der Barriere. Die Entweichungsrate für thermische Aktivierung ergibt sich aus dem Ergebnis von Hendrik Anthony Kramers.

In der klassischen Beschreibung kann das Teilchen, das sich im geneigten Josephson-Potential ${\displaystyle U(\phi )=-E_{J}\cos \phi -{\tfrac {\hbar I}{2e}}\phi }$ bewegt, durch thermische Fluktuationen genug Energie erhalten, um die Barriere der Höhe ${\displaystyle \Delta U}$ zu überwinden.^[1] Dieser Prozess ist analog zur thermischen Aktivierung über eine Potentialbarriere, wie sie von Kramers (1940) beschrieben wurde. Die Entweichungsrate (Escape Rate) lautet im klassischen Kramers-Bild:^[14]

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {TA} }=a_{t}\,{\frac {\omega _{p}}{2\pi }}\,\exp \!\left(-{\frac {\Delta U}{k_{\text{B}}T}}\right)}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle \omega _{p}}$ die Plasmafrequenz im Potentialminimum, ${\displaystyle \Delta U}$ die Höhe der Potentialbarriere und ${\displaystyle T}$ die Temperatur des Systems. Der dimensionslose Faktor ${\displaystyle a_{t}}$ beschreibt die Dämpfung und hängt von der Stärke der dissipativen Prozesse im Josephson-System ab.

Im Fall eines schwach gedämpften Josephson-Kontakts ${\displaystyle Q\gg 1}$, also hoher Güte ${\displaystyle Q=\omega _{p}RC}$ ergibt sich der Vorfaktor aus der Kramers-Theorie zu^[15]

${\displaystyle a_{t}={\frac {4}{\left({\sqrt {1+{\frac {Qk_{\text{B}}T}{{\text{1,8}}\Delta U}}}}+1\right)^{2}}}\approx 1}$

Setzt man nun die bekannte Näherung für die Barrierenhöhe^[16] bei ${\displaystyle I\lesssim I_{c}}$

${\displaystyle \Delta U\approx {\frac {4{\sqrt {2}}}{3}}\,E_{J}\,(1-I/I_{c})^{3/2}={\frac {2{\sqrt {2}}}{3\pi }}\Phi _{0}I_{c}\,(1-I/I_{c})^{3/2}}$,

mit dem supraleitenden magnetischen Flussquantum ${\displaystyle \Phi _{0}={\tfrac {h}{2e}}}$ und die Plasmafrequenz

${\displaystyle \omega _{p}(I)={\sqrt {\frac {2eI_{c}}{\hbar C}}}\,[1-(I/I_{c})^{2}]^{1/4},}$

ein, so erhält man für die thermische Aktivierungsrate:

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {TA} }(I,T)=a_{t}\,{\frac {\omega _{p}(I)}{2\pi }}\,\exp \!\left[-{\frac {2{\sqrt {2}}}{3\pi }}{\frac {\Phi _{0}I_{c}\,(1-I/I_{c})^{3/2}}{k_{\text{B}}T}}\right]}$

Diese Formel beschreibt die Rate, mit der die Phase ${\displaystyle \phi }$ (das effektive Teilchen) durch thermische Fluktuationen aus dem metastabilen Minimum des geneigten Waschbrettpotentials entweicht – ein thermisch aktivierter Sprung über die Barriere. Im Temperaturbereich, in dem ${\displaystyle k_{\text{B}}T\ll \Delta U}$, wird diese klassische Aktivierung zunehmend unwahrscheinlich, und der dominierende Entweichungsmechanismus ist das makroskopische Quantentunneln (MQT), das bei tiefen Temperaturen beobachtet wird.

