Lemma von Teichmüller-Tukey

Das Lemma von Teichmüller-Tukey (nach Oswald Teichmüller und John W. Tukey), manchmal auch nur Lemma von Tukey genannt, ist ein Satz aus der Mengenlehre. Es ist im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der ZF-Axiome äquivalent zum Auswahlaxiom und damit auch zum Lemma von Zorn, zum Hausdorffschen Maximalkettensatz und zum Wohlordnungssatz.

Zur Formulierung der Aussage benötigen wir den Begriff des endlichen Charakters einer Menge. Eine Menge ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ hat endlichen Charakter, wenn für alle ${\displaystyle Y}$ gilt

${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}\Leftrightarrow (\forall Z:Z{\text{ endlich }}\land Z\subseteq Y\Rightarrow Z\in {\mathcal {F}}).}$

In Worten ausgedrückt, bedeutet dies, dass ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ endlichen Charakter besitzt, wenn eine Menge ${\displaystyle Y}$ genau dann zum System gehört, sobald jede ihrer endlichen Teilmengen im System ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ enthalten ist. In konkreten Anwendungsfällen ist dabei die Notwendigkeit des Enthaltenseins der endlichen Teilmengen oft leicht einsichtig — der interessante Aspekt ist also, dass bei Systemen endlichen Charakters das Enthaltensein aller endlichen Teilmengen von ${\displaystyle Y}$ bereits ausreicht, um ${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}}$ zu begründen. Als Kontraposition formuliert: für Mengensysteme ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ endlichen Charakters liegt eine Menge ${\displaystyle Y}$ dann und (insbesondere nur dann) nicht im System ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$, wenn bereits eine Obstruktion in Form einer endlichen Teilmenge ${\displaystyle Z\subseteq Y}$ existiert, welche auch nicht im System liegt, also das Enthaltensein ${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}}$ verhindert.

Aus der Eigenschaft eines Systems ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ endlichen Charakter zu besitzen, ergibt sich leicht, dass für jedes ${\displaystyle Y\in {\mathcal {F}}}$ sogar alle Teilmengen ${\displaystyle X\subseteq Y}$ (nicht nur die endlichen) Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ sind: ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$.

Es gibt zwei verschiedene Formulierungen des Lemmas:

• Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine nichtleere Menge von endlichem Charakter, so gibt es bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ eine nichtleere Menge von endlichem Charakter und ist ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$, so gibt es bezüglich der Mengeninklusion ein maximales Element ${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$ mit ${\displaystyle A\subseteq B}$.

• Lemma von Tukey auf PlanetMath (englisch)