Formelsammlung Tensoralgebra

Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der reelle dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Um das Transfervolumen trotz erheblicher Erweiterung von vormals über 15 MB auf unter 1 MB zu senken und damit die Übertragung zu beschleunigen und gleichzeitig Energie zu sparen, werden Formeln, wenn möglich, in Textform geschrieben. Der Schrifttypensatz hat keinen Einfluss auf den dargestellten Inhalt. Beispielsweise bedeuten (, A) und ${\displaystyle ({\mathsf {\vec {u}}},\mathbf {A} )}$ dasselbe. Das ermöglicht außerdem die Suche nach Zeichenfolgen wie „sin“, „∠“ oder „A^D“.

• Buchstaben die als Indizes benutzt werden:
  • i, j, k, l, m, n ∈ {1, 2, 3}
  • p, q, r, s ∈ {1, 2, …, 9}
  • u, v ∈ {1, 2, …, 6}
• Nicht tief oder hoch gestellte Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen.
• Vektoren:
  • Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍.
  • Vektoren werden mit Kleinbuchstaben wie , â bezeichnet.
    Ausnahme: #Dualer axialer Vektor A_×
  • Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von 𝕍 ist ê_1,2,3.
  • Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie mit einem Pfeil versehen. Der Name ohne Pfeil gibt den Betrag an:
      ＝ a â.
  • Dreiergruppen von Vektoren wie ₁, ₂, ₃ oder ¹, ², ³ bezeichnen Basen von 𝕍.
  • Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist ₁, ₂, ₃ dual zu ¹, ², ³.
  • Als #Orthonormalbasis­vektoren werden â, ĉ, ê, ĝ, ĥ und û_1,2,3 benutzt.
• Tensoren zweiter Stufe sind Element des Vektorraums 𝓛 und bilden Vektoren aus 𝕍 nach 𝕍 ab. Sie werden wie A mit fetten Großbuchstaben notiert. Ausnahme: #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix [­]_×. Tensoren vierter Stufe werden doppelt gestrichen geschrieben wie beispielsweise 𝔸 und bilden Tensoren aus 𝓛 nach 𝓛 ab. Analoges zu den Vektoren oben gilt bei Tensoren zweiter Stufe:
  • Neunergruppen von Tensoren wie in H₁, …, H₉ oder G¹, …, G⁹ bezeichnen eine Basis von 𝓛.
  • Gleichnamige „Basistensoren“ mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist G₁, …, G₉ dual zu G¹, …, G⁹.
• Es gilt die Einstein'sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung.
  • Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in c ＝ a_i bⁱ wird über diesen Index summiert:
     c ＝ a_i bⁱ ＝ a_i bⁱ.
  • Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c ＝ A_pq B^pq wird über diese summiert:
     c ＝ A_pq B^pq ＝ ${\displaystyle \sum _{{\mathsf {p}}=1}^{9}\sum _{{\mathsf {q}}=1}^{9}}$ A_pq B^pq.
  • Ein Index, der nur einfach vorkommt wie u in a_u ＝ A_uv b_v, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes:
     a_u ＝ A_uv b_v bedeutet a_u ＝ ${\displaystyle \sum _{{\mathsf {v}}=1}^{6}}$ A_uv b_v für alle u ∈ {1, …, 6}.
  • Wird die Summation mit explizit gefordert, ist die Summenkonvention außer Kraft gesetzt.

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
1	#Einheitstensor zweiter Stufe	Einheitstensor
𝟙, 𝕀	#Einheitstensor vierter Stufe	Einheitstensor
Q, R	#Orthogonale Tensoren	Orthogonaler Tensor
λ	#Eigenwerte, im Abschnitt #Tensoren vierter Stufe erste Lamé-Konstante	Eigenwertproblem, Lamé-Konstante
δij	#Kronecker-Delta	Kronecker-Delta
ϵijk	#Permutationssymbol	Permutationssymbol
𝞊	#Fundamentaltensor 3. Stufe	Epsilon-Tensor
i		Imaginäre Einheit: i2 ＝ −1
, O, 𝕆	Nullvektor, Nulltensor zweiter und vierter Stufe

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
∠(·, ·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt von Vektoren	Winkel zwischen zwei Vektoren
(·) · (·)	#Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt	Skalarprodukt
(·) × (·)	#Kreuzprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren	Kreuzprodukt
(·) : (·)	#Skalarprodukt von Tensoren	Frobenius-Skalarprodukt
(·) ⊗ (·)	#Dyadisches Produkt, #Dyade	Dyadisches Produkt
(·) ·× (·)	#Skalarkreuzprodukt von Tensoren
(·) ×× (·)	#Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren
(·) # (·)	#Äußeres Tensorprodukt	Äußeres Tensorprodukt
∥(·)∥	#Betrag eines Tensors zweiter Stufe	Frobeniusnorm
|x|, ||, |A|	Betrag der Zahl x oder des Vektors , #Determinante des Tensors A	Betragsfunktion, Vektor#Länge/Betrag eines Vektors, Determinante
(·) ∥ (·)		Kollinearität
(·) ∦ (·)		Lineare Unabhängigkeit
(·) ⊥ (·)		Orthogonalität
sin, cos, tan		Winkelfunktionen
sgn(x)		Vorzeichen der reellen Zahl x
x, ${\displaystyle {\mathsf {\bar {\vec {v}}}}}$, A		Komplexe Konjugation

Operatoren für komplexe Argumente werden nicht speziell definiert, komplexe Konjugationen immer angezeigt, z. B.

||² ＝ ${\displaystyle {\mathsf {{\vec {v}}\cdot {\bar {\vec {v}}}}}}$

bei komplexen Vektoren. Dies ist insbesondere bei der #Vektortransformation zu beachten. Komplexe Zahlen werden nur in den Abschnitten #Eigensystem und #Spektralzerlegung benutzt.

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
Sp, I1	#Spur	Spur (Mathematik), Hauptinvariante
I2	#Zweite Hauptinvariante	Hauptinvariante
det, I3, |A|	#Determinante	Determinante, Hauptinvariante
[­]×	#Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix	Kreuzprodukt
[A], [𝔸]	#Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe und nur in diesen Abschnitten	Voigtsche Notation
A×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
(A)	#Vektorinvariante	Vektorinvariante
adj(A)	#Adjunkte	Adjunkte
cof(A)	#Kofaktor	Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix
dev(A)	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
skw(A)	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
sph(A)	#Kugelanteil	Kugeltensor
sym(A)	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix

Formel­zeichen	Abschnitt in der Formel­sammlung	Wikipedia-Artikel
Aij, Aij, Aij	#Tensorkomponenten von A, siehe auch #Basis und duale Basis
A⊤	#Transposition	Transponierte Matrix
𝔸${\displaystyle {}^{\stackrel {\mathsf {kn}}{\top }}}$	#Transpositionen von Tensoren vierter Stufe
A−1	#Inverse	Inverse Matrix
A⊤−1, A−⊤	#Transposition der #Inversen
AS	#Symmetrischer Anteil	Symmetrische Matrix
AA	#Schiefsymmetrischer Anteil	Schiefsymmetrische Matrix
AD	#Deviator	Deviator, Spannungsdeviator
AK	#Kugelanteil	Kugeltensor
A×	#Dualer axialer Vektor	Kreuzprodukt
x−1		Kehrwert
(·)½, √(·)		Wurzel (Mathematik)

Formel­zeichen	Elemente
ℝ	Reelle Zahlen
𝕍	Vektoren
𝓛 ＝ Lin(𝕍,𝕍)	Tensoren zweiter Stufe
Lin(𝓛,𝓛)	#Tensoren vierter Stufe
𝓢 ＝ Sym(𝕍,𝕍)	#Symmetrische Tensoren zweiter Stufe
Lin(𝓢,𝓢)	Menge der linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren, siehe #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe
O(3)	Orthogonale Gruppe, #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ ±1)
SO(3)	Drehgruppe, eigentlich #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ +1)

Definition:

δij ＝		1 falls i ＝ j
		0 sonst

Für Summen gilt dann z. B.

v_i δ_ij ＝ v_j

A_ij δ_ij ＝ A_ii

ϵijk ＝		1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) }
		−1	falls (i, j, k) ∈ { (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) }
		0	sonst, d. h. bei doppeltem Index

Verhalten bei vertauschten Indizes:

ϵ_ijk ＝ ϵ_jki ＝ ϵ_kij

ϵ_ijk ＝ −ϵ_ikj ＝ −ϵ_jik ＝ −ϵ_kji

Produkte und deren Summen:

ϵijk ϵlmn ＝	δil	δjl	δkl
	δim	δjm	δkm
	δin	δjn	δkn

ϵ_ijk ϵ_klm ＝ δ_il δ_jm − δ_im δ_jl

ϵ_ijk ϵ_jkl ＝ 2 δ_il

ϵ_ijk ϵ_ijk ＝ 6

#Kreuzprodukt von Vektoren:

ϵ_ijk ê_k ＝ ê_i × ê_j

ϵ_ijk ê_j × ê_k ＝ 2 ê_i

ϵ_ijk ê_i × (ê_j × ê_k) ＝

#Spatprodukt:

ϵ_ijk ＝ ê_i · (ê_j × ê_k)

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

＝ ai êi ＝	a1
	a2
	a3

Drei Vektoren , und können spaltenweise in einer 3×3-Matrix M arrangiert werden:

M ＝ Mij êi ⊗ êj ＝ (  ) ＝	a1 b1 c1
	a2 b2 c2
	a3 b3 c3

Die #Determinante der Matrix

|M| ＝ |  |

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und
• größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet |  | > 0, dass die Vektoren , und eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine #Orthonormalbasis, wenn

M^⊤ M ＝ E

worin M^⊤ die transponierte Matrix und E die Einheitsmatrix ist. Bei einer rechtshändigen Orthonormalbasis ist

|M| ＝ +1.

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

· ＝ || || cos(∠(, ))

Betragsquadrat eines Vektors (einzige irreduzible Invariante):

││² ＝ ·

Bezüglich einer #Orthonormalbasis ĉ_1,2,3:

(a_i ĉ_i) · (b_j ĉ_j) ＝ a_j b_j ＝ a₁ b₁ + a₂ b₂ + a₃ b₃

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ 𝕍

× ＝ ∈ 𝕍

Eigenschaften:

× ＝

× ＝ − ×

· ( × ) ＝ · ( × ) ＝ 0

| × |² ＝ ||² ||² sin(∠(, ))² ＝ ||² ||² − ( · )²

det(   × ) ≥ 0

Graßmann-Identität:

× ( × ) ＝ ( · ) − ( · )  „BAC−CAB-Formel“

( × ) × ＝ ( · ) − ( · )

Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten mit #Spatprodukten:

( × ) × ( × )	＝ [­ · ( × )] − [­ · ( × )]
	＝ [­ · ( × )] − [­ · ( × )]

Bezüglich der Standardbasis:

(ai êi) × (bj êj)	＝ ϵijk ai bj êk
	＝	ê1	ê2	ê3	＝	a2 b3 − a3 b2
		a1	a2	a3		a3 b1 − a1 b3
		b1	b2	b3		a1 b2 − a2 b1

Abbildung 𝕍 × 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

· ( × ) ＝ det(  )

· ( × ) ＝ · ( × ) ＝ · ( × )

(a_i ê_i) · [(b_j ê_j) × (c_k ê_k)] ＝ ϵ_ijk a_i b_j c_k

Lagrange-Identität:

( × ) · ( × ) ＝ ( · ) ( · ) − ( · ) ( · )

Basisvektoren ₁, ₂, ₃

Duale Basisvektoren ¹, ², ³

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

_i · ^j ＝ δ_ij

Mit dem #Kreuzprodukt von Vektoren „ד und dem #Spatprodukt:

1 ＝	2 × 3	, 2 ＝	3 × 1	, 3 ＝	1 × 2
	1 · (2 × 3)		2 · (3 × 1)		3 · (1 × 2)

1 ＝	2 × 3	, 2 ＝	3 × 1	, 3 ＝	1 × 2
	1 · (2 × 3)		2 · (3 × 1)		3 · (1 × 2)

Trägt man die Basisvektoren spaltenweise in eine Matrix ein, dann finden sich die dualen Basisvektoren in den Spalten der #transponiert #Inversen:

(^1 2 3) ＝ (_1 2 3)^⊤−1

Beziehung zwischen den Skalarprodukten der Basisvektoren:

(_i · _k) (^k · ^j) ＝ δ_ij

In der Standardbasis wie in jeder Orthonormalbasis sind die Basisvektoren ĉ_1,2,3 zu sich selbst dual:

ĉ_i ＝ ĉⁱ, ĉ_i · ĉ_j ＝ δ_ij

In einer rechtshändigen Orthonormalbasis ĉ_1,2,3 ist

ĉ₁ ＝ ĉ₂ × ĉ₃, ĉ₂ ＝ ĉ₃ × ĉ₁, ĉ₃ ＝ ĉ₁ × ĉ₂

＝ v_i ê_i ↔ v_i ＝ · ê_i

＝ vⁱ _i ↔ vⁱ ＝ · ⁱ

＝ v_i ⁱ ↔ v_i ＝ · _i

＝ v^j _j ＝ ṽⁱ _i

#Berechnung der Vektorkomponenten liefert:

＝ ṽⁱ _i ↔ ṽⁱ ＝ · ⁱ ＝ (v^j _j) · ⁱ ＝ (ⁱ · _j) v^j

Als Matrizengleichung:

	ṽ1	＝	1 · 1	1 · 2	1 · 3		v1
	ṽ2		2 · 1	2 · 2	2 · 3		v2
	ṽ3		3 · 1	3 · 2	3 · 3		v3

Die grundlegenden Eigenschaften des dyadischen Produkts „⊗“ sind:

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ 𝓛

, ∈ 𝕍:  ⊗ ＝ T ∈ 𝓛

Bezüglich der Standardbasis:

⊗ ＝ (ai êi) ⊗ (uj êj) ＝ ai uj êi ⊗ êj ＝	a1 u1	a1 u2	a1 u3
	a2 u1	a2 u2	a2 u3
	a3 u1	a3 u2	a3 u3

(a_i ê_i) ⊗ (b_j ê_j) + (c_i ê_i) ⊗ (d_j ê_j) ＝ (a_i b_j + c_i d_j) ê_i ⊗ ê_j

Bezüglich beliebiger Basen:

(ai i) ⊗ (uj j) ＝	a1 u1	a1 u2	a1 u3		i ⊗ j
	a2 u1	a2 u2	a2 u3
	a3 u1	a3 u2	a3 u3

Multiplikation mit einem Skalar x:

x ( ⊗ ) ＝ (x ) ⊗ ＝ ⊗ (x ) ＝ x ⊗

Distributivität:

(x + y) ⊗ ＝ x ⊗ + y ⊗

( + ) ⊗ ＝ ⊗ + ⊗

⊗ ( + ) ＝ ⊗ + ⊗

#Spur:

Sp( ⊗ ) :＝ ·

#Skalarprodukt von Tensoren:

( ⊗ ) : ( ⊗ ) ＝ ( · ) ( · )

Weitere Eigenschaften von Dyaden siehe #Dyade und den folgenden Abschnitt.

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird 𝓛 ＝ Lin(𝕍,𝕍) zu einem euklidischen Vektorraum und entsprechend kann jeder Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis von 𝓛 dargestellt werden:

A ∈ 𝓛 ↔ A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ A^ij _i ⊗ _j mit Komponenten A_ij, A^ij ∈ ℝ.

Die Dyaden {ê_i ⊗ ê_j | i, j ＝ 1, 2, 3} und {_i ⊗ _j | i, j ＝ 1, 2, 3} bilden Basissysteme von 𝓛.