Im Quantenlimit kann die MQT-Rate bei Nulltemperatur ${\displaystyle T=0}$ ohne Dissipation berechnet werden, wenn die makroskopische Variable ${\displaystyle \phi }$ der Quantenmechanik gehorcht:^[16]

${\displaystyle \Gamma _{\mathrm {q} }(0)={\sqrt {120\pi \left({\text{7,2}}\,{\frac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}\right)}}\,{\frac {\omega _{p}}{2\pi }}\,\exp \!\left[-{\text{7,2}}\,{\frac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}\left(1+{\frac {\text{0,87}}{Q}}+\ldots \right)\right]=a_{q}{\frac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\text{7,2}}\,{\frac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}(1+{\frac {\text{0,87}}{Q}})}}$

Der Übergang zwischen dem klassisch, thermisch aktivierten Bereich hin zu Quantendomäne liegt typischerweise bei einer Temperatur ${\displaystyle T^{*}\sim \hbar \omega _{p}/2\pi k_{\text{B}}\approx 30{\text{ mK}}}$ für ${\displaystyle \omega _{p}=2\pi \cdot {\text{4 GHz}}}$.

Um gemessene Übergangsraten zu vergleichen, ist es sinnvoll, die Übergangstemperatur ${\displaystyle T_{\text{esc}}}$ einzuführen, die durch die Beziehung

${\displaystyle \Gamma ={\tfrac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\frac {\Delta U}{k_{\text{B}}T_{\text{esc}}}}}}$

definiert ist. Im klassischen Bereich höherer Temperatur ${\displaystyle k_{\text{B}}T\gg \hbar \omega _{p}}$ ergibt der Vergleich der obigen Gleichungen

${\displaystyle {\tfrac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\frac {\Delta U}{k_{\text{B}}T_{\text{esc}}}}}=a_{t}\,{\tfrac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\frac {\Delta U}{k_{\text{B}}T}}}\quad \Rightarrow \quad \ln a_{t}-{\tfrac {\Delta U}{k_{\text{B}}T}}=-{\tfrac {\Delta U}{k_{\text{B}}T_{\text{esc}}}}\quad \Rightarrow \quad T_{\text{esc}}={\frac {T}{1-{\frac {k_{\text{B}}T\ln a_{t}}{\Delta U}}}}\sim T}$

Im anderen Fall des quantenmechanischen Bereichs bei tieferen Temperaturen ${\displaystyle k_{\text{B}}T\ll \hbar \omega _{p}}$ ergibt der Vergleich der Gleichungen

${\displaystyle {\tfrac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\frac {\Delta U}{k_{\text{B}}T_{\text{esc}}}}}=a_{q}{\tfrac {\omega _{p}}{2\pi }}\,{\text{e}}^{-{\text{7,2}}\,{\frac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}(1+{\frac {\text{0,87}}{Q}})}\quad \Rightarrow \quad \ln a_{q}-{\text{7,2}}\,{\tfrac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}(1+{\tfrac {\text{0,87}}{Q}})=-{\tfrac {\Delta U}{k_{\text{B}}T_{\text{esc}}}}}$

Mit ${\displaystyle p_{q}={\frac {\ln a_{q}}{{\text{7,2}}\,{\tfrac {\Delta U}{\hbar \omega _{p}}}(1+{\tfrac {\text{0,87}}{Q}})}}}$ gilt dann

${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{esc}}={\frac {\hbar \omega _{p}}{{\text{7,2}}(1+{\frac {\text{0,87}}{Q}})}}{\frac {1}{1-p_{q}}}{\text{ unabhängig vom Strom }}I}$

In der Abbildung oben rechts ist ${\displaystyle T_{\text{esc}}}$ gegen ${\displaystyle T}$ aufgetragen. Die durchgezogene Linie zeigt schematisch den Effekt des makroskopischen Quantentunnelns, der sich durch ein Abflachen hin zu einem konstanten ${\displaystyle T_{\text{esc}}}$ auszeichnet. Die gestrichelte Linie stellt die klassische Grenze der Rauschquellen bei tieferen Temperaturen dar. Zusätzlich ist eine Linie bei ${\displaystyle T_{\text{esc}}=T}$ eingezeichnet.

