Gaußsches Maß

Als gaußsche Maße bezeichnet man die der Normalverteilung zugrundeliegenden Maße. Der Begriff wird insbesondere auf unendlichdimensionale Räume ausgedehnt. Separable Banachräume mit gaußschen Maße und einem darin dicht eingebetteten Hilbertraum nennt man abstrakte Wienerräume, welche von Leonard Gross eingeführt wurden. Jedoch betrachtete schon Norbert Wiener in seiner ursprünglichen Arbeit einen unendlichdimensionalen Raum mit einem gaußschen Maß, allerdings für reelle Funktionen über dem Einheitsintervall, siehe klassischer Wiener-Raum.

Die Theorie der gaußschen Maße liegt zwischen der Stochastik, der Maßtheorie und der Funktionalanalysis. Sie hat unter anderem Anwendungen im Malliavin-Kalkül, der Quantenfeldtheorie, der Finanzmathematik sowie der statistischen Physik.

Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma }$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ nennt man gaußsches Maß mit Varianz ${\displaystyle \sigma ^{2}\geq 0}$, falls

• im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}>0}$ für jede Borelmenge ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )}$ gilt

${\displaystyle \gamma _{a,\sigma ^{2}}(B)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{B}\mathrm {e} ^{-{\frac {(x-a)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\lambda (\mathrm {d} x)}$.

wobei ${\displaystyle \lambda }$ das Lebesgue-Maß bezeichnet.

• im Fall ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ es das Dirac-Maß ${\displaystyle \gamma =\delta _{a}}$ ist.

Man nennt ein gaußsches Maß

• zentriert, wenn ${\displaystyle a=0}$ gilt.
• standard oder kanonisch, wenn ${\displaystyle a=0}$ und ${\displaystyle \sigma ^{2}=1}$ gilt.
• degeneriert, wenn ${\displaystyle \sigma ^{2}=0}$ gilt.^[1]

Ein borelsches Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}}$ auf dem Skalarproduktraum ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d},\langle \cdot ,\cdot \rangle )}$ nennt man ${\displaystyle d}$-dimensionales gaußsches Maß, falls seine charakteristische Funktion von der Form

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}^{(d)}(x)=\exp \left(i\langle x,a\rangle -{\frac {1}{2}}\langle Kx,x\rangle \right),\quad a\in \mathbb {R} ^{d}}$

ist, wobei ${\displaystyle K}$ eine symmetrische, positiv semidefinite Matrix ist.

Wenn ${\displaystyle K}$ positiv definit ist (eine reguläre Matrix), dann hat das Gaußsche Maß eine Radon-Nikodým-Dichte bezüglich dem Lebesgue-Maß und es gilt für jede Borelmenge ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{d})}$

${\displaystyle \gamma ^{(d)}(B):={\frac {1}{\sqrt {(2\pi )^{d}\det(\Sigma )}}}\int _{B}\exp {\Bigg (}-{\frac {1}{2}}(x-a)^{\top }\Sigma ^{-1}(x-a){\Bigg )}\mathrm {d} x}$

Das Standard-Gaußsche-Maß hat die charakteristische Funktion

${\displaystyle {\widehat {\gamma }}^{(d)}(x)=\exp \left(-{\frac {1}{2}}\|x\|_{2}\right).}$

Man nennt ein Borel-Maß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, falls für jedes lineare Funktional ${\displaystyle f}$ auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ das Bildmaß ${\displaystyle \gamma ^{(d)}\circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.

In unendlichdimensionalen topologischen Vektorräumen tritt ein fundamentales topologisches Problem auf. Ein topologischer Vektorraum ist genau dann hausdorff und lokalkompakt, wenn er endlichdimensional ist. Dies hat zur Konsequenz, dass auf einem solchen Raum ${\displaystyle X}$ im Allgemeinen kein analoges Lebesgue-Maß existiert. Für separable Banachräume lässt sich mit dem Lemma von Riesz zeigen, dass das einzige translationsinvariante Borel-Maß, welches den offenen Kugeln ${\displaystyle B_{r}(x)}$ ein endliches Maß zuordnet, das triviale Null-Maß ist (siehe unendlichdimensionales Lebesgue-Maß). Durchgehend notieren wir mit ${\displaystyle X'}$ den topologischen Dualraum und mit ${\displaystyle X^{*}}$ den algebraischen Dualraum.