Abbildung 𝓛 ↦ 𝓛

( ⊗ )^⊤ ＝ ⊗

(A^ij _i ⊗ _j)^⊤ ＝ A^ij _j ⊗ _i ＝ A^ji _i ⊗ _j

(A_ij ê_i ⊗ ê_j)^⊤ ＝ A_ij ê_j ⊗ ê_i ＝ A_ji ê_i ⊗ ê_j

(A^⊤)^⊤= A

(A + B)^⊤= A^⊤+ B^⊤

(A · B)^⊤= B^⊤· A^⊤

Abbildung 𝓛 × 𝕍 ↦ 𝕍 oder 𝕍 × 𝓛 ↦ 𝕍

Dyaden:

( ⊗ ) ·  :＝ ( · )

· ( ⊗ ) :＝ ( · )

( ⊗ ) · ＝ · ( ⊗ )^⊤

· ( ⊗ ) ＝ ( ⊗ )^⊤ ·

Allgemeine Tensoren:

A_ij (ê_i ⊗ ê_j) · (v_k ê_k) ＝ A_ij v_j ê_i

(v_k ê_k) · A_ij (ê_i ⊗ ê_j) ＝ A_ij v_i ê_j

A^ij (_i ⊗ _j) · (v^k _k) ＝ A^ij (_j · _k) v^k _i

(v^k _k) · A^ij (_i ⊗ _j) ＝ A^ij (_i · _k) v^k _j

Symbolisch:

A · ＝ · A^⊤

· A ＝ A^⊤ ·

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

( ⊗ ) · ( ⊗ ) :＝ ( · ) ⊗

( ⊗ ) · A ＝ ⊗ ( · A) ＝ ⊗ · A

( ⊗ ) · A ＝ ⊗ (A^⊤ · )

A · ( ⊗ ) ＝ (A · ) ⊗ ＝ A · ⊗

(A_ik ê_i ⊗ ê_k) · (B_lj ê_l ⊗ ê_j) ＝ A_ik B_kj ê_i ⊗ ê_j

(A^ij _i ⊗ _j) · (B^kl _k ⊗ _l) ＝ A^ij (_j · _k) B^kl _i ⊗ _l

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ ℝ

( ⊗ ) : ( ⊗ ) :＝ Sp(( ⊗ )^⊤ · ( ⊗ )) ＝ ( · ) ( · )

A : B :＝ Sp(A^⊤· B) ＝ Sp(A · B^⊤)

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) : (B_kl ê_k ⊗ ê_l) ＝ A_ij B_ij

(A^ij _i ⊗ _j) : (B^kl _k ⊗ _l) ＝ A^ij B^kl (_i · _k) (_j · _l)

Eigenschaften:

A : B ＝ B : A ＝ A^⊤: B^⊤= B^⊤: A^⊤

A^⊤: B ＝ A : B^⊤

A : (B · C) ＝ (B^⊤· A) : C ＝ (A · C^⊤) : B

(A · B) : C ＝ B : (A^⊤· C) ＝ A : (C · B^⊤)

A : ( ⊗ ) ＝ · A ·

Abbildung 𝕍 × 𝓛 ↦ 𝓛 oder 𝓛 × 𝕍 ↦ 𝓛

Dyaden:

× ( ⊗ ) ＝ ( × ) ⊗ ＝ × ⊗

( ⊗ ) × ＝ ⊗ ( × ) ＝ ⊗ ×

Bezüglich der Standardbasis

a_i ê_i × (A_jl ê_j ⊗ ê_l) ＝ a_i A_jl (ê_i × ê_j) ⊗ ê_l ＝ ϵ_ijk a_i A_jl ê_k ⊗ ê_l

(A_ij ê_i ⊗ ê_j) × a_k ê_k ＝ A_ij a_k ê_i ⊗ (ê_j × ê_k) ＝ ϵ_jkl A_ij a_k ê_i ⊗ ê_l

Vektortransformation:

(A × ) · ＝ A · ( × )

· ( × A) ＝ ( × ) · A

( × A) · ＝ × (A · ) ＝ × A ·

· (A × ) ＝ ( · A) × ＝ · A ×

Kreuzprodukt mit dem Einheitstensor ergibt den axialen Tensor:

×	＝	( × 1) · ＝ · ( × 1)
	＝	− · ( × 1) ＝ −( × 1) · ＝ − ×

Mehr dazu, siehe #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix.

Mehrfach:

× ( × A) ＝ ⊗ · A − ( · ) A

[­ × ( × A)] · ＝ × [­ × (A · )] ＝ ( · A · ) − ( · ) A ·

× ( × 1) ＝ ⊗ − ( · ) 1

[­ × ( × 1)] · ＝ × ( × ) ＝ ( · ) − ( · )

× (A × ) ＝ −( ⊗ ) # A

Meistens ist aber:

(A · ) × ≠ A · ( × ) ＝ (A × ) ·

× ( · A) ≠ ( × ) · A ＝ · ( × A)

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝕍

( ⊗ ) × ( ⊗ ) ＝ ( · ) ×

(Aik êi ⊗ êk) × (Bjl êj ⊗ êl) :＝ Aik Bjk êi × êj ＝ ϵijl Aik Bjk êl ＝ …
… ＝	A21 B31 − A31 B21 + A22 B32 − A32 B22 + A23 B33 − A33 B23
	A31 B11 − A11 B31 + A32 B12 − A12 B32 + A33 B13 − A13 B33
	A11 B21 − A21 B11 + A12 B22 − A22 B12 + A13 B23 − A23 B13

Eigenschaften:

A × A ＝

B × A ＝ −A × B

A × (B · C) ＝ (A · C^⊤) × B

(A · B) × C ＝ A × (C · B^⊤)

Zusammenhang mit der #Vektorinvariante:

A × B ＝ (A · B^⊤)

A × 1 ＝ (A)

( ⊗ ) × 1 ＝ ( ⊗ ) ＝ ×

Zusammenhang mit dem #Skalarkreuzprodukt von Tensoren:

A × B ＝ A ·× (B^⊤)

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝕍

( ⊗ ) ·× ( ⊗ ) :＝ ( · ) ×

Zusammenhang mit dem #Kreuzprodukt von Tensoren:

A ·× B ＝ A × (B^⊤)

Zusammenhang mit der #Vektorinvariante:

A ·× B ＝ (A · B)

A ·× 1 ＝ 1 ·× A ＝ (A)

Siehe auch #Äußeres Tensorprodukt #

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

( ⊗ ) ×× ( ⊗ ) :＝ ( × ) ⊗ ( × ) ＝ ( ⊗ ) # ( ⊗ )

A_ij (ê_i ⊗ ê_j) ×× (B_kl (ê_k ⊗ ê_l)) :＝ A_ij B_kl (ê_j × ê_k) ⊗ (ê_i × ê_l)

A ×× B ＝ A^⊤# B

Abbildung 𝓛 × 𝓛 ↦ 𝓛

( ⊗ ) # ( ⊗ ) :＝ ( × ) ⊗ ( × )

A # B	＝	[Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)] 1 + [A · B + B · A − Sp(A) B − Sp(B) A]⊤
	＝	cof(A + B) − cof(A) − cof(B)

Bezüglich der Standardbasis:

(Aij êi ⊗ êj) # (Bkl êk ⊗ êl)	=	Aij Bkl (êi × êk) ⊗ (êj × êl)
	=	ϵikm ϵjln Aij Bkl êm ⊗ ên

Grundlegende Eigenschaften:

(x A) # B ＝ A # (x B) ＝ x A # B

A # B ＝ B # A ＝ (A^⊤# B^⊤)^⊤

(A + B) # C ＝ A # C + B # C

A # (B + C) ＝ A # B + A # C

Das Assoziativgesetz ist nicht erfüllt, denn meistens ist

(A # B) # C ≠ A # (B # C)

#Kreuzprodukt von Vektoren und #Kofaktor:

(A # B) · ( × ) ＝ (A · ) × (B · ) − (A · ) × (B · )

(A # A) · ( × ) ＝ cof(A) · ( × ) ＝ (A · ) × (A · )

#Hauptinvarianten:

(A # 1) : 1 ＝ I₁(A)

(A # A) : 1 ＝ I₂(A)

(A # A) : A ＝ I₃(A)

Weitere Eigenschaften:

1 # 1 ＝ 2 1

A # 1 ＝ Sp(A) 1 − A^⊤

(A # B) · (C # D) ＝ (A · C) # (B · D) + (A · D) # (B · C)

(A # B) : C ＝ (B # C) : A ＝ (C # A) : B ＝ ϵ_ikm ϵ_jln A_ij B_kl C_mn

× (A × ) ＝ −( ⊗ ) # A

mit Komponenten A_ij, B_kl und C_mn von A, B bzw. C bezüglich der Standardbasis.

