Kochen-Specker-Theorem

Das Kochen-Specker-Theorem (KS-Theorem) ist ein Satz aus dem Bereich der Grundlagen der Quantenmechanik, der die Unmöglichkeit eines nicht kontextuellen Modells mit verborgenen Variablen der Quantenmechanik beweist. Neben der Bellschen Ungleichung ist es das wohl zweitbekannteste so genannte „No-go-Theorem“ (Unmöglichkeitsbeweis) über verborgene Variablen in der Quantenmechanik. Das KS-Theorem wurde zuerst 1966 von John Stewart Bell^[1] und unabhängig davon ein Jahr später von Simon Kochen und Ernst Specker formuliert und bewiesen.^[2][3]

Die Debatte um die Vollständigkeit der Quantenmechanik im Sinne einer realistischen physikalischen Theorie nahm ihren Ursprung in einem Gedankenexperiment, das 1935 von Albert Einstein, Boris Podolsky und Nathan Rosen (EPR) veröffentlicht wurde. Es wurde bekannt als Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon (EPR-Paradoxon). Lange Zeit wurde die in dem Paradoxon steckende Kritik an der Quantenmechanik für unentscheidbar gehalten. Mitte der 1960er Jahre änderte sich dies mit einer Reihe von Veröffentlichungen von John Bell. In ihnen stellte er die von Einstein, Podolsky und Rosen aufgeworfenen Fragen in einen allgemeinen mathematischen Kontext. Außerdem stellte er die nach ihm benannte Bellsche Ungleichung vor, die einen Weg zur experimentellen Überprüfbarkeit des EPR-Paradoxons aufzeigt. Die Leistung Bells kann dabei so beschrieben werden, dass er den eventuell missverständlichen Realitätsbegriff aus der EPR-Kritik in den Kontext einer allgemeinen Theorie mit lokalen verborgenen Variablen übersetzte. Aus der für solche Theorien immer gültigen Ungleichung können, wie im zugehörigen Artikel nachzulesen ist, Ungleichungen für die Erwartungswerte bestimmter quantenmechanischer Observablen abgeleitet werden, die in der mathematischen Formulierung der Quantenmechanik klar verletzt werden.

Betrachtet man die experimentelle Überprüfung der Verletzung der Bellschen Ungleichung in der Quantenmechanik als zweifelsfrei (auch wenn dies nach wie vor in der wissenschaftlichen Gemeinschaft diskutiert wird), so bleibt nur die Wahl zwischen zwei Wegen:

• (NL) Die Quantenmechanik lässt eine realistische Interpretation im Sinne eines Verborgene-Variablen-Modells zu, dieses Modell ist aber nicht lokal. Dieser Interpretation folgt z. B. die Bohmsche Mechanik.
• (NR) Die Quantenmechanik ist eine lokale Theorie und lässt daher keine realistische Interpretation zu. Diesem Weg folgt insbesondere die operationelle Interpretation, die zumindest als Minimal-Interpretation von praktisch allen Wissenschaftlern anerkannt wird.

Wird also eine realistische Interpretation bevorzugt, so erzwingen die Bellschen Ungleichungen ein nicht lokales Modell. Diese Nicht-Lokalität steht auch nicht im Widerspruch zum Kausalitätsprinzip und auch nicht zur Relativitätstheorie. Man kann damit also keine Geräte bauen, die Informationen überlichtschnell von A nach B übermitteln. Trotzdem wird gerade die realistische Interpretation so eines Modells von den meisten Wissenschaftlern angezweifelt. Die realistische Interpretation besagt, dass die Messergebnisse, die in einer einzelnen Messung an einem individuellen Quantensystem gemessen wurden, als echte Eigenschaften dieses individuellen Systems interpretiert werden können. Daraus folgt aber, dass die instantane Veränderung der Eigenschaften eines weit entfernten Systems als realer Effekt betrachtet werden muss, auch wenn dieser nicht messbar ist. Diese spukhafte Fernwirkung^[4] wird einerseits von der Mehrheit der Wissenschaftler als gegen den Geist der Relativitätstheorie aufgefasst und daher verworfen und andererseits auch von zahlreichen namhaften Physikern vertreten.

Das Kochen-Specker-Theorem schränkt die Möglichkeit eines Verborgene-Variablen-Modells der Quantenmechanik nun in einer weiteren Richtung ein. Während sich die Diskussion von EPR bis Bell vornehmlich auf die notwendigerweise nicht lokalen Aspekte solcher Modelle bezog, griffen Kochen und Specker im Jahre 1967 eine Diskussion auf, die bereits John von Neumann 1932 angestoßen hatte und die sich mit der sogenannten Kontextualität der Modelle in Bezug auf Messungen an Einzelsystemen befasste. Von Neumann hatte in seinem bahnbrechenden Buch Die mathematischen Grundlagen der Quantenmechanik die Unvereinbarkeit der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen bereits beschrieben. Seine Argumentation erwies sich aber zunächst als lückenhaft.^[1] Kochen und Specker konnten mit Hilfe der Erkenntnisse von Andrew Gleason aus dem Jahre 1957 und von Bell aus dem Jahre 1966 die Argumente zusammenfassen und in einem mathematischen Satz präzise formulieren.

