Legendresche Identität

Die Legendresche Identität oder auch Legendresche Relation ist eine mathematische Identität aus der Infinitesimalrechnung. Sie handelt von vollständigen elliptischen Integralen erster und zweiter Art. Diese Identität wurde vom französischen Mathematiker Adrien-Marie Legendre entdeckt und nach diesem benannt.

Die vollständigen elliptischen Integrale erster und zweiter Art zum Modul ${\displaystyle k}$ sind definiert durch^[1]

${\displaystyle K(k)=\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}\,\mathrm {d} \varphi }$,

${\displaystyle E(k)=\int _{0}^{1}{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,\mathrm {d} \varphi }$.

Angegeben sind jeweils die Jacobi-Form und die Legendre-Normalform.

Die Legendresche Relation verknüpft die Integrale erster und zweiter Art zum Modul ${\displaystyle k}$ und zum komplementären Modul ${\displaystyle k'={\sqrt {1-k^{2}}}}$ durch die folgende, für alle reellen Werte ${\displaystyle 0<k<1}$ gültige Formel miteinander:^[2][3]

${\displaystyle K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

In leicht abgewandelter Form kann die Legendresche Identität für denselben Definitionsbereich von k auch in Bezug auf tangentielle Gegenstücke von elliptischen Modulen formuliert werden:

${\displaystyle (1+k)K(k)E({\tfrac {1-k}{1+k}})+{\tfrac {2}{1+k}}E(k)K({\tfrac {1-k}{1+k}})-2K(k)K({\tfrac {1-k}{1+k}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Nach einer exemplarischen Ausführung der Formel über die Pythagoräischen Gegenstücke gilt somit beispielsweise:

${\displaystyle K({\tfrac {3}{5}})E({\tfrac {4}{5}})+E({\tfrac {3}{5}})K({\tfrac {4}{5}})-K({\tfrac {3}{5}})K({\tfrac {4}{5}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Und nach einer exemplarischen Ausführung der Formel über die tangentiellen Gegenstücke gilt zum Beispiel:

${\displaystyle {\tfrac {4}{3}}K({\tfrac {1}{3}})E({\tfrac {1}{2}})+{\tfrac {3}{2}}E({\tfrac {1}{3}})K({\tfrac {1}{2}})-2K({\tfrac {1}{3}})K({\tfrac {1}{2}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Der Mathematiker Adrien-Marie Legendre schrieb in seinem Werk Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures aus dem Jahre 1811 den in der soeben genannten Definition beschriebenen Zusammenhang nieder. In diesem Werk gründete er die sogenannte Legendresche Normalform. Darin führte er auch die Aufteilung der elliptischen Integrale in drei Kategorien^[4] ein, nämlich in die erster Art, zweiter Art und dritter Art. Zu dieser Zeit gehörte Legendre der Académie des sciences in Paris^[5] an. In einem weiteren Werk, Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes aus dem Jahre 1825, leitete er seine Identität noch ausführlicher her. In dem Werk analysierte er vor allem die Additionstheoreme^[6] der elliptischen Funktionen.

Es soll gezeigt werden, dass die Legendre-Identität im Spezialfall ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ richtig ist. Man spricht hier vom lemniskatischen Fall, weil die Berechnung der Bogenlänge für die Lemniskate von Bernoulli auf das elliptische Integral erster Art mit diesem Modulwert führt.

Für die weiteren Umformungen werden folgende Ableitungen benötigt, die sich aus der Kettenregel ergeben:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right)=\int _{0}^{1}{\frac {1+x^{4}y^{4}}{(1-x^{4}y^{4})^{3/2}}}\,\mathrm {d} y={\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right)=\int _{0}^{1}{\frac {x^{2}y^{2}(3-x^{4}y^{4})}{(1-x^{4}y^{4})^{3/2}}}\,\mathrm {d} y={\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {\partial } }{\partial x}}\left\{{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} \left({\frac {y^{2}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\right\}={\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} y}}\left[\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}\operatorname {artanh} (y^{2})\right]={\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})}$

Aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung ergibt sich:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\left[\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right]_{x=0}^{x=1}}$

${\displaystyle =\left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right]\left[\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}}{\sqrt {1-y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right]}$

Das gleiche Integral lässt sich auch mithilfe der Produktregel und des Satzes von Fubini ausdrücken:

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left(\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\cdot \int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left({\frac {1}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}y^{2}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y+{\frac {x^{2}}{\sqrt {1-x^{4}}}}\int _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\,\mathrm {d} y\right)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {x^{3}(y^{2}+1)}{\sqrt {(1-x^{4})(1-x^{4}y^{4})}}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}\left\{{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\left[\operatorname {artanh} (y^{2})-\operatorname {artanh} \left({\frac {y^{2}{\sqrt {1-x^{4}}}}{\sqrt {1-x^{4}y^{4}}}}\right)\right]\right\}_{x=0}^{x=1}\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle =\int _{0}^{1}{\frac {y^{2}+1}{2y^{2}}}\operatorname {artanh} (y^{2})\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle =\left[\arctan(y)-{\frac {1-y^{2}}{2y}}\operatorname {artanh} (y^{2})\right]_{y=0}^{y=1}=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}}$

Beim Einsetzen von ${\displaystyle y=0}$ wurde der Grenzwert

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0}{\frac {1-y^{2}}{2y}}\operatorname {artanh} (y^{2})=0}$

verwendet, der sich mit der Regel von de L’Hospital begründen lässt.

Durch Gleichsetzen der beiden Zwischenergebnisse ergibt sich die Beziehung

${\displaystyle \left[\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z\right]\,\left[\int _{0}^{1}{\frac {z^{2}}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z\right]={\frac {\pi }{4}}.\qquad (\ast )}$

Bei der Berechnung der beiden Integrale auf der linken Seite kommen neben vollständigen Integralen ${\displaystyle K(k)}$ und ${\displaystyle E(k)}$ auch unvollständige Integrale ${\displaystyle F(\varphi ;k)}$ und ${\displaystyle E(\varphi ;k)}$ ins Spiel (in Legendre-Normalform).

${\displaystyle F(\varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}}\,\mathrm {d} \vartheta }$

${\displaystyle E(\varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\vartheta }}\,\mathrm {d} \vartheta }$

Die zugehörigen Ableitungen ergeben sich aus dem Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varphi }}F(\varphi ;k)={\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varphi }}E(\varphi ;k)={\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}}$

Für den Spezialfall ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ bzw. ${\displaystyle k^{2}={\tfrac {1}{2}}}$ erhält man mithilfe der Kettenregel unter Berücksichtigung von ${\displaystyle \sin ^{2}(\arccos(z))=1-z^{2}}$:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}F\left(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{\sqrt {1-{\tfrac {1}{2}}(1-z^{2})}}}\cdot \left(-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)=-{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {1-z^{4}}}}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}E\left(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\right)={\sqrt {1-{\tfrac {1}{2}}(1-z^{2})}}\cdot \left(-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)=-{\frac {\sqrt {1+z^{2}}}{{\sqrt {2}}(1-z^{2})}}}$

Als Folgerung ergibt sich:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\left(F(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-2E(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right)={\frac {z^{2}{\sqrt {2}}}{\sqrt {1-z^{4}}}}}$

Damit sind Stammfunktionen gefunden, mit denen sich die beiden Integrale in Gleichung ${\displaystyle (\ast )}$ berechnen lassen.