A ＝ Aij êi ⊗ êj ＝	A11	A12	A13	↔  Aij ＝ êi · A · êj
	A21	A22	A23
	A31	A32	A33

A ＝ A^ij _i ⊗ _j  ↔  A^ij ＝ ⁱ · A · ^j ＝ A : (ⁱ ⊗ ^j)

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j  ↔  A_ij ＝ _i · A · _j

A ＝ Aⁱ_{j i} ⊗ ^j  ↔  Aⁱ_j ＝ ⁱ · A · _j

A ＝ A_i^{j i} ⊗ _j  ↔  A_i^j ＝ _i · A · ^j

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j ＝ Ã_ij ⁱ ⊗ ^j

Mit den Formeln für #Tensorkomponenten:

Ã_ij ＝ _i · A · _j ＝ _i · (A_kl ^k ⊗ ^l) · _j ＝ (_i · ^k) A_kl (^l · _j)

Mit dem #Einheitstensor 1 = ⁱ ⊗ _i:

A ＝ 1 · A · 1⊤	＝	(i ⊗ i) · (Akl k ⊗ l) · (j ⊗ j)
	＝	(i · k) Akl (l · j) i ⊗ j
	＝	Ãij i ⊗ j

Allgemein:

A ＝ A_ij ⁱ ⊗ ^j ＝ Ã_ij ⁱ ⊗ ^j

↔ Ã_ij ＝ _i · A · _j ＝ _i · (A_kl ^k ⊗ ^l) · _j ＝ (_i · ^k) A_kl (^l · _j)

Oder mit 1 ＝ (_i · ^k) ⁱ ⊗ _k ＝ (_j · ^l) ^j ⊗ _l:

A ＝ 1 · A · 1⊤	＝	(i · k) (i ⊗ k) · Amn (m ⊗ n) · (j · l) (l ⊗ j)
	＝	(i · k) Akl (j · l) (i ⊗ j)
	＝	Ãij i ⊗ j

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ

Definition für einen Tensor A ∈ 𝓛:

⟨, ⟩ :＝ · A · ＝ A : ( ⊗ )

Zwei Tensoren A und B sind identisch, wenn

· A · ＝ · B ·  für alle , ∈ 𝕍

Definition:

cof(A) ＝ A^⊤· A^⊤− I₁(A) A^⊤+ I₂(A) 1 ＝ adj(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(cof(A)) ＝ I₂(A)

I₂(cof(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(cof(A)) ＝ det(A)²

#Betrags­quadrat:

∥cof(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Vektorinvariante

(cof(A)) ＝ A · (A)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat cof(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A^⊤.

Transponierter Tensor und Kofaktor kommutieren:

cof(A) · A^⊤= A^⊤· cof(A) ＝ det(A) 1

C ＝ cof(A · B) → C · B^⊤ · A^⊤ ＝ B^⊤ · A^⊤ · C ＝ A^⊤ · C · B^⊤ ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

cof(x A) ＝ x² cof(A)

det(A) ≠ 0 → cof(A) ＝ det(A) A^⊤−1

cof(A · B) ＝ cof(A) · cof(B)

cof(A^⊤) ＝ cof(A)^⊤

cof(cof(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann gilt:

cof(A) ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)

cof(Aij êi ⊗ êj) ＝ ϵijk êk ⊗ (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A23 A31 − A33 A21	A21 A32 − A31 A22
	A32 A13 − A12 A33	A33 A11 − A13 A31	A31 A12 − A11 A32
	A12 A23 − A22 A13	A13 A21 − A23 A11	A11 A22 − A21 A12

Kofaktor und #Äußeres Tensorprodukt:

cof(A) ＝ A # A

cof(A + B) ＝ cof(A) + cof(B) + A # B

#Kreuzprodukt von Vektoren und Kofaktor:

(A · ) × (A · ) ＝ cof(A) · ( × )

Definition:

adj(A) ＝ A · A − I₁(A) A + I₂(A) 1 ＝ cof(A)^⊤

#Hauptinvarianten:

I₁(adj(A)) ＝ I₂(A)

I₂(adj(A)) ＝ I₁(A) det(A)

det(adj(A)) ＝ det(A)²

#Betrags­quadrat:

∥adj(A)∥² ＝ I₂(A^⊤ · A) ＝ (∥A∥⁴ − ∥A^⊤ · A∥²)

#Eigensystem:

Wenn λ_1,2,3 die #Eigenwerte des Tensors A sind, dann hat adj(A) die Eigenwerte λ₂ λ₃, λ₃ λ₁, λ₁ λ₂, und hat dieselben Eigenvektoren wie A.

Tensor und Adjunkte kommutieren:

adj(A) · A ＝ A · adj(A) ＝ det(A) 1

C ＝ adj(A · B) → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ det(A · B) 1

Weitere Eigenschaften:

adj(x A) ＝ x² adj(A)

det(A) ≠ 0 → adj(A) ＝ det(A) A⁻¹

adj(A · B) ＝ adj(B) · adj(A)

adj(A^⊤) ＝ adj(A)^⊤

adj(adj(A)) ＝ det(A) A

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann ist:

adj(A) ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)^⊤

adj(Aij êi ⊗ êj) ＝ ϵijk (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ⊗ êk ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A32 A13 − A12 A33	A12 A23 − A22 A13
	A23 A31 − A33 A21	A33 A11 − A13 A31	A13 A21 − A23 A11
	A21 A32 − A31 A22	A31 A12 − A11 A32	A11 A22 − A21 A12

Definition für A ∈ 𝓛 , |A| ＝ det(A) ＝ I₃(A) ≠ 0:

A⁻¹: A · A⁻¹ ＝ 1

Tensor und Inverse kommutieren:

A⁻¹ · A ＝ A · A⁻¹ ＝ 1

A · B · C ＝ 1 → A · B · C ＝ B · C · A ＝ C · A · B ＝ 1

#Hauptinvarianten

I₁(A⁻¹) ＝ I₂(A)

I₂(A⁻¹) ＝ I₁(A)

I₃(A⁻¹) ＝

#Betrag:

${\displaystyle \|\mathbf {A} ^{-1}\|=\left|{\frac {\sqrt {{\mathsf {I}}_{2}(\mathbf {A^{\top }\cdot A} )}}{\det(\mathbf {A} )}}\right|=\left|{\frac {\sqrt {\|\mathbf {A} \|^{4}-\|\mathbf {A^{\top }\cdot A} \|^{2}}}{{\sqrt {2}}\det(\mathbf {A} )}}\right|}$

#Vektorinvariante

(A⁻¹) ＝ − A · (A)

Weitere Eigenschaften:

(A⁻¹)⁻¹ ＝ A

(A^⊤)⁻¹ ＝ (A⁻¹)^⊤= A^⊤−1 ＝ A^−⊤

(x A)⁻¹ ＝ A⁻¹

(A · B)⁻¹ ＝ B⁻¹ · A⁻¹

(A · B)^⊤−1 ＝ A^⊤−1 · B^⊤−1

#Eigensystem: Die Inverse von A hat dieselben Eigenvektoren wie A aber die reziproken Eigenwerte.

Zusammenhang mit der #Adjunkten adj(A) und #Kofaktor cof(A):

A⁻¹ ＝ adj(A) ＝ cof(A)^⊤

(Aij êi ⊗ êj) −1 ＝ ϵijk (Ai2 Aj3 ê1 + Ai3 Aj1 ê2 + Ai1 Aj2 ê3) ⊗ êk ＝ …
… ＝	A22 A33 − A32 A23	A32 A13 − A12 A33	A12 A23 − A22 A13
	A23 A31 − A33 A21	A33 A11 − A13 A31	A13 A21 − A23 A11
	A21 A32 − A31 A22	A31 A12 − A11 A32	A11 A22 − A21 A12

Werden die Spalten von A mit Vektoren bezeichnet,

also A ＝ (_1 2 3), dann ist:

A⁻¹ ＝ (^1 2 3)^⊤ ＝ (₂ × _3 3 × _1 1 × ₂)^⊤

Satz von Cayley-Hamilton:

A⁻¹ ＝ [A² − I₁(A) A + I₂(A) 1]

#Äußeres Tensorprodukt und Inverse einer Summe:

(A + B)⁻¹ ＝ det(A + B)⁻¹ [adj(A) + adj(B) + (A # B)^⊤]

• (a 1 + ⊗ )−1 ＝	1	(g 1 − ⊗ ), mit g ＝ a + ·
	a g

• (a 1 + ⊗ + ⊗ )−1 ＝	1	[z 1 + ⊗ (f + x ) + ⊗ (y + g )]
	a z

mit f ＝ a + · , g ＝ a + · , x ＝ − · , y ＝ − · , z ＝ x y − f g

• (_i ⊗ _i)⁻¹ ＝ ⁱ ⊗ ⁱ

Satz von Cayley-Hamilton:

A³ ＝ I₁(A) A² − I₂(A) A + I₃(A) 1

worin I_1,2,3 die drei #Hauptinvarianten sind.