Die von der mathematischen Theorie vorhergesagten und die im Experiment festgestellten Statistiken von Messergebnissen an einem Ensemble von Quantensystemen stimmen unzweifelhaft bestens überein. Bei dem Versuch, diese Statistiken im Sinne eines Modells mit verborgenen Variablen zu interpretieren, ist die Annahme grundlegend, dass die Messergebnisse einer Einzelmessung reale Bedeutung haben und damit Aufschluss über den physikalischen Zustand dieses Einzelsystems geben. Der Begriff des physikalischen Zustandes bedeutet dabei, dass dieser Zustand durch bestimmte innere Parameter (verborgene Variablen) des Einzelsystems vollständig bestimmt ist und im Kontext der Messung den Messwert genau festlegt. Für den Zusammenhang zwischen den verborgenen Variablen und den erhaltenen Messwerten erscheint es daher sinnvoll und naheliegend, die folgenden Annahmen zu machen:^[5]

• (WD) (Wert-Definiertheit) Die Messwerte einer bestimmten Observable an einem Einzelsystem sind definit, d. h., sie liegen zu allen Zeiten konkret fest und determinieren eine Eigenschaft des Einzelsystems.
• (NK) (Nicht-Kontextualität) Wenn ein einzelnes Quantensystem eine bestimmte Eigenschaft hat, die zu einem bestimmten Messwert führt, so besitzt das System diese Eigenschaft unabhängig vom Kontext der Messung, insbesondere ist der Messwert also unabhängig davon, wie die Messung speziell aufgebaut ist.

Die Annahme (WD) ergibt sich aus der empirischen Erkenntnis über Messungen unter der Annahme der Realität der gemessenen Eigenschaft. Beide Annahmen (WD und NK) ergeben zusammen eine nicht unmittelbar erkennbare, wesentliche Einschränkung des Modells. Tatsächlich sind nämlich alle bekannten Verborgene-Variablen-Modelle der Quantenmechanik, wie etwa die Bohmsche Mechanik, kontextuell und dies nicht ohne Grund. Das KS-Theorem beweist, dass ein Modell mit verborgenen Variablen der Quantenmechanik nicht sowohl (WD) als auch (NK) genügen kann.

Jedes realistische Modell der Quantenmechanik mit verborgenen Variablen ist kontextuell.

Um die obige Aussage zu beweisen, ist etwas technischer Vorlauf nötig. Der Kern des KS-Theorems ist ein eher unscheinbarer Satz über die geometrische Struktur des in der Quantenmechanik verwendeten Hilbertraumes. Seine wesentliche Bedeutung gewinnt das Theorem dann durch die Ableitung bestimmter Rechenregeln für die Messwerte der Einzelsysteme bezüglich verschiedener Observablen, die aus (WD) und (NK) abgeleitet werden können. Die Ableitung dieser Regeln soll im Folgenden skizziert werden.

Das mathematische Modell der Quantenmechanik beschreibt einen Zustand im Sinne eines Ensembles durch einen Dichteoperator ρ, bzw. durch einen Hilbertraumvektor ψ im Falle eines reinen Zustandes. Observablen werden durch selbstadjungierte Operatoren beschrieben, deren Eigenwerte mögliche Messwerte sind. Für zwei Observablen A und B und einen beliebigen Zustand ρ gilt die folgende Rechenregel (Linearität) für die Erwartungswerte:

${\displaystyle \mathbb {E} _{\rho }(\lambda \mathbf {A} +\mu \mathbf {B} )=\lambda \mathbb {E} _{\rho }(\mathbf {A} )+\mu \mathbb {E} _{\rho }(\mathbf {B} ).}$

Da die Kompatibilität von Observablen die beliebig genaue und gleichzeitige Messbarkeit dieser Observablen bedingt, gilt für kompatible Observablen A und B, dass eine gemeinsame Messung der beiden Observablen auch eine Messung der Observablen C=A+B und D=AB impliziert, indem man die Messwerte einfach addiert, bzw. multipliziert. Unter der Annahme der Wert-Definitheit werden nun jedem Einzelsystem des Ensembles Werte

${\displaystyle {\text{(KSa)}}\qquad \,\nu (\mathbf {A} ),\,\nu (\mathbf {B} ),\,\nu (\mathbf {C} )\,{\text{und }}\nu (\mathbf {D} )}$

zugeordnet, die die Messwerte bei einer möglichen Messung bestimmen. Insbesondere müssen die Werte der zusammengesetzten Observablen die Bedingung