Der Josephson-Kontakt wird im Nullspannungszustand betrieben, d. h es gilt ${\displaystyle |I|<I_{c}}$. In diesem Regime befindet sich die Phasendynamik im gekippten Waschbrettpotential ${\displaystyle U(\phi )=-E_{J}\cos \phi -{\tfrac {\hbar I}{2e}}\,\phi }$ in einem lokalen Minimum. Bei hinreichend tiefen Temperaturen – typischerweise bis hinunter zu ${\displaystyle 20~{\text{mK}}}$, erreichbar mit einem ³He-⁴He-Entmischungskryostaten – und bei einem Josephson-Kontakt hoher Güte ${\displaystyle Q}$, wurden bis zu sechs quantisierte Energieniveaus in diesen Potentialmulden experimentell nachweisbar.^[1]

Diese diskreten Niveaus wurden erstmals mittels Mikrowellenspektroskopie beobachtet. Dabei wurde dem Vorspannungsstrom ${\displaystyle I}$ ein schwaches Mikrowellensignal der Frequenz ${\displaystyle {\tfrac {\Omega }{2\pi }}=2{\text{ GHz}}}$ überlagert. Bei drei bestimmten Frequenzen wurden durch Tunneln aus dem Nullspannungszustand in den Spannungszustand ausgeprägte Resonanzen der Übergänge ${\displaystyle |0\rangle \to |1\rangle }$, ${\displaystyle |1\rangle \to |2\rangle }$ und ${\displaystyle |2\rangle \to |3\rangle }$ beobachtet, indem die Spannung über dem Kontakt überwacht wurde. Die angeregten Zustände besitzen aufgrund ihrer höheren Energie eine geringere Breite der Tunnelbarriere und können daher leichter tunneln. Die Position dieser Resonanzen in der gemessenen Übergangsrate ${\displaystyle \Gamma (I)}$ stimmt quantitativ mit den durch Lösung der Schrödingergleichung für das lokale Potentialminimum erhaltenen Eigenenergien überein.

Klassisch wäre lediglich eine einzelne Resonanz zu erwarten, die bei der Plasmafrequenz ${\displaystyle \omega _{p}=({\tfrac {2eI_{c}}{\hbar C}}\cos \phi _{0})^{1/2}}$ zentriert ist. Quantenmechanisch hingegen kann das Potentialminimum mehrere gebundene Zustände aufnehmen. Der niedrigste Übergang, d. h. der Übergang vom Grundzustand ${\displaystyle |0\rangle }$ in den ersten angeregten Zustand ${\displaystyle |1\rangle }$, liegt bei einer Energie ${\displaystyle E_{01}\approx \hbar \omega _{p}}$, während die höheren Übergänge (${\displaystyle |1\rangle \to |2\rangle }$, ${\displaystyle |2\rangle \to |3\rangle }$, ...) aufgrund der anharmonischen Natur des Potentials bei etwas niedrigeren Energien auftreten. Diese Anharmonizität bewirkt, dass die effektive Eigenfrequenz mit zunehmender Energie abnimmt.

Bei einem harmonischen Oszillator, dem ein kleiner kubischer Störterm ${\displaystyle V(x)=\sigma \hbar \omega x^{3}}$ hinzugefügt wird, verschwindet die erste Ordnung der Energieverschiebung ${\displaystyle \langle n|x^{3}|n\rangle =0}$, aufgrund der Parität. Die führende Korrektur der Energien ${\displaystyle E_{n}}$ ist daher in zweiter Ordnung in ${\displaystyle \sigma }$. Aus der zweiten Ordnung ergibt sich für große, aber noch nicht zu große Quantenzahlen ${\displaystyle n}$ ein monoton fallender Energieabstand, ungefähr linear in ${\displaystyle n}$:^[17]