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[F(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]_{0}^{1}}$

${\displaystyle =-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[F(0;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-F({\frac {\pi }{2}};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]={\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {z^{2}}{\sqrt {1-z^{4}}}}\,\mathrm {d} z={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[F(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-2E(\arccos(z);{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]_{0}^{1}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[F(0;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-2E(0;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-F({\frac {\pi }{2}};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})+2E({\frac {\pi }{2}};{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[2E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]}$

Durch Einsetzen in ${\displaystyle (\ast )}$ und Multiplikation mit 2 folgt schließlich die Behauptung:

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[2E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right]={\frac {\pi }{4}}}$

${\displaystyle 2K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\,E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-(K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}))^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Die allgemeine Aussage der Legendre-Relation lässt sich durch Ableiten nach ${\displaystyle k}$ beweisen. Dazu benötigt man die Ableitungen von ${\displaystyle K(k)}$ und ${\displaystyle E(k)}$ (siehe Artikel über elliptische Integrale):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)&={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E(k)&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\end{aligned}}}$

Die Ableitungen der komplementären Integrale ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}$ und ${\displaystyle E({\sqrt {1-k^{2}}})}$ erhält man durch Anwendung der Kettenregel:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K({\sqrt {1-k^{2}}})&={\frac {E({\sqrt {1-k^{2}}})-(1-({\sqrt {1-k^{2}}})^{2})\,K({\sqrt {1-k^{2}}})}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,(1-({\sqrt {1-k^{2}}})^{2})}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {1-k^{2}}}}}\cdot (-2k)\\&={\frac {E({\sqrt {1-k^{2}}})-k^{2}K({\sqrt {1-k^{2}}})}{k^{2}{\sqrt {1-k^{2}}}}}\cdot {\frac {-k}{\sqrt {1-k^{2}}}}\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[k^{2}K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}E({\sqrt {1-k^{2}}})&={\frac {E({\sqrt {1-k^{2}}})-K({\sqrt {1-k^{2}}})}{\sqrt {1-k^{2}}}}\cdot {\frac {1}{2{\sqrt {1-k^{2}}}}}\cdot (-2k)\\&={\frac {k}{1-k^{2}}}\left[K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\end{aligned}}}$

Für die Ableitungen der Produkte, die in der Legendre-Relation vorkommen, ergibt sich gemäß der Produktregel:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]&={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}\cdot E({\sqrt {1-k^{2}}})+K(k)\cdot {\frac {k}{1-k^{2}}}\left[K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+k^{2}K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]&={\frac {E(k)-K(k)}{k}}\cdot K({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\cdot {\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[k^{2}K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[-E(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-(1-k^{2})K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]&={\frac {E(k)-(1-k^{2})K(k)}{k(1-k^{2})}}\cdot K({\sqrt {1-k^{2}}})+K(k)\cdot {\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[k^{2}K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\\&={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+(2k^{2}-1)K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\end{aligned}}}$

Durch Addition der beiden oberen Gleichungen und Subtraktion der dritten Gleichung folgt daraus:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\left[K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]=0}$

Dies bedeutet, dass der Rechenausdruck in der eckigen Klammer gleich einer Konstanten ${\displaystyle C}$ sein muss.

${\displaystyle K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})=C}$

Nach dem schon bewiesenen Ergebnis für den lemniskatischen Fall (${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$)

${\displaystyle 2K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\,E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-\left(K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right)^{2}={\tfrac {1}{2}}\pi }$

kommt für die Konstante ${\displaystyle C}$ nur ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$ in Frage. Folglich gilt die Identität für beliebiges ${\displaystyle k}$.

${\displaystyle K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})={\tfrac {1}{2}}\pi }$

Die Maclaurinschen Reihen (mit Konvergenzradius 1) für die Integrale ${\displaystyle K(k)}$ und ${\displaystyle E(k)}$ lauten:

${\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}$

${\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}k^{2n}}$

Speziell für ${\displaystyle k={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}}$ gilt:

${\displaystyle K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}}$

${\displaystyle E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}}$

Diese beiden Formeln können in die Legendre-Identität eingesetzt werden:

${\displaystyle 2E({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\,K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})-\left(K({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})\right)^{2}={\frac {\pi }{2}}}$

Es ergibt sich die folgende Reihenentwicklung:

${\displaystyle \left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{32^{n}}}{\binom {2n}{n}}^{2}\right]\left[\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1+2n}{32^{n}(1-2n)}}{\binom {2n}{n}}^{2}\right]={\frac {2}{\pi }}}$

Die Konvergenzgeschwindigkeit für diese Reihenformel verhält sich bezüglich der Nachkommastellen linear:

Die Nachkommastellenresultate wurden durch Abrundung hervorgerufen.