${\displaystyle {\text{(KSb)}}\qquad \,\nu (\mathbf {C} )=\nu (\mathbf {A} )+\nu (\mathbf {B} )\,{\text{ und }}\,\nu (\mathbf {D} )=\nu (\mathbf {A} )\cdot \nu (\mathbf {B} )}$

erfüllen, da die Messwerte dieser Observablen ja operationell gerade so bestimmt werden können und diese Werte frei vom Kontext der Messung existieren. Damit kommt man zum Kern des Theorems:

Behauptung:

Die beiden Forderungen aus (KSb) sind für beliebige Paare kompatibler Observablen A und B, die die Werte aus (KSa) definieren, in der Quantenmechanik nicht erfüllbar.

Um den Beweis dieser Behauptung zu führen, wird ein Gegenbeispiel beschrieben. Es reicht dazu aus, einen endlichdimensionalen Hilbertraum zu wählen und eine endliche Anzahl konkreter Observablen anzugeben. Damit folgt dann ein Widerspruch zu (KSa) und (KSb). Der kleinste Hilbertraum, in dem dieser Widerspruch gezeigt werden kann, ist ein dreidimensionaler Raum. In zweidimensionalen Hilberträumen über den komplexen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {C} }$ gilt das KS-Theorem nicht, wie man leicht zeigen kann. Dies ist jedoch kein Problem für die allgemeine Aussage, denn die Quantenmechanik benutzt im Allgemeinen höherdimensionale Räume. Im Folgenden soll nun das Gegenbeispiel von A. Cabello mit einem vierdimensionalen Raum gezeigt werden, da kein Gegenbeispiel mit weniger Observablen bekannt ist.^[6]

Gegeben sei ein vierdimensionaler Hilbertraum über ${\displaystyle \mathbb {C} }$ mit einer Orthogonalbasis ${\displaystyle (u_{1},u_{2},u_{3},u_{4})}$. Der Projektor ${\displaystyle P_{u}}$, auf den von einem Vektor ${\displaystyle u}$ erzeugten Unterraum, hat die Eigenwerte 0 und 1 und gehöre zu einer „Ja-Nein“-Messung. Die zur Basis gehörenden Projektoren ${\displaystyle P_{u_{1}}}$ bis ${\displaystyle P_{u_{4}}}$ kommutieren paarweise und sind folglich gleichzeitig messbar. Aus (KSb) folgt für diese Operatoren

${\displaystyle \nu (P_{u_{1}})+\nu (P_{u_{2}})+\nu (P_{u_{3}})+\nu (P_{u_{4}})=\nu (\mathbf {1} )=1,}$

denn die Summe der vier Projektoren ergibt den Einsoperator. Der Einsoperator ist die Observable, die immer den Messwert 1 liefert. Die Identität ${\displaystyle \nu (\mathbf {1} )=1}$ folgt auch aus der Produktregel in (KSb), da jede Observable R mit 1 kommutiert. Es gilt daher ${\displaystyle \nu (\mathbf {R} )\,\nu (\mathbf {1} )=\nu (\mathbf {R} \cdot \mathbf {1} )=\nu (\mathbf {R} )}$. Ebenso sieht man ${\displaystyle \nu (P_{u})=\nu (P_{u}^{2})=\nu (P_{u})^{2}}$ und daher muss ${\displaystyle \nu (P_{u})}$ entweder 0 oder 1 sein. Daraus folgt, dass in der obigen Summe genau ein Term gleich 1 sein muss und die anderen drei gleich 0.

Man wähle nun 18 geeignete Vektoren aus ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ und bilde aus je vier orthogonalen Vektoren neun verschiedene Basen:

${\displaystyle u_{1}}$	(0,0,0,1)	(0,0,0,1)	(1,-1,1,-1)	(1,-1,1,-1)	(0,0,1,0)	(1,-1,-1,1)	(1,1,-1,1)	(1,1,-1,1)	(1,1,1,-1)
${\displaystyle u_{2}}$	(0,0,1,0)	(0,1,0,0)	(1,-1,-1,1)	(1,1,1,1)	(0,1,0,0)	(1,1,1,1)	(1,1,1,-1)	(-1,1,1,1)	(-1,1,1,1)
${\displaystyle u_{3}}$	(1,1,0,0)	(1,0,1,0)	(1,1,0,0)	(1,0,-1,0)	(1,0,0,1)	(1,0,0,-1)	(1,-1,0,0)	(1,0,1,0)	(1,0,0,1)
${\displaystyle u_{4}}$	(1,-1,0,0)	(1,0,-1,0)	(0,0,1,1)	(0,1,0,-1)	(1,0,0,-1)	(0,1,-1,0)	(0,0,1,1)	(0,1,0,-1)	(0,1,-1,0)