Rivlins Theorem:

A · (B · C + C · B) + B · (C · A + A · C) + C · (A · B + B · A)

＝

Sp(A) (B · C + C · B) + Sp(B) (C · A + A · C) + Sp(C) (A · B + B · A)

+ [Sp(B · C) − Sp(B) Sp(C)] A + [Sp(C · A) − Sp(C) Sp(A)] B

+ [Sp(A · B) − Sp(A) Sp(B)] C

+ [Sp(A) Sp(B) Sp(C) + Sp(A · B · C) + Sp(C · B · A)

− Sp(A) Sp(B · C) − Sp(B) Sp(C · A) − Sp(C) Sp(A · B)] 1

Es werden nur diagonalisierbare Tensoren betrachtet.

Gegeben:

A ∈ 𝓛

Eigenwertproblem:

A · ＝ λ ,  · A ＝ A^⊤ · ＝ λ , , ∈ 𝕍 \ {}

mit Eigenwert λ, Rechtseigenvektor und Linkseigenvektor .

Charakteristische Gleichung

det(A − λ 1) ＝ −λ³ + I₁(A) λ² − I₂(A) λ + I₃(A) ＝ 0

Lösung siehe Cardanische Formeln. Die Koeffizienten sind die #Hauptinvarianten:

I₁(A) :＝ Sp(A) ＝ λ₁ + λ₂ + λ₃

I₂(A) :＝ [I₁(A)² − I₁(A²)] ＝ λ₁ λ₂ + λ₂ λ₃ + λ₃ λ₁

I₃(A) :＝ det(A) ＝ λ₁ λ₂ λ₃

Spezialfälle:

det( ⊗ − λ 1) ＝ λ² ( · − λ) ＝ −λ³ + ( · ) λ²

det( ⊗ + ⊗ − λ 1) ＝ …

＝ λ [( · ) ( · ) − ( · − λ) ( · − λ)]

＝ −λ3 + [­ · + · ] λ2 + [( · ) ( · ) − ( · ) ( · )] λ

Rechts- und Linkseigenvektoren bzw. sind nur bis auf einen Faktor ≠ 0 bestimmt. Der Nullvektor ist kein Eigenvektor. Die Rechts- und Linkseigenvektoren werden dual zueinander normiert: · ＝ 1.

Zu verschiedenden Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich A und 1 orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → _i · A · _j ＝ _j · A · _i ＝ _i · _j ＝ _j · _i ＝ 0

Bestimmungsgleichung: (A − λ 1) · ＝ , (A^⊤ − λ 1) · ＝

Tensor A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j:

	A11 − λ	A12	A13	·	u1	＝	0
	A21	A22 − λ	A23		u2		0
	A31	A32	A33 − λ		u2		0

Bestimmung mit gegebenem/angenommenem u₁:

	A12	A13	·	u2 u3	＝ u1	λ − A11
	A22 − λ	A23				−A21
	A32	A33 − λ				−A31

Geometrische Vielfachheit 1:

u2 ＝ u1	(λ − A33) A21 + A23 A31
	(A22 − λ) (A33 − λ) − A23 A32

u3 ＝ u1	(λ − A22) A31 + A32 A21
	(A22 − λ) (A33 − λ) − A23 A32

Geometrische Vielfachheit 2 mit gegebenen/angenommenen u_1,2:

	A13	u3 ＝ −u1	A11 − λ	− u2	A12
	A23		A21		A22 − λ
	A33 − λ		A31		A32

Die Formeln bleiben richtig, wenn die Indizes {1, 2, 3} zyklisch vertauscht werden. Für die Linkseigenvektoren werden alle Indizes vertauscht: A_ik ↔ A_ki.

Symmetrische Tensoren

Für das Betragsquadrat der Komponenten ${\displaystyle u_{ij}}$ der auf Betrag 1 normierten Eigenvektoren ${\displaystyle \mathbf {u} _{i}}$ des (komplexen) Tensors A ∈ ℂ^n×n gilt mit dessen Eigenwerten ${\displaystyle \lambda _{i}}$ und den Eigenwerten ${\displaystyle \mu _{jk}}$ der Hauptuntermatrizen von A:^[1]

${\displaystyle |u_{ij}|^{2}\prod _{k=1;k\neq i}^{n}{\big (}\lambda _{i}-\lambda _{k}{\big )}=\prod _{k=1}^{n-1}{\big (}\lambda _{i}-\mu _{jk}{\big )}}$

Gegeben A ∈ 𝓛  mit  A ＝ A^⊤

#Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte oder orthogonalisierbare Eigenvektoren. Die Rechts- und Linkseigenvektoren stimmen überein.

#Spektralzerlegung mit Eigenwerten λ_i und Eigenvektoren â_i des symmetrischen Tensors A:

A	＝ λi âi ⊗ âi ＝ (âj ⊗ êj) · λi êi ⊗ êi · (êk ⊗ âk)
	＝ (â1 â2 â3) · · (â1 â2 â3)⊤
1	＝ âj ⊗ âj ＝ (âj ⊗ êj) · (êk ⊗ âk) ＝ (â1 â2 â3) · (â1 â2 â3)⊤

bzw.

(â₁ â₂ â₃)^⊤ · A · (â₁ â₂ â₃) ＝

Gegeben A ∈ 𝓛  mit A^⊤ ＝ −A

#Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe Eigenwerte ohne Realteil.

Spektralzerlegung:

A = i a (û₂ ⊗ û₃ − û₃ ⊗ û₂)

1 ＝ â ⊗ â + û₂ ⊗ û₃ + û₃ ⊗ û₂

mit:

#Dualer axialer Vektor:	A× ＝: a â, a :＝ │A×│
Eigenwerte:	λ1 ＝ 0, λ2,3 ＝ ±i a
Rechtseigenvektoren:	û1 ＝ â, û2,3 ＝ (ŵ ± i ŵ × â)
	ŵ ∈ 𝕍 \ beliebig, solange ŵ · A× ＝ 0
Linkseigenvektoren:	${\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}}$1,2,3 ＝ û1,2,3

Gegeben a, b, c ∈ ℝ, eine Basis _1,2,3 von 𝕍 und die dazu duale Basis ^1,2,3, siehe #Basis und duale Basis.

Gegeben A ＝ a ₁ ⊗ ¹ + b ₂ ⊗ ² + c ₃ ⊗ ³ ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ1 ＝ a, λ2 ＝ b, λ3 ＝ c
Rechtseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2 ＝ 2, 3 ＝ 3
Linkseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2 ＝ 2, 3 ＝ 3

Gegeben A ＝ c ₁ ⊗ ¹ + a (₂ ⊗ ² + ₃ ⊗ ³) + b (₂ ⊗ ³ − ₃ ⊗ ²) ∈ 𝓛

Eigenwerte:	λ1 ＝ c, λ2,3 ＝ a ± i b
Rechtseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2,3 ＝ (2 ± i 3)
Linkseigenvektoren:	1 ＝ 1, 2,3 ＝ (2 ∓ i 3)

Gegeben K, M ∈ 𝓛, M regulär.

Verallgemeinertes Eigenwertproblem:

(K − λ M) · ＝  und  · (K − λ M) ＝ , , ∈ 𝕍 \ {}

Alternativ : K · ＝ λ M ·  und K^⊤ · ＝ λ M^⊤ ·

Charakteristisches Polynom:

p(λ) ＝ |K − λ M|

Eigenwerte λ sind Lösungen von p(λ) ＝ 0.

Zu verschiedenden Eigenwerten gehörende Eigenvektoren sind bezüglich K und M orthogonal zueinander:

λ_i ≠ λ_j → _i · K · _j ＝ _i · M · _j ＝ _j · K · _i ＝ _j · M · _i ＝ 0

Weiteres siehe #Spektralzerlegung.

Die #Eigenwerte λ₁, λ₂, λ₃ sind Invarianten.

