Kerr-De-Sitter-Metrik

Die Kerr-De-Sitter-Metrik (kurz KdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda >0}$) und Kerr-Anti-De-Sitter-Metrik (kurz KAdS-Metrik, ${\displaystyle \Lambda <0}$) sind in der Allgemeinen Relativitätstheorie jeweils Verallgemeinerungen der Kerr-Metrik (${\displaystyle \Lambda =0}$) unter zusätzlicher Berücksichtigung von dunkler Energie, beschrieben durch die kosmologische Konstante ${\displaystyle \Lambda }$. Im Vakuum sind diese daher spezielle Lambdavakuumlösungen, also Lösungen der Einsteinschen Feldgleichungen mit verschwindendem Feldstärketensor und mit dunkler Energie.

Mit der Masse ${\displaystyle M}$, dem Drehimpuls ${\displaystyle a}$ und der kosmologischen Konstante ${\displaystyle \Lambda }$ ist die Kerr-Newman-(Anti)-De-Sitter-Metrik gegeben durch:^[1]

${\displaystyle g_{\rm {tt}}=-{\frac {3\left(a^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)+a^{2}\left(\Lambda r^{2}-3\right)+\Lambda r^{4}-3r^{2}+6r\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

${\displaystyle g_{\rm {rr}}=3{\frac {a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}}{\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r}}}$

${\displaystyle g_{\rm {\theta \theta }}=-{\frac {3\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}{a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3}}}$

${\displaystyle g_{\rm {\phi \phi }}=-{\frac {3\left(\left(a^{2}+r^{2}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \cos ^{2}\theta +3\right)-a^{2}\sin ^{4}\theta \left(\left(a^{2}+r^{2}\right)\left(3-\Lambda r^{2}\right)-6r\right)\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

${\displaystyle g_{\rm {t\phi }}={\frac {3a\sin ^{2}\theta \left(a^{2}\Lambda \left(a^{2}+r^{2}\right)\cos ^{2}\theta +a^{2}\Lambda r^{2}+\Lambda r^{4}+6r\right)}{\left(a^{2}\Lambda +3\right)^{2}\left(a^{2}\cos ^{2}\theta +r^{2}\right)}}}$

Singularitäten ergeben sich auf zwei verschiedene Arten: Zum einen durch Stellen, an denen die Metrik nicht definiert ist, also für verschwindende Nenner in den obigen Ausdrücken. (Etwa ergibt der Nenner von ${\displaystyle g_{\rm {rr}}}$ dabei die winkelunabhängige Polynomgleichung:

${\displaystyle \left(a^{2}+r^{2}\right)\left(\Lambda r^{2}-3\right)+6r-3Q^{2}=0}$

vierten Grades für den Radius.) Zum anderen an Stellen, an denen die Metrik singulär wird, also sich nicht mehr invertieren lässt, was durch die Determinante beschrieben werden kann:

${\displaystyle g_{\rm {rr}}g_{\rm {\theta \theta }}\left(g_{\rm {tt}}g_{\rm {\phi \phi }}-g_{\rm {t\phi }}^{2}\right)=0.}$

Aufgrund der Polynome höheren Grades in den Radien oder den trigonometrischen Termen der Winkel sind die Singularitäten schwer zu bestimmen. Diese beschreiben zwei Ereignishorizonte und zwei Ergosphären der Kerr-(Anti)-de Sitter-Metrik.

• Sourav Bhattacharya: Kerr-de Sitter spacetime, Penrose process and the generalized area theorem. In: Physical Review D. Band 97, 3. Oktober 2017, doi:10.48550/arXiv.1710.00997, arxiv:1710.00997 (englisch). 

1. ↑ Bhattacharya 2017, Gleichungen (1) und (2)