Hardy-Littlewood-Maximalfunktion

In der Mathematik ist die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ein wichtiger nichtlinearer Operator, der in der reellen Analysis und der harmonischen Analyse verwendet wird. Sie ist ein zentrales Beispiel einer Maximalfunktion. Außerdem stellt sie eine der zentralen Anwendungen des Interpolationssatzes von Marcinkiewicz dar.

Sei ${\displaystyle f\in L_{}^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$, dann definiert man die Hardy-Littlewood-Maximalfunktion ${\displaystyle Mf\colon \mathbb {R} ^{N}\rightarrow \mathbb {R} }$ durch

${\displaystyle Mf(x):=\sup _{\delta >0}{\frac {1}{|B_{\delta }(x)|}}\int \limits _{B_{\delta }(x)}|f(y)|dy}$,

wobei ${\displaystyle |B_{\delta }(x)|}$ das ${\displaystyle N}$-dimensionale Volumen der Kugel ${\displaystyle B_{\delta }(x)}$ um ${\displaystyle x}$ mit Radius ${\displaystyle \delta }$ bezeichnet.

• Die Menge ${\displaystyle A_{Mf}(t):=\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}\colon Mf(x)>t\right\}}$ ist offen, was sich aus der Absolutstetigkeit des Integrals ergibt.
• ${\displaystyle Mf}$ ist sublinear, das heißt ${\displaystyle M(f+g)(x)\leq Mf(x)+Mg(x)}$.
• Ist ${\displaystyle f\in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$ eine wesentlich beschränkte Funktion, so gilt ${\displaystyle Mf(x)\leqslant \|f\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}}$, das heißt ${\displaystyle \operatorname {Mf} \in L^{\infty }(\mathbb {R} ^{N})}$.
• Die Funktion ${\displaystyle Mf\colon \mathbb {R} ^{N}\rightarrow [0,\infty ]}$ ist messbar (${\displaystyle Mf}$ ist punktweise das Supremum von stetigen Funktionen), das heißt ${\displaystyle Mf\in M(\mathbb {R} ^{N})}$.
• Falls ${\displaystyle f\in L_{\mathrm {loc} }^{1}\left(\mathbb {R} ^{n}\right)}$, dann ist ${\displaystyle Mf}$ unterhalbstetig.^[1]

Für ${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ und ${\displaystyle t>0}$ gilt:

${\displaystyle \lambda _{Mf}(t)=\left|\left\{x\in \mathbb {R} ^{N}:Mf(x)>t\right\}\right|\leqslant C(N){\frac {\|f\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}{t}}}$

mit einer nur von ${\displaystyle N}$ abhängigen Konstanten ${\displaystyle C=C(N)}$.

Es ist zu beachten, dass ${\displaystyle c(N)=b(N)}$ und ${\displaystyle c}$ somit eine Besicovitch-Konstante ist.

Für ${\displaystyle 1<p<\infty }$ und ${\displaystyle f\in L^{P}(\mathbb {R} ^{N})}$ gilt

${\displaystyle \|Mf\|_{L^{P}(\mathbb {R} ^{N})}\leqslant C(n,p)\|f\|_{L^{P}(\mathbb {R} ^{N})}}$

• Elias M. Stein and Rami Shakarchi: Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press 2005, ISBN 0-691-11386-6
• Elias M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton University Press 1971
• Kinnunen J. The hardy-littlewood maximal function of a sobolev function. Isr. J. Math. 100, Seite 117–124, 1997

1. ↑ Kinnuen J.:Real Anlaysis (Lecture Notes), Seite 39