Der Bruch 2/π hat die folgenden ersten dezimalen Nachkommastellen:

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\approx 0{,}636619772367581343}$

Das elliptische Nomen, das die Beziehung zwischen der Jacobischen Thetafunktion und dem vollständigen elliptischen Integral erster Art herstellt, ist definiert durch

${\displaystyle q(k)=\exp \left[-\pi \,K({\sqrt {1-k^{2}}})\,K(k)^{-1}\right]}$.

Für die weitere Rechnung werden die Ableitungen von ${\displaystyle K(k)}$ und ${\displaystyle K({\sqrt {1-k^{2}}})}$ benötigt (siehe oben).

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K(k)={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[E(k)-(1-k^{2})K(k)\right]}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}K({\sqrt {1-k^{2}}})={\frac {1}{k(1-k^{2})}}\left[k^{2}K({\sqrt {1-k^{2}}})-E({\sqrt {1-k^{2}}})\right]}$

Durch Anwendung der Kettenregel und der Quotientenregel kann daraus die Ableitung des elliptischen Nomens ermittelt werden:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}q(k)&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\exp \left[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})\,K(k)^{-1}\right]\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\,{\frac {-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\right]\cdot \exp \left[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})\,K(k)^{-1}\right]\\&=\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}\,{\frac {-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})}{K(k)}}\right]q(k)\\&={\frac {\pi }{k(1-k^{2})K(k)^{2}}}\left[K(k)\,E({\sqrt {1-k^{2}}})+E(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})-K(k)\,K({\sqrt {1-k^{2}}})\right]\,q(k)\end{aligned}}}$

Nach der Legendreschen Identität hat die eckige Klammer den Wert ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$. Daher ist das Ergebnis:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} k}}q(k)={\frac {\pi ^{2}}{2k(1-k^{2})K(k)^{2}}}\,q(k)}$

• Duren, Peter (1991), "The Legendre relation for elliptic integrals", in Ewing, John H.; Gehring, F. W. (eds.), Paul Halmos. Celebrating 50 years of mathematics, New York: Springer-Verlag, pp. 305-315, doi:10.1007/978-1-4612-0967-6_32, ISBN 0-387-97509-8, MR 1113282

• Karatsuba, E. A.; Vuorinen, M. (2001), "On hypergeometric functions and generalizations of Legendre's relation", J. Math. Anal. Appl., 260 (2): 623–640, MR 1845572

• Legendre, A.M. (1811), Exercices de calcul intégral sur divers ordres de transcendantes et sur les quadratures, vol. I, Paris

• Legendre, A.M. (1825), Traité des fonctions elliptiques et des intégrales eulériennes, vol. I, Paris

1. ↑ Ilʹja N. Bronštejn: Taschenbuch der Mathematik. 11., aktualisierte Auflage. Haan-Gruiten 2020, ISBN 978-3-8085-5792-1, S. 503 (Formeln 8.25a bis 8.26c). 
2. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Band 3. Spektrum Akademischer Verlag, 2001, ISBN 3-8274-0435-5, S. 267. 
3. ↑ W. P. Reinhardt, P. L. Walker: Elliptic Integrals. Legendre's Integrals. Connection Formulas. In: dlmf.nist.gov. Digital Library of Mathematical Functions, National Institute of Standards and Technology, abgerufen am 13. November 2025 (Formel 19.7.1). 
4. ↑ Elliptic Integrals and Elliptic Functions, a brief history. Abgerufen am 24. Februar 2022. 
5. ↑ Adrien-Marie Legendre - RiskNET. Abgerufen am 24. Februar 2022. 
6. ↑ Legendre, Adrien Marie - Traité des fonctions elliptiques et des intégrales Eulériennes : avec des tables pour en faciliter le cacul numérique; T. 1: Théorie des fonctions elliptiques et son application à différens problèmes de géométrie et de mécanique. Abgerufen am 24. Februar 2022.