Der Trick ist es nun, das gaußsche Maße auf ${\displaystyle X}$ über Projektionen auf endlichdimensionale Unterräume zu definieren, das heißt für ${\displaystyle x\in X}$ soll die duale Paarung

${\displaystyle \langle x,v\rangle }$

für alle ${\displaystyle v\in X'}$ ein gaußsche Zufallsvariable sein. Dies entspricht der Aussage, dass für ${\displaystyle (X,P)}$ das Bildmaß ${\displaystyle P(v^{-1}(\cdot ))}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ sein soll.

Da in Banachräumen die Norm häufig nicht ausreicht, um das gaußsche Maß als σ-additives Maß zu definieren, wurde die Konstruktion des abstrakten Wienerraums und das Konzept der Gross-messbaren Norm eingeführt.

Die Maßtheorie in topologischen Vektorräumen beschäftigt sich mit der Maßtheorie in unendlichdimensionalen Räumen.

Sei ${\displaystyle E}$ ein separabler topologischer Vektorraum, ${\displaystyle E'}$ sein topologischer Dualraum und ${\displaystyle \gamma }$ ein Borel-Wahrscheinlichkeitsmaß auf ${\displaystyle E}$. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in E'}$ die Abbildung ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} ,\,x\mapsto \langle x,f\rangle }$ eine gaußsche Zufallsvariable ist.

Das heißt also, ${\displaystyle \gamma }$ ist ein gaußsches Maß auf der borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in E'}$ das Bildmaß ${\displaystyle (f^{*}\gamma ):=\gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist, das heißt ${\displaystyle (f^{*}\gamma ):{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to [0,1]}$.

Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Vektorraum und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ die zylindrische σ-Algebra, d. h., die σ-Algebra wird durch ${\displaystyle X'}$ erzeugt, dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle X}$, falls für jedes stetige lineare Funktional ${\displaystyle f\in X'}$ das Bildmaß ${\displaystyle (f^{*}\gamma ):=\gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist.^[2]

Sei ${\displaystyle E}$ ein Vektorraum, ${\displaystyle F}$ ein Raum von linearen Funktionen, welche die Punkte in ${\displaystyle E}$ separieren und ${\displaystyle {\mathcal {E}}(E,F)}$ die zylindrische σ-Algebra. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein gaußsches Maß, falls für jedes ${\displaystyle f\in F}$ die Abbildung ${\displaystyle \gamma \circ f^{-1}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ist. Man kann zeigen, dass diese Definition äquivalent zur Definition auf lokalkonvexen Räumen ist.^[2]

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und ${\displaystyle f\in X'}$, dann hat die Fourier-Transformation von ${\displaystyle \gamma }$ folgende Form:

${\displaystyle {\hat {\gamma }}(f)=\mathrm {e} ^{iL(f)-{\frac {1}{2}}B(f,f)}}$,

wobei ${\displaystyle L}$ ein lineares Funktional ist und ${\displaystyle B}$ eine symmetrische Bilinearform auf ${\displaystyle X'}$, so dass die quadratische Form ${\displaystyle f\mapsto B(f,f)}$ positiv ist. ${\displaystyle B}$ ist der Kovarianzoperator.

• Seien ${\displaystyle (X_{1},\mu _{1})}$ und ${\displaystyle (X_{2},\mu _{2})}$ zwei lokalkonvexe Räume mit jeweils einem gaußschen Maß, dann ist das Produkt-Maß ${\displaystyle \mu _{1}\otimes \mu _{2}}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle X_{1}\times X_{2}}$. Falls ${\displaystyle X_{1}=X_{2}}$, dann ist auch die Konvolution ${\displaystyle \mu _{1}*\mu _{2}}$ ein gaußsches Maß.^[3]

Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Vektorraum mit borelscher σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$ und ${\displaystyle \gamma }$ einem Radon-Maß darauf. Dann ist ${\displaystyle \gamma }$ ein Radon-Gauß-Maß, falls die Restriktion von ${\displaystyle \gamma }$ auf die zylindrische σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(X,X')}$ ein Gauß-Maß ist.

