Harmonischer Analysator

Ein harmonischer Analysator ist ein mathematisches Instrument und ein mechanischer Analogrechner, mit dem sich die Sinus- und Cosinus-Koeffizienten der Fourierreihe einer periodischen Funktion ermitteln lassen.^[1] Der Name dieser Geräte leitet sich von der Fourier-Analyse ab, die auch als klassische harmonische Analyse bezeichnet wird. Zur Bestimmung der Koeffizienten fährt man bei den moderneren Geräten die graphische Darstellung einer kompletten Periode der Funktion mit einem Fahrstift ab. Je nach Gerätetyp können mehrere Koeffizienten gleichzeitig bestimmt werden. Anderenfalls ist die Kurve mit jeweils veränderter Gerätekonfiguration mehrfach abzufahren.

Ein harmonischer Analysator wird vor allem verwendet, um zeitliche Signale in ihre Frequenzanteile zu zerlegen, die auch als Harmonische bezeichnet werden. Analysiert wird eine Periode der Grundfrequenz. Die zeitlichen Signale können beispielsweise die Gezeiten, der Wechselstrom, Erschütterungen bei Erdbeben oder akustische Schwingungen sein, die auf mechanischem Wege oder optisch auf lichtempfindlichen Materialien aufgezeichnet werden. Durch moderne und leistungsfähige Computer werden seit den 1980er Jahren harmonische Analysatoren zunehmend überflüssig.

William Thomson (der spätere Lord Kelvin) erfand 1872/76 eine Gezeitenrechenmaschine, welche die Pegelstände der Themse berechnete. Um die Parameter für die Einstellungen besser bestimmen zu können, ließ er 1878 bei R W Munro and Company in London einen harmonischen Analysator bauen, der mit großen Scheiben, Walzen und Kugeln arbeitete.^[2] Die Übertragung der Bewegung von einer Scheibe auf die jeweilige Walze mittels einer Kugel war übrigens eine Erfindung des Ingenieurs James Thomson, einem älteren Bruder von William.^[3] Solche Maschinen waren allerdings sehr kostenintensive, schwere und nicht transportable Einzelstücke. Außerdem gab es große Probleme bei der Genauigkeit.^[4]

Der Physiker und Seismologe Emil Wiechert entwickelte zusammen mit dem Mathematiker und theoretischen Physiker Arnold Sommerfeld an der Albertus-Universität Königsberg einen transportablen und genaueren harmonischen Analysator. Das Gerät wurde im Laufe des Jahres 1890 in der mathematischen Abteilung des physikalischen Instituts unter Paul Volkmann vom Institutsmechaniker Gross hergestellt und 1891 erstmals vorgeführt.^[5] Ein extra aufgestelltes Uhrwerk mit Gewichten setzte das Gerät in Bewegung. Der Bediener saß in rund drei Metern Entfernung und steuerte den Analysator mit Hilfe zweier Fäden unter Beobachtung durch ein Fernrohr.^[6] Ein großer Nachteil des Analysators von Wiechert und Sommerfeld bestand jedoch darin, dass bei jedem Durchlaufen der Kurve jeweils nur ein einziger Koeffizient ermittelt werden konnte.^[7]

Als erster harmonischer Analysator mit größerer Verbreitung und großer Genauigkeit gilt der Henrici-Coradi aus dem Jahr 1894.^[8] Seit 1889 konstruierte der aus Deutschland stammende Olaus Henrici solche Geräte. Er war damals Professor für Mechanik und Mathematik am City and Guilds College (auch Central Technical College) in London.^[9] Zusammen mit seinem Assistenten Archibald Sharp entwickelte Henrici das Gerät weiter und ließ es schließlich beim Feinmechaniker Gottlieb Coradi in Zürich produzieren.^[10] Coradi war ursprünglich Geschäftspartner von Albert Ott in Kempten, machte sich aber 1880 in seinem Heimatort mit dem Mathematisch-Mechanischen Institut G. Coradi selbstständig.^[8]

Den Henrici-Coradi gab es in Ausführungen mit einem, drei und fünf Integriermechanismen mit Glaskugeln, an denen je zwei Rollen die sin- und cos-Koeffizienten maßen. Es konnten also parallel bis zu zehn Koeffizienten gleichzeitig ermittelt werden.^[11] Die Messrollen sind identisch zu denen, die schon von Planimetern bekannt sind. Ein Nachteil der Henrici-Coradi war die feste Länge der Grundperiode von 360 mm, so dass die zu analysierenden Kurven gegebenenfalls umgezeichnet werden mussten.