#Spur:	I1(A), Sp(A)
#Zweite Hauptinvariante:	I2(A)
#Determinante:	I3(A), det(A), |A|

Die Hauptinvarianten des Tensors A sind die Koeffizienten seines charakteristischen Polynoms, siehe #Eigenwerte.

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

Sp( ⊗ ) :＝ ·

Linearität: x, y ∈ ℝ → Sp(x A + y B) ＝ x Sp(A) + y Sp(B)

Sp(A) ＝ Sp(A^⊤)

Sp(A · B) ＝ Sp(B · A)

Sp(A^⊤· B) ＝ Sp(A · B^⊤) ＝: A : B

Sp(A · B · C) ＝ Sp(B · C · A) ＝ Sp(C · A · B)

Sp(A) ＝ A : 1 ＝ (A # 1) : 1 ＝ λ₁ + λ₂ + λ₃

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

Sp(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A_ii ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

Sp(A^ij _i ⊗ _j) ＝ A^ij _i · _j

Sp(Aⁱ_{j i} ⊗ ^j) ＝ Aⁱ_i

Sp(A_i^{j i} ⊗ _j) ＝ A_iⁱ

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

I₂(A) :＝ [Sp(A)² − Sp(A²)]

I₂(A) ＝ Sp(cof(A)) ＝ Sp(adj(A))

I₂(x A) ＝ x² I₂(A)

I₂(A^⊤) ＝ I₂(A)

I₂(A · B) ＝ I₂(B · A)

I₂(A · B · C) ＝ I₂(B · C · A) ＝ I₂(C · A · B)

I₂(A + B) ＝ I₂(A) + I₂(B) + Sp(A) Sp(B) − Sp(A · B)

I₂( ⊗ + ⊗ ) ＝ ( · ) ( · ) − ( · ) ( · )

I₂(A) ＝ (A # A) : 1 ＝ λ₁ λ₂ + λ₂ λ₃ + λ₃ λ₁

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

I2(Aij êi ⊗ êj)	＝	(Aii Ajj − Aij Aji)
	＝	A11 A22 + A11 A33 + A22 A33 − A12 A21 − A13 A31 − A23 A32

I₂(A^ij _i ⊗ _j) ＝ A^ij A^kl [(_i · _j) (_k · _l) − (_i · _l) (_k · _j)]

I₂(Aⁱ_{j i} ⊗ ^j) ＝ (Aⁱ_i A^j_j − Aⁱ_j A^j_i)

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

I3(A) ＝ det(A) ＝ |A|	＝	(A · ê1) · [(A · ê2) × (A · ê3)]
	＝	(A · ) · [(A · ) × (A · )]
		[­ · ( × )]

für alle linear unabhängigen , , ∈ 𝕍

det(A^⊤) ＝ det(A)

det(x A) ＝ x³ det(A)

det(A · B) ＝ det(B · A) ＝ det(A) det(B)

det(A · B · C) ＝ det(B · C · A) ＝ det(C · A · B)

det(A) ≠ 0 → det(A⁻¹) ＝ det(A)⁻¹

det(A) ＝ (A # A) : A ＝ cof(A) : A ＝ λ₁ λ₂ λ₃

mit #Eigenwerten λ_1,2,3 von A.

In Komponenten:

det(Aij êi ⊗ êj)	＝	ϵijk Ai1 Aj2 Ak3 ＝	A11	A12	A13
			A21	A22	A23
			A31	A32	A33

	＝	A11 (A22 A33 − A23 A32) + A12 (A23 A31 − A21 A33)
		+ A13 (A21 A32 − A22 A31)

det(A^ij _i ⊗ _j) ＝ ϵ_ijk Aⁱ¹ A^j2 A^k3  |_1 2 3| |_1 2 3|

det(Aⁱ_{j i} ⊗ ^j) ＝ ϵ_ijk Aⁱ₁ A^j₂ A^k₃

det(A)	＝		[Sp(A)3 − 3 Sp(A) Sp(A2) + 2 Sp(A3)]
	＝		[Sp(A3) + 3 Sp(A) I2(A) − Sp(A)3]

det(A + B)	＝	det(A) + det(B) + Sp(A) I2(B) + I2(A) Sp(B)
		+ Sp(A · B · (A + B)) − Sp(A · B) Sp(A + B)
	＝	det(A) + cof(A) : B + A : cof(B) + det(B)

Spezialfälle:

│a 1 + ⊗ │ ＝ a² (a + · )

│a 1 + ⊗ + ⊗ │ ＝ a [(a + · ) (a + · ) − ( · ) ( · )]

Abbildung 𝓛 ↦ ℝ

∥ ⊗ ∥ ＝ ││ ││

∥A∥² :＝ A : A ＝ Sp(A^⊤ · A) ＝ Sp(A · A^⊤)

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ A_ij A_ij

∥ A^ij _i ⊗ _j∥² ＝ A^ijA^kl (_i · _k) (_j · _l)

∥Aⁱ_{j i} ⊗ ^j∥² ＝ Aⁱ_j A^k_l (_i · _k) (^j · ^l)

Falls A ＝ A^⊤ symmetrisch mit #Eigenwerten λ_1,2,3:

∥A∥² ＝ Sp(A)² − 2 I₂(A) ＝ Sp(A²) ＝ λ₁² + λ₂² + λ₃²

Falls A ＝ −A^⊤ schiefsymmetrisch mit #Eigenwerten (0, i ζ, −i ζ):

∥A∥² ＝ 2 I₂(A) ＝ −Sp(A²) ＝ 2 ζ²

Abbildung 𝓛 ↦ 𝕍

Gegeben #Schiefsymmetrische Tensoren A ＝ −A^⊤. Dann gibt es einen dualen axialen Vektor A_× für den gilt:

A · ＝ A_× ×  für alle  ∈ 𝕍

A_× :＝ − (A) ＝ − A × 1 ＝ − A ·× 1 ＝ − ϵ : A

(Aij êi ⊗ êj)× ＝ − Aij êi × êj ＝ − ϵijk Aij êk ＝	A32
	A13
	A21

Mit x ∈ ℝ, ∈ 𝕍, F ∈ 𝓛 und einem anderen
schiefsymmetrischen Tensor B ∈ 𝓛 gilt:

(A^⊤)_× ＝ −A_×

(A + B)_× ＝ A_× + B_×

(x A)_× ＝ x A_×

A · A_× = A^⊤ · A_× ＝ A_× · A ＝

( × 1)_× ＝

(F · A · F^⊤)_× ＝ cof(F) · A_×

Abbildung 𝓛 ↦ 𝕍

( ⊗ ) :＝ ×

(A) ＝ A ·× 1 ＝ A × 1 ＝ ϵ : A

(Aij êi ⊗ êj) ＝ Aij êi × êj ＝ ϵijk Aij êk ＝	A23 − A32
	A31 − A13
	A12 − A21

(A^ij (_i ⊗ _j)) ＝ A^ij _i × _j

(A · B) ＝ A ·× B ＝ A × (B^⊤)

#Symmetrische Tensoren haben keine Vektorinvariante: (A^S) ＝

Mit einer beliebigen Zahl x, beliebigen Vektoren sowie und
beliebigen Tensoren A, B ∈ 𝓛 gilt:

( ⊗ ) ＝ ×

(A^⊤) ＝ −(A)

(A + B) ＝ (A) + (B)

(x A) ＝ x (A)

(A) × ＝ (A^⊤ − A) ·

(A # B) ＝ A · (B) + B · (A)

A · (A) ＝ A^⊤ · (A) ＝ A^S · (A)

(A) · A · (A) ＝ 4 [det(A) − det(A^S)]

( × A) ＝ [A − Sp(A) 1] · ＝ −(A^⊤ # 1) ·

( × 1) ＝ −2

([­ × ] × A) ＝ · A × − · A ×

(B · A · B^⊤) ＝ cof(B) · (A)

1 ＝ êi ⊗ êi ＝ δij êi ⊗ êj ＝	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

1 ＝ _i ⊗ ⁱ ＝ ⁱ ⊗ _i ＝ g^ij _i ⊗ _j ＝ g_ij ⁱ ⊗ ^j

mit g_ij ＝ _i · _j,  g^ij ＝ ⁱ · ^j

Eine #Basis und duale Basis liefern die allgemeine Darstellung:

1 ＝ (ⁱ · ^j) _i ⊗ _j

Mit #Permutationssymbol:

1 ＝ ϵ_ijk ê_i ⊗ ê_j × ê_k ＝ ϵ_ijk ê_i × ê_j ⊗ ê_k

#Kofaktor: cof(1) ＝ 1

#Transposition und #Inverse:

1 ＝ 1^⊤= 1⁻¹ ＝ 1^⊤−1

Vektortransformation

1 · ＝ · 1 ＝

Tensorprodukt

A · 1 ＝ 1 · A ＝ A

Skalarprodukt

A : 1 ＝ Sp(A)

1 : 1 ＝ Sp(1) ＝ 3

#Hauptinvarianten:

Sp(1) ＝ 3

I₂(1) ＝ 3

det(1) ＝ 1

#Betrag: ∥1∥ ＝

#Eigenwerte:

λ_1,2,3 ＝ 1

Alle Vektoren ∈ 𝕍 \ {} sind #Eigenvektoren.