Nicht jedes Gauß-Maß ist auch ein Radon-Maß. Sei ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ der Folgenraum der beschränkten Folgen und ${\displaystyle {\ell ^{\infty }}'}$ sein topologischer Dualraum. David Fremlin und Michel Talagrand konstruierten ein Gauß-Maß auf der zylindrischen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {E}}(\ell ^{\infty },{\ell ^{\infty }}')}$, welches den geschlossenen Bällen mit Radius ${\displaystyle 1}$ das Maß ${\displaystyle 0}$ zuordnet und deshalb nicht Radon ist.^[4]

Zu jedem gaußschen Maß ${\displaystyle \gamma }$ auf einem lokalkonvexen Vektorraum ${\displaystyle X}$ existiert ein Cameron-Martin-Raum ${\displaystyle H_{\gamma }}$, ein besonderer Hilbert-Raum von Richtungen in ${\displaystyle X}$, in denen ${\displaystyle \gamma }$ verschoben werden kann, so dass ein neues gaußsches Maß entsteht.

Für ${\displaystyle x\in X}$ und ${\displaystyle f\in X'}$ betrachten wir die Abbildung

${\displaystyle j:X'\to L^{2}(X,\gamma ),\quad j(f)(x):=\langle f,x\rangle }$

die jedes ${\displaystyle f\in X'}$ auf eine quadratintegrierbare Zufallsvariable abbildet. Sei ${\displaystyle E_{a}^{\gamma }\subset L^{2}(X,\gamma )}$ der Raum bestehend aus allen linearen zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und deren ${\displaystyle L^{2}}$-Abschluss, das heißt

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }={\overline {\{f-E[f]:f\in X'\}}}_{L^{2}(\gamma )}.}$

${\displaystyle E_{a}^{\gamma }}$ nennt man gaußscher Raum oder das erste Wiener-Chaos.

Die algebraisch-transponierte Abbildung ${\displaystyle S:=j^{t}}$ ist der Operator ${\displaystyle S:L^{2}(X,\gamma )\to (X')^{*}}$ definiert als

${\displaystyle (Sg)(f)=\langle f,Sg\rangle :=\int _{X}g(x)\langle f,x\rangle \,\gamma (dx)}$

für ${\displaystyle g\in L^{2}(X,\gamma )}$ und ${\displaystyle f\in X'}$. Die Komposition ${\displaystyle R:=j^{t}j}$ ist der sogenannte Kovarianzoperator und ein reproduzierender Operator. Der Cameron–Martin-Raum wird durch das Bild von ${\displaystyle S}$ auf ${\displaystyle E_{a}^{\gamma }}$ definiert:

${\displaystyle H_{\gamma }:=S(E_{a}^{\gamma })\subset X,}$

alternative können wir den Raum auch mit dem Kovarianzoperator definieren.

Eine Hilbertraum-Struktur erhält man durch das ${\displaystyle L^{2}(\gamma )}$-Skalarprodukt

${\displaystyle \langle S(f),S(g)\rangle _{H_{\gamma }}:=\langle f,g\rangle _{L^{2}(X,\gamma )}=\int _{X}f(x)g(x)\gamma (dx),\qquad f,g\in E_{a}^{\gamma }}$

und eine Norm auf ${\displaystyle H_{\gamma }}$ ist dann

${\displaystyle \|S(f)\|_{H_{\gamma }}:=\|f\|_{L^{2}(X,\gamma )},\quad f\in E_{a}^{\gamma }.}$^[5]

Ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ zusammen mit einem gaußschen Raum nennt man im Malliavin-Kalkül einen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.

Sei ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ der Raum aller stetigen Pfade ${\displaystyle \xi \colon [0,\infty )\to \mathbb {R} ^{n}}$ mit der Eigenschaft ${\displaystyle \xi (0)=0}$ und ${\displaystyle \lim \limits _{t\to \infty }{\big |}{\tfrac {\xi (t)}{t}}{\big |}=0}$ ausgestattet mit der Borel-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}))}$. Man kann zeigen, dass ${\displaystyle C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n})}$ ein separabler Banachraum ist.