Wohl auch aufgrund des hohen Preises entsprachen die Verkaufszahlen nicht Coradis Erwartungen.^[8] Die Analysatoren wurden hauptsächlich von Universitäten in Europa, Russland und den Vereinigten Staaten sowie vom Earthquake Research Committee in Tokio erworben.^[8] In den 1930er Jahren nutzte der Psychologe Carl Emil Seashore einen Henrici-Coradi für seine Untersuchungen zur Musikpsychologie.^[8]

Der Henrici-Coradi zählt nach der Einteilung von Friedrich Adolf Willers zu den Analysatoren dritter Art.^[12]

1909 ließ der deutsche Ingenieur Otto Mader, bevor er bei Hugo Junkers tätig wurde, seine ersten harmonischen Analysatoren bei der Firma Gebrüder Sterzl in München^[13] produzieren.^[14] Im Gegensatz zu älteren Konstruktionen, die Integrale von Produkten

${\displaystyle \quad \int _{a}^{b}f(t)g(t)\,\mathrm {d} t}$

mit Cosinus- und Sinusfunktionen für g(t) auswerten, nutzen die Geräte von Mader Stieltjesintegrale

${\displaystyle \quad \int _{a}^{b}f(t)\,\mathrm {d} h(t)}$

und zählen damit zu den sogenannten Analysatoren zweiter Art.^[1][12] Als Integrator h(t) (Gewichtsfunktion) dienen hier jeweils Sinus- und Cosinusfunktionen, die durch die Rotation von Zahnrädern erzeugt werden. Für einen Anschaffungspreis von 200 Mark waren die Geräte vergleichsweise günstig.^[14]

1929 bot Albert Ott in Kempten (heute Ott Hydromet) mit dem Mader-Ott eine sehr erfolgreiche Weiterentwicklung an.^[14] Einige Jahre später gab Sterzl nach rund 200 verkauften Exemplaren die Produktion auf, bei Ott wurden es bis Anfang der 1970er Jahre rund 600.^[14] Die vergebenen Seriennummern liefen von 2001 bis 2500 (Fertigungsjahre 1929–1961) und von 69001 bis 69100 (Fertigungsjahre 1962 bis etwa 1972).^[14] Zwischen 1950 und 1965 produzierte auch W. F. Stanley & Co. Ltd. in New Eltham, einem Stadtteil des Londoner Stadtbezirks Royal Borough of Greenwich, rund 60 Mader-Analysatoren.^[14]

Die Mader-Ott gab es als Einzel- und Doppelanalysator. Auf dem Wagen, der in einer Leitschiene von oben nach unten laufen kann, ist eine Zahnstange angebracht, die ein oder zwei Zahnräder antreibt. Die großen mit 1 gekennzeichneten Zahnräder vollenden beim Abfahren der gesamten Grundperiode genau eine Umdrehung, die kleineren Zahnräder für die Koeffizienten der höheren Frequenzen (Kennzeichnung 2 bis 6) entsprechend öfter.^[15] In den Zahnrädern befinden sich zwei Vertiefungen zum Einhängen der Fahrstiftspitze eines Planimeters, das meist nicht zum Lieferumfang gehörte. Die Vertiefungen sind jeweils mit S und C gekennzeichnet, wobei S den Sinuns- und C für den Cosinus-Koeffizienten steht. Damit das Planimeter auf dem Höhenniveau des Zahnrades arbeiten kann, gibt es ein Holzpodium. Da die Zahnräder für Koeffizienten über sechs zu klein wären, nutzt man bis zur Ordnung 25 Zwischenzahnräder.^[15]

Der Fahrwagen wird über einen Winkelhebel angetrieben. Durch Verschieben des Fahrstiftes lassen sich Periodenlängen von 40 bis 360 mm einstellen. Die maximale Amplitude beträgt in beiden Richtungen der Ordinate jeweils 160 mm.^[15] Bei den Doppelanalysatoren gibt es auch Modelle mit einem koppelbaren zweiten Wagen, der zusätzlich drei Zahnradpaare aufnehmen kann. Mit acht Planimetern lassen sich mit so gekoppelten Geräten folglich acht Koeffizienten gleichzeitig bestimmen. Nach dem Abfahren des Graphen muss der Fahrstift bei allen Mader-Ott-Geräten entlang der X-Achse wieder zum Anfang geführt werden. Anschließend können die Koeffizienten als Differenz zum Anfangswert an den Planimetern abgelesen werden.^[15]

John Harvey entwickelte 1934 im Imperial College London einen harmonischen Analysator, der später bei Alfred J. Amsler & Co. in Schaffhausen produziert wurde.^[16][17] Amsler war als Feinmechaniker sehr bekannt. Jakob Amsler-Laffon, der Vater von Alfred J. Amsler und Gründer der Firma, gilt als einer der beiden Erfinder des Polarplanimeters.^[18] Der Harvey-Amsler ist eine andere Form eines schon 1894 vom Statistiker George Udny Yule patentierten^[19] Instruments.^[20] Wie der Mader-Ott ist der Harvey-Amsler ein Analysator zweiter Art.^[1][12]

• Friedrich Adolf Willers: Mathematische Maschinen und Instrumente. Akademie-Verlag, Berlin 1951. Kapitel VI. Harmonische Analysatoren und Stieltjes-Planimeter. S. 194–235.

• Youtube-Video der Funktion eines Henrici-Coradi-Analysators mit fünf Kugeln (10 Koeffizienten)
• Animation zur Simulation eines Mader-Ott-Analysators (je Durchgang ein Koeffizient)
• Abbildungen und Daten eines Harvey-Amsler-Analysators (Sammlung der École polytechnique fédérale de Lausanne)