Legendre-Konstante

Verlauf von ${\displaystyle \ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}}$ bis ${\displaystyle n=}$ 10²⁹

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}}$		${\displaystyle n}$	${\displaystyle \ln n\!-\!{\tfrac {n}{\pi (n)}}}$
1010	−0,19741		1016	1,02966
1020	0,60517		1017	1,02776
1030	0,95537		1018	1,02609
1040	1,07364		1019	1,02460
1050	1,08757		1020	1,02328
1060	1,07633		1021	1,02209
1070	1,07098		1022	1,02102
1080	1,06395		1023	1,02005
1090	1,05663		1024	1,01916
1010	1,05037		1025	1,01835
1011	1,04513		1026	1,01761
1012	1,04087		1027	1,01692
1013	1,03735		1028	1,01629
1014	1,03438		1029	1,01570
1015	1,03184

Die Legendre-Konstante ist eine mathematische Konstante, die in einer 1798^[1] von Adrien-Marie Legendre aufgestellten Formel auftritt, welche die Anzahl der Primzahlen abschätzt, die nicht größer als eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$ sind. Ihr Wert wurde später als genau 1 bestimmt.

Legendre vermutete auf Grund seiner Überlegungen zur Häufigkeit von Primzahlen, dass der folgende Grenzwert existiert:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\biggl (}\!\ln n-{\frac {n}{\pi (n)}}{\biggr )}=B,}$

dabei ist ${\displaystyle \ln n}$ der natürliche Logarithmus von ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \,\pi (n)}$ die Anzahl der Primzahlen, die nicht größer als ${\displaystyle n}$ sind, und ${\displaystyle B}$ die Legendre-Konstante, welche Legendre mit Hilfe von Berechnungen bis zunächst ${\displaystyle n=400.000}$ und später bis ${\displaystyle n=1.000.000}$, auf etwa ${\displaystyle 1{,}08366}$ schätzte. Aus der Existenz der Konstanten folgt, unabhängig von deren genauem Wert, der Primzahlsatz.

1849 bewies aber Pafnuti Lwowitsch Tschebyschow, dass dieser Grenzwert ${\displaystyle B}$, sofern er existiert^[2], den Wert 1 haben muss. Ein einfacher Beweis wurde 1980 von János Pintz veröffentlicht.^[3]

Auch eine Berechnung der Funktion für größere ${\displaystyle n}$ zeigt, dass sie für größere ${\displaystyle n}$ wieder fällt, sich zunehmend von ${\displaystyle 1{,}08366}$ entfernt und eher durch ${\displaystyle 1\!+\!{\tfrac {1}{\ln n}}}$ approximiert werden kann, was letztendlich gegen 1 konvergiert (siehe Tabelle rechts).

Es ist eine direkte Folgerung des Primzahlsatzes, in folgender präziser Form von Charles de La Vallée Poussin,^[4]

${\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+{\mathcal {O}}\!\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\text{wenn }}x\to \infty }$

(für eine positive Konstante ${\displaystyle a}$, wobei ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\dotso )}$ das Landau-Symbol ist), dass ${\displaystyle B}$ tatsächlich existiert und 1 ist. Der Primzahlsatz wurde 1896 unabhängig von Jacques Hadamard^[5] und Charles de La Vallée Poussin^[6] (ohne Restabschätzung) bewiesen.

1. ↑ Adrien-Marie Legendre: Essai sur la théorie des nombres, Duprat, Paris 1798, S. 19; 2. Auflage, Courcier, Paris 1808, S. 394; Théorie des nombres (Band 2), 3. Auflage, Didot, Paris 1830, S. 65 (französisch)
2. ↑ Edmund Landau: Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen, Third (corrected) edition, two volumes in one, Chelsea 1974, S. 17.
3. ↑ János Pintz: On Legendre’s prime number formula. In: American Mathematical Monthly, Jg. 87 (1980), S. 733–735.
4. ↑ La Vallée Poussin, C. Mém. Couronnés Acad. Roy. Belgique 59, 1–74, 1899
5. ↑ Sur la distribution des zéros de la fonction ${\displaystyle \zeta (s)}$ et ses conséquences arithmétiques, Bulletin de la Société Mathématique de France, Vol. 24, 1896, pp. 199–220 Online (Memento vom 17. Juli 2012 im Internet Archive)
6. ↑ « Recherches analytiques sur la théorie des nombres premiers », Annales de la société scientifique de Bruxelles, vol. 20, 1896, S. 183–256 und 281–361

• Eric W. Weisstein: Legendre’s Constant. In: MathWorld (englisch).