Dann existiert darauf ein eindeutiges Maß ${\displaystyle W}$, welches Wiener-Maß genannt wird, und die ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$-dimensionale brownschen Bewegung erzeugt.

Betrachte die Zeitpunkte ${\displaystyle 0=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{k}}$ und die Borel-Mengen ${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{k}\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})}$. Definiere die Zylindermenge im Pfadraum ${\displaystyle (C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}))}$ durch

${\displaystyle C(A_{1},\dots ,A_{k}):={\Bigl \{}\xi \in C_{0}(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}):(\xi (t_{1}),\dots ,\xi (t_{k}))\in A_{1}\times \cdots \times A_{k}{\Bigr \}}}$

Dann lässt sich das Wiener-Maß ${\displaystyle W}$ für jede Zylindermenge angeben als

${\displaystyle W{\bigl (}C(A_{1},\dots ,A_{k}){\bigr )}=\int _{A_{1}}\cdots \int _{A_{k}}\prod _{j=1}^{k}p_{t_{j}-t_{j-1}}(x_{j}-x_{j-1})\,dx_{j},\quad x_{0}=0,}$

wobei

${\displaystyle p_{t}(x)=(2\pi t)^{-n/2}\exp \left(-{\frac {\|x\|^{2}}{2t}}\right)}$

mit euklidischer Norm ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}}}}$.

• Sei ${\displaystyle \gamma _{n}:=\gamma _{0,1}}$ für alle ${\displaystyle n}$ ein Standard-gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} }$, dann ist das Produktmaß

${\displaystyle \gamma ^{(\infty )}=\bigotimes \limits _{n=1}^{\infty }\gamma _{n}}$

ein zentriertes gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{\infty }}$.

• Sei ${\displaystyle X}$ ein lokalkonvexer Raum mit gaußschem Maß ${\displaystyle \gamma }$ und weiter sei ${\displaystyle T=X'}$. Wir definieren die Einbettung ${\displaystyle i\colon X\to \mathbb {R} ^{T}}$ durch ${\displaystyle i(x)(f):=f(x)}$ für jedes ${\displaystyle f\in T}$. Dann ist das Bild von ${\displaystyle \gamma }$ unter ${\displaystyle i}$ ein gaußsches Maß auf ${\displaystyle \mathbb {R} ^{T}}$.

• Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4. 
• Daniel W. Stroock: Probability Theory - An Analytic View. 2. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge / New York 2010, ISBN 978-0-521-13250-3, doi:10.1017/CBO9780511974243. 
• Hui-Hsiung Kuo: Gaussian Measures in Banach Spaces. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg (= Lecture Notes in Mathematics. Band 463). 1975, doi:10.1007/BFb0082009. 
• Alexander Kukush: Gaussian Measures in Hilbert Space: Construction and Properties. Hrsg.: Wiley. 2019, ISBN 978-1-119-68672-9. 
• Daniel W. Stroock: Gaussian Measures in Finite and Infinite Dimensions (= Universitext). Springer, Cham 2023, ISBN 978-3-03123121-6, doi:10.1007/978-3-031-23122-3. 
• Alain Guichardet: Symmetric Hilbert Spaces and Related Topics. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg (= Lecture Notes in Mathematics. Band 261). 1972, Gaussian measures on topological vector spaces, doi:10.1007/BFb0070306. 

• Maßtheorie in topologischen Vektorräumen

1. ↑ Michel Ledoux und Michel Talagrand: Probability in Banach Spaces. Hrsg.: Springer, Berlin, Heidelberg (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 23). 1991, doi:10.1007/978-3-642-20212-4. 
2. ↑ ^{a b} Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 42. 
3. ↑ Wladimir I. Bogatschow: Gaussian Measures. Hrsg.: American Mathematical Society. 1998, ISBN 978-1-4704-1869-4, S. 44. 
4. ↑ David H. Fremlin und Michel Talagrand: A Gaussian Measure on l∞. In: Ann. Probab. Band 8, Nr. 6, 1980, S. 1192 - 1193, doi:10.1214/aop/1176994583. 
5. ↑ Albert Badrikian: Measurable linear mappings from a Wiener space. In: Annales mathématiques Blaise Pascal. S3, 1996, S. 59–113 (numdam.org).