Jede Spalte dieser Tabelle stellt eine Basis aus orthogonalen Vektoren dar. Jeder der 18 Vektoren kommt dabei genau zweimal vor (gleiche Vektoren sind in der gleichen Farbe eingefärbt). Betrachten wir ein beliebiges Einzelsystem im Zustand ρ. Aus jedem Vektor ${\displaystyle u}$ in obiger Tabelle können wir einen Projektionsoperator ${\displaystyle P_{u}}$ gewinnen. Die Anwendung dieses Operators auf den Zustand ρ entspricht der Entscheidung einer Ja/Nein-Frage, dargestellt durch die möglichen Messwerte 0 und 1. Die Quantenmechanik sagt nur mit gewissen Wahrscheinlichkeiten voraus, welcher Wert tatsächlich gemessen werden wird. Laut der Annahme (KSa) wird hingegen mit Sicherheit der Wert ${\displaystyle \nu (P_{u})}$ gemessen (der Wert darf vom Zustand ρ abhängen, aber da wir nur einen Zustand betrachten, brauchen wir das nicht extra zu notieren). Da jeder Vektor ${\displaystyle u}$ in der Tabelle genau zweimal vorkommt und ${\displaystyle \nu (P_{u})}$ entweder 0 oder 1 sein muss, ist die Summe dieser Werte über die gesamte Tabelle eine gerade natürliche Zahl. Andererseits muss die Summe dieser Werte – wie oben aus (KSb) abgeleitet – in jeder einzelnen Spalte 1 betragen, so dass sich eine Gesamtsumme von 9 ergibt. Dies ist der Widerspruch, der dazu führt, dass die Annahme von (KSa) und (KSb) unmöglich ist.

Wie bereits oben bemerkt, schließt das Kochen-Specker-Theorem nur eine bestimmte Klasse von Verborgene-Variablen-Modellen aus, nämlich solche, die nicht kontextuell sind. Kontextuelle Modelle, die man tatsächlich konstruieren kann, erfüllen daher die Forderungen nach Wert-Definitheit und Nicht-Kontextualität nicht. Eine Analyse solcher Modelle zeigt schnell, woher die Kontextualität solcher Modelle rührt: es werden nicht nur im Zustandsraum verborgene Variablen eingeführt, sondern auch im Raum der Observablen.^[7] Eine quantenmechanische Observable wird daher im Rahmen eines solchen Modells eine so genannte unscharfe Observable (Fuzzy-Observable) auf dem Raum der Verborgene-Variablen-Zustände, die die Einzelsysteme modellieren, definieren. Diese Fuzzy-Observablen können im analogen Sinne als gemischt aus scharfen Variablen (mit definiten Messwerten) gesehen werden, wie ein gemischter Zustand aus reinen Zuständen zusammengesetzt wird.

1. ↑ ^{a b} J. S. Bell: On the Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. In: Reviews of Modern Physics. Band 38, 1966, S. 447–452, doi:10.1103/RevModPhys.38.447 (stanford.edu [PDF]). 
2. ↑ S. Kochen, E. Specker: The Problem of Hidden Variables in Quantum Mechanics. In: Journal of Mathematics and Mechanics. Band 17, Nr. 1, Juli 1967, S. 59–87 JSTOR:24902153.
3. ↑ N. David Mermin: Hidden variables and the two theorems of John Bell. In: Rev. Mod. Phys. Band 65, 1993, S. 803, doi:10.1103/RevModPhys.65.803 (mit Bemerkungen zur historischen Relation der beiden Beweise). 
4. ↑ Max Born, Albert Einstein: Albert Einstein, Max Born. Briefwechsel 1916–1955. Nymphenburger, München 1955, S. 210.
5. ↑ Carsten Held: The Kochen-Specker Theorem. In: Edward N. Zalta (Hrsg.): The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Winter 2003 Edition.
6. ↑ A. Cabello: Proof with 18 Vectors of the Bell-Kochen-Specker Theorem. In: New Developments on Fundamental Problems in Quantum Physics. Kluwer Ac. Press (vgl. Online-Version auf arXiv.org)
7. ↑ R. D. Gill, M. S. Keane: A Geometric Proof of the Kochen-Specker No-Go Theorem. In: J. Phys. A: Math. Gen. Band 29, 1996, S. L289–L291, doi:10.1088/0305-4470/29/12/001, arxiv:quant-ph/0304013. 

• Quantum Mechanics and Information, Jonathan Bain, Tandon School of Engineering, New York University
• Eintrag in Edward N. Zalta (Hrsg.): Stanford Encyclopedia of Philosophy.Vorlage:SEP/Wartung/Parameter 1 und weder Parameter 2 noch Parameter 3