Definition:

, ∈ 𝕍: A ＝ ⊗ ∈ 𝓛

#Kofaktor: cof(A) ＝ O

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ ·

I₂(A) ＝ 0

det(A) ＝ 0

#Betrag: ∥A∥ ＝ || ||

#Vektorinvariante: (A) ＝ ×

#Eigensystem:

Mit zwei nicht kollinearen aber zu senkrechten Vektoren und :

Eigenwerte:	λ1 ＝ · , λ2 ＝ λ3 ＝ 0
Rechtseigenvektoren:	1 ＝ , 2 ＝ , 3 ＝
Linkseigenvektoren:	(1 2 3) ＝ (1 2 3) ＝ (  )⊤−1
#Spektralzerlegung:		1 ＝ i ⊗ i
		A ＝ ( · ) 1 ⊗ 1 ＝	·	⊗ ×
			· ( × )

#Polarzerlegung:

Gegeben ein beliebiger #Orthogonaler Tensor Q, sodass

Q · ĝ ＝ â

wobei ＝ a â und ＝ g ĝ.

Dann ist

⊗ ＝ Q · U ＝ V · Q mit U ＝ a g ĝ ⊗ ĝ, V ＝ a g â ⊗ â

#Singulärwertzerlegung:

Mit ＝ c ĉ sind W :＝ (ĝ ĉ ĝ × ĉ) und Q · W orthogonal.

Mit Singulärwert s ＝ a g sowie S ＝ s ê₁ ⊗ ê₁ ist U ＝ W · S · W^⊤ und

⊗ ＝ (Q · W) · S · W^⊤

Jeder Tensor in 𝓛 kann als Summe dreier Dyaden dargestellt werden.

#Einheitstensor: 1 ＝ ê_k ⊗ ê_k ＝ ĉ_k ⊗ ĉ_k ＝ _k ⊗ ^k

Allgemein:

A	＝ A · 1	＝ (A · êk) ⊗ êk	＝ (A · ĉk) ⊗ ĉk	＝ (A · k) ⊗ k
	＝ 1 · A	＝ êk ⊗ (A⊤ · êk)	＝ ĉk ⊗ (A⊤ · ĉk)	＝ k ⊗ (A⊤ · k)

#Orthogonale Tensoren und #Orthonormalbasis:

ĉ_j · ĉ_k ＝ ĝ_j · ĝ_k ＝ δ_jk ↔ ĉ_k ⊗ ĝ_k, ĝ_k ⊗ ĉ_k ∈ O(3)

Definition:

H ∈ 𝓛: det(H) ＝ 1

#Kofaktor: cof(H) ＝ H^⊤−1

Determinantenproduktsatz:

det(A · H) ＝ det(H · A) ＝ det(A)

Repräsentieren Drehungen und Drehspiegelungen.

Definition:

Q ∈ 𝓛: Q⁻¹ ＝ Q^⊤ oder Q · Q^⊤= Q^⊤· Q ＝ 1

#Kofaktor: cof(Q) ＝ det(Q) Q ＝ ±Q

#Hauptinvarianten (α ist der Drehwinkel):

Sp(Q) ＝ det(Q) + 2 cos(α)

I₂(Q) ＝ 1 + 2 det(Q) cos(α)

det(Q) ＝		+1: eigentlich orthogonaler Tensor,	Q ∈ SO(3)
		−1: uneigentlich orthogonaler Tensor,	Q ∈ O(3)

#Betrag : ∥Q∥ ＝

#Vektorinvariante ist proportional zur Dreh(spiegel)achse ĉ:

(Q) ＝ −2 sin(α) ĉ

Q · ĉ ＝ det(Q) ĉ ＝ ±ĉ

#Spatprodukt von Vektoren:

(Q · ) · [(Q · ) × (Q · )] ＝ det(Q) · ( × )

#Kreuzprodukt von Vektoren und #Kofaktor:

(Q · ) × (Q · ) ＝ det(Q) Q · ( × )

Drehung von Vektorraumbasis _1,2,3 nach _1,2,3:

Q ＝ _i ⊗ ⁱ ＝ ⁱ ⊗ _i ↔ Q · _i ＝ _i , Q · ⁱ ＝ ⁱ

(Q) ＝ _i × ⁱ ＝ ⁱ × _i

Formulierung mit einem Drehvektor

Drehvektor  :＝ a ĉ

Q	＝ σ 1 + p ( × 1) + q ( × 1)2
	＝ σ 1 + p ( × 1) + q [­ ⊗ − ( · ) 1]

Sp(Q)	＝ 3 σ − 2 a2 q	＝ σ + 2 cos(α)
I2(Q)	＝ 3 − 2 σ a2 q	＝ 1 + 2 σ cos(α)
det(Q)	＝ σ	＝ ±1
(Q)	＝ −2 a p ĉ	＝ −2 sin(α) ĉ

mit Parametern a, p sowie q aus der Tabelle bei gegebenem σ und Drehwinkel α.

a	p	q für σ ＝ +1	q für σ ＝ −1	Bezug/Kommentar
1	sin(α)	1 − cos(α)	−1 − cos(α)	Rodrigues-Formel
sin(α)	1	1 / [cos(α) + 1]	1 / [cos(α) − 1]	Kreuzprodukt s. u.
sin(α/2)	2 cos(α/2)	2	−2 / tan(α/2)2	Quaternionen
cos(α)	tan(α)	(1 − a) / a2	−(1 + a) / a2
cos(α/2)	2 sin(α/2)	2 tan(α/2)2	−2
tan(α)	cos(α)	p2 / (p + 1)	p2 / (p − 1)
tan(α/2)	2 / (1 + a2)		−2 / [a2 (1 + a2)]	a2 ＝ ·

Kreuzprodukt

Drehung eines Einheitsvektors â in den gleichlangen Vektor û mittels des Drehtensors gemäß der Tabelle zu den Parametern

a ＝ sin(α),  ＝ sin(α) ĉ ＝ â × û, cos(α) ＝ â · û

Mit a ＝ 1,  ＝ ĉ ＝ (c₁ c₂ c₃)^⊤ und σ ＝ +1 ergibt sich die Rodrigues-Formel:

Q	＝ 1 + sα ĉ × 1 + dα (ĉ × 1)2 ＝ 1 + sα ĉ × 1 + dα (ĉ ⊗ ĉ − 1)
	＝	cα + dα c12	−sα c3 + dα c1 c2	sα c2 + dα c1 c3
		sα c3 + dα c1 c2	cα + dα c22	−sα c1 + dα c2 c3
		−sα c2 + dα c1 c3	sα c1 + dα c2 c3	cα + dα c32

worin c_α ＝ cos(α), d_α ＝ 1 − cos(α), s_α ＝ sin(α).

Euler-Rodrigues-Formel mit a, b, c, d ∈ ℝ: a² + b² + c² + d² ＝ 1.