${\displaystyle E_{n}-E_{n-1}=\hbar \omega _{p}(1-{\tfrac {7}{2}}\sigma ^{2}n)}$

Im Gegensatz zum harmonischen Oszillator sind die Energieabstände nicht mehr unabhängig von ${\displaystyle n}$. Die Energiezustände ${\displaystyle \hbar \omega _{p}}$ sind nicht mehr gleichmäßig verteilt, sondern rücken mit steigendem ${\displaystyle n}$ näher zusammen. Zusätzlich sagt die Theorie der Linienform der Mikrowellenübergänge voraus, dass die Breiten der Übergänge ${\displaystyle |0\rangle \to |1\rangle }$, ${\displaystyle |1\rangle \to |2\rangle }$ und ${\displaystyle |2\rangle \to |3\rangle }$ im Verhältnis ${\displaystyle 1:3:5}$ stehen sollten. Experimentell wurde das mit niedriger Dämpfung ${\displaystyle Q=75}$ erfüllt. Es wurden auch Resonanzen bei ${\displaystyle |0\rangle \to |2\rangle }$ und |${\displaystyle 1\rangle \to |3\rangle }$ beobachtet. Diese sind für einen einfachen harmonischen Oszillator verboten, für ein quadratisches und kubisches Potential jedoch zulässig.^[1]

Die experimentelle Beobachtung mehrerer diskreter Übergänge in der Mikrowellenresonanz ist ein eindeutiger und direkter Nachweis dafür, dass sich die makroskopische Phase ${\displaystyle \phi }$ – und damit das gesamte supraleitende System – quantenmechanisch kohärent verhält. Dies stellt einen der überzeugendsten Belege für das Phänomen des makroskopischen Quantentunnelns (MQT) in Josephson-Kontakten dar.

Die Idee bestand darin, das System in einen metastabilen Zustand zu versetzen, in dem ein stationärer Suprastrom ohne ohmschen Widerstand durch den Kontakt fließt. In diesem Zustand herrscht eine Nullspannung über der Josephson-Verbindung. Befindet sich das System tatsächlich in einem makroskopisch kohärenten Quantenzustand, so kann es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit quantentunnelnd aus diesem metastabilen Zustand entweichen. Dieses Entweichen führt zum Auftreten einer endlichen Spannung über dem Kontakt.^[18]

Dieses Tunneln wurde experimentell in Nb-NbO_x-PbIn Josephson-Tunnelkontakte auf Si-Chips beobachtet, indem der Strom durch den Kontakt allmählich erhöht wurde und der Stromwert gemessen wurde, bei dem erstmals eine Spannung auftrat. Durch die Wiederholung vieler solcher Messungen ließ sich ein mittlerer Schaltstrom ermitteln. Bei sinkender Temperatur verschiebt sich dieser mittlere Schaltstrom zu höheren Werten – ein Verhalten, das sowohl bei klassisch thermisch aktivierten Übergang als auch bei quantenmechanischem Tunneln erwartet wird. Entscheidend ist jedoch das Verhalten bei sehr tiefen Temperaturen: Wenn der mittlere Schaltstrom unabhängig von der Temperatur wird, deutet dies darauf hin, dass das Entweichen nicht mehr durch thermische Aktivierung, sondern durch makroskopisches Quantentunneln (MQT) bestimmt wird. Genau dieses Verhalten suchten Martinis, Devoret und Clarke in ihren Experimenten.

Die zentrale Herausforderung bestand darin, das Rauschen in der experimentellen Apparatur so weit zu reduzieren, dass es nicht denselben Effekt wie Tunneln erzeugte. Thermisches oder elektrisches Rauschen kann nämlich ebenfalls zu einer scheinbaren Reduktion der Barriere und damit zu einer temperaturunabhängigen Übergangsrate führen. Erst durch sorgfältige Unterdrückung aller Störquellen gelang der eindeutige Nachweis des makroskopischen Quantentunnelns.

Das makroskopische Quantentunneln ist von fundamentaler Bedeutung, weil es die Grenze zwischen Quantenwelt und klassischer Welt verschiebt. Es liefert die Grundlage für moderne Technologien wie:

• supraleitende Qubits in Quantencomputern,^[19]
• heutige Quanteninformationsverarbeitung
• empfindliche Quantensensoren (z. B. SQUIDs),
• Messverfahren für kohärente Zustände makroskopischer Systeme
• Verständnis der Quantenmechanik.^[20]