Abstraktionsprinzip (Mengenlehre)

Das Abstraktionsprinzip in der Mengenlehre, auch Komprehensionsschema genannt, besagt, dass eine Klasse dadurch definiert wird, dass eine bestimmte, gemeinsame Eigenschaft der Elemente der Klasse betrachtet wird. Alle anderen Eigenschaften der Elemente sind irrelevant, von ihnen wird 'abstrahiert'. Die Elemente dieser Klasse sind genau die Objekte, die diese bestimmte Eigenschaft erfüllen.

Die Klasse, die von der Eigenschaft ${\displaystyle \varphi }$ abstrahiert wird, wird mit Hilfe des Klassenbildungsoperators wie folgt notiert: ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$. Dabei stehen die Variablen ${\displaystyle x,y,z,...}$ für Elemente des Grundbereichs, der auch Individuenbereich, Variablenbereich oder Diskursuniversum genannt wird. Als „Eigenschaften“ sind die Formeln der zugrunde liegenden Logik (z. B. Prädikatenlogik, Klassenlogik) erlaubt. Das Abstraktionsprinzip besagt, dass es zu jeder Eigenschaft ${\displaystyle \varphi }$ eine solche Klasse gibt^[1], formal:

Abstraktionsprinzip

${\displaystyle \forall y:(y\in \{x\mid \varphi (x)\}\iff \varphi (y))}$

Beispiele für Klassen, die nach dem Abstraktionsprinzip gebildet werden können:

Leere Klasse

${\displaystyle \varnothing :=\{x\mid x\neq x\}}$

Die leere Klasse hat keine Elemente, da ${\displaystyle x\neq x}$ immer falsch ist.

Allklasse

${\displaystyle {\mathcal {V}}:=\{x\mid x=x\}}$

Da ${\displaystyle x=x}$ immer wahr ist, sind alle Objekte des Grundbereichs Elemente von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$.

Russelsche Klasse

${\displaystyle {\mathcal {R}}:=\{x\mid x\notin x\}}$

Diese Klasse enthält alle Objekte des Grundbereichs, die sich nicht selbst enthalten.

Es scheint so, als ob die Klasse ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ widersprüchlich wäre. Mit dem Abstraktionsprinzip für ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ergibt sich nämlich:

${\displaystyle \forall y:(y\in {\mathcal {R}}\iff y\notin y)}$

Wird nun ${\displaystyle y}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}\ }$ ersetzt, folgt

${\displaystyle {\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}}}$ - ein Widerspruch!

Das ist die sogenannte Russellsche Antinomie. Sie führte dazu, dass von Ernst Zermelo und anderen, das Abstraktionsprinzip abgelehnt wurde.^[2] Die aktuelle Lösung der Antinomie: die Ersetzung von ${\displaystyle y}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ist nur zulässig, wenn ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ zu den Objekten gehört, die mit „für alle y ...“ gemeint sind, wenn also ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ im Grundbereich ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ liegt. Die korrekte Ersetzung liefert also:

${\displaystyle \color {Red}{\mathcal {R}}\in {\mathcal {V}}\color {Black}\Longrightarrow ({\mathcal {R}}\in {\mathcal {R}}\iff {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {R}})}$

Daraus folgt:

${\displaystyle {\mathcal {R}}\notin {\mathcal {V}}}$

Die Russellsche Klasse ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ liegt nicht im Grundbereich^[3][4], Klassenbildung führt aus dem Grundbereich hinaus! Die Situation ist vergleichbar, mit der Subtraktion auf den natürlichen Zahlen. ${\displaystyle x-y}$ liegt außerhalb der natürlichen Zahlen, wenn ${\displaystyle x<y}$ gilt.

Klassen die nicht im Grundbereich liegen werden als echte Klassen bezeichnet, Mengen sind Klassen, die im Grundbereich liegen.^[5]

Das Abstraktionsprinzip ist in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre ein Axiom, siehe dort unter Komprehensionsschema. Auch in der Morse-Kelley-Mengenlehre ist das Komprehensionsschema ein Axiom.^[6] In der Klassenlogik ermöglicht das Abstraktionsprinzip die Erweiterung der logischen Sprache um die Klassenbildung ${\displaystyle \{x\mid \varphi (x)\}}$.

• Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, www.aleph1.info/
• Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1983, ISBN 3-411-01634-5.
• Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.

1. ↑ Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik 1983, S. 85
2. ↑ Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261–281
3. ↑ Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, S. 37
4. ↑ Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, Paradoxien der naiven Mengenlehre
5. ↑ Paul R. Helmos: Naive Mengenlehre, 1976
6. ↑ Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, Das System MK