Q ＝	a2 + b2 − c2 − d2	2(bc − ad)	2(bd + ac)
	2(bc + ad)	a2 − b2 + c2 − d2	2(cd − ab)
	2(bd − ac)	2(cd + ab)	a2 − b2 − c2 + d2

entspricht Rodrigues-Formel wenn

a ＝ cos(α/2), (b c d) ＝ sin(α/2) (c₁ c₂ c₃)

Gegeben eine rechtshändige #Orthonormalbasis ĉ_1,2,3 mit ĉ₁ ＝ ĉ. Dann besitzt Q die Darstellung

Q ＝ σ ĉ₁ ⊗ ĉ₁ + cos(α) (ĉ₂ ⊗ ĉ₂ + ĉ₃ ⊗ ĉ₃) + sin(α) (ĉ₃ ⊗ ĉ₂ − ĉ₂ ⊗ ĉ₃)

＝	σ	0	0		ĉi ⊗ ĉj
	0	cos(α)	−sin(α)
	0	sin(α)	cos(α)

#Eigensystem:

λ1 ＝ σ,	1 ＝ ĉ ＝ ĉ1
λ2,3 ＝ e±i α,	2,3 ＝ (ĉ2 ∓ i ĉ3)

Drehwinkel:

cos(α) ＝ [Sp(Q) − σ]

#Dyadentripel mit Spaltenvektoren ŝ_i und Zeilenvektoren ẑ_i:

Q ＝ ŝ_i ⊗ ê_i ＝ ê_i ⊗ ẑ_i  →  ŝ_i × ê_i ＝ ê_i × ẑ_i ＝ −2 sin(α) ĉ

Q − Q⊤ ＝ 2 sin(α) ĉ × 1 ＝ 2 sin(α)	0	−c3	c2	, |ĉ| ＝ 1
	c3	0	−c1
	−c2	c1	0

Mit einem beliebigen orthogonalen Tensor R ∈ O(3) lauten mögliche #Singulärwertzerlegungen

Q ＝ U · S · V^⊤

mit U ＝ Q · R, V ＝ R, S ＝ 1

Definition:

A ∈ 𝓛:  · A · > 0 für alle ∈ 𝕍 \ {}

A ist genau dann positiv definit, wenn sein #Symmetrischer Anteil A^S es ist
(wegen · A · ＝ · A^S · .)

Notwendige Bedingungen für positive Definitheit:

det(A), det(A^S) > 0

A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j  →  A₁₁, A₂₂, A₃₃ > 0

A ＝ Aⁱ_{j i} ⊗ ^j  →  A¹₁, A²₂, A³₃ > 0

Notwendige und hinreichende Bedingung für positive Definitheit: Alle #Eigenwerte von A^S sind größer als null.

Immer positiv definit falls det(A) ≠ 0: A · A^⊤ und A^⊤· A

Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ A^⊤

Bezüglich der Standardbasis:

Aij êi ⊗ êj ＝	A11	A12	A13
	A12	A22	A23
	A13	A23	A33

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ A² − Sp(A) A + I₂(A) 1

#Hauptinvarianten:

Sp(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I₂(A) ＝ [Sp(A)² − Sp(A²)] ＝ [Sp(A)² − ∥A∥²]

I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₁ A₂₂ + A₁₁ A₃₃ + A₂₂ A₃₃ − A₁₂² − A₁₃² − A₂₃²

det(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ (A₁₁ A₂₂ − A₁₂²) A₃₃ − A₁₁ A₂₃² − A₁₃² A₂₂ + 2 A₁₂ A₁₃ A₂₃

#Betrags­quadrat:

∥A∥² ＝ Sp(A)² − 2 I₂(A) ＝ Sp(A²) ＝ λ₁² + λ₂² + λ₃²

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ A₁₁² + A₂₂² + A₃₃² + 2 A₁₂² + 2 A₁₃² + 2 A₂₃²

#Vektorinvariante: (A) ＝

Alle #Eigenwerte λ_1,2,3 sind reell. Alle #Eigenvektoren sind reell und paarweise orthogonal zueinander oder orthogonalisierbar. Die Links- und Rechtseigenvektoren stimmen überein.

Bilinearform:

· A · ＝ · A ·  für alle , ∈ 𝕍

Mit den #Eigenvektoren â_1,2,3 und der #Spektralzerlegung eines symmetrischen Tensors

A ＝ λ_i â_i ⊗ â_i

sowie einer reellwertigen Funktion eines reellen Arguments

f: ℝ ↦ ℝ

wird der Funktionswert von A definiert:

f(A) :＝ f(λ_i) â_i ⊗ â_i

Ist f eine mehrdeutige Funktion, wie die Wurzel (Mathematik), mit n alternativen Werten, dann steht f(A) mehrdeutig für n³ alternative Tensoren.

Insbesondere mit dem Deformationsgradient F:

Rechter Strecktensor

U ＝ (F^⊤ · F)^½

Linker Strecktensor

V ＝ (F · F^⊤)^½

Henky-Dehnung

E_H ＝ ln(U) ＝ ln(F^⊤ · F)

Symmetrische Tensoren A ∈ 𝓛 haben reelle #Eigenwerte λ_1,2,3 und dazugehörige #Eigenvektoren û_1,2,3, aus denen sich eine #Orthonormalbasis bilden lässt, was hier benutzt wird.

Singulärwerte:

s₁ ＝ |λ₁| ≥ s₂ ＝ |λ₂| ≥ s₃ ＝ |λ₃| ≥ 0 nach geeigneter Nummerierung der Eigenwerte

S ＝ diag(s₁, s₂, s₃)

Modalmatrizen:

U ＝ (û₁ û₂ û₃) mit den zu λ_1,2,3 gehörenden Eigenvektoren

V ＝ (sgn(λ₁) û₁ sgn(λ₂) û₂ sgn(λ₃) û₃)

#Singulärwertzerlegung: A ＝ U · S · V^⊤

In diesem Abschnitt bedeutet […] die voigtsche Notation.

Die symmetrischen Tensoren

S₁ ＝ ê₁ ⊗ ê₁

S₂ ＝ ê₂ ⊗ ê₂

S₃ ＝ ê₃ ⊗ ê₃

S₄ ＝ ê₂ ⊗ ê₃ + ê₃ ⊗ ê₂

S₅ ＝ ê₁ ⊗ ê₃ + ê₃ ⊗ ê₁

S₆ ＝ ê₁ ⊗ ê₂ + ê₂ ⊗ ê₁

bilden eine Basis im Vektorraum Sym(𝕍,𝕍) der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe. Bezüglich dieser Basis können alle symmetrischen Tensoren zweiter Stufe in voigtscher Notation dargestellt werden:

A ∈ Sym(𝕍,𝕍) ↔ A ＝ Ar Sr ↔ [A] :＝	A1
	A2
	A3
	A4
	A5
	A6

Diese Vektoren dürfen addiert, subtrahiert und mit einem Skalar multipliziert werden:

[A + x B] ＝ [A] + x [B]

Beim Matrizenprodukt in voigtscher Notation muss eine Diagonalmatrix

L ＝ diag(1, 1, 1, 2, 2, 2)

mit den Einträgen L_uv ＝ S_u : S_v zwischengeschaltet werden:

A : B ＝ [A]^⊤L [B] ＝ A₁ B₁ + A₂ B₂ + A₃ B₃ + 2 A₄ B₄ + 2 A₅ B₅ + 2 A₆ B₆

Gegeben ein #symmetrischer Tensor T ∈ 𝓛 und
ein bliebiger Tensor F ＝ F_ij ê_i ⊗ ê_j ∈ 𝓛 . Dann gilt:

[F · T · F^⊤] ＝ R L [T]

mit

R ＝	R1111	R1122	R1133	R1123	R1113	R1112
	R2211	R2222	R2233	R2223	R2213	R2212
	R3311	R3322	R3333	R3323	R3313	R3312
	R2311	R2322	R2333	R2323	R2313	R2312
	R1311	R1322	R1333	R1323	R1313	R1312
	R1211	R1222	R1233	R1223	R1213	R1212

R_ijkl :＝ (F_ik F_jl + F_il F_jk)

Wenn F ein #Orthogonaler Tensor ist, dann ergibt sich zusätzlich:

R L R^⊤= R^⊤L R ＝ diag(1, 1, 1, ½, ½, ½)

Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ −A^⊤

#Dualer axialer Vektor A_×:

A_× ＝ − (A) ↔ A · ＝ A_× ×  für alle  ∈ 𝕍

A ＝ A_× × 1

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ A² − Sp(A²) 1 ＝ A_× ⊗ A_×

Bezüglich der Standardbasis:

Aij êi ⊗ êj ＝	0	A12	A13
	−A12	0	A23
	−A13	−A23	0

(Aij êi ⊗ êj)× ＝	A32	＝	−A23
	A13		A13
	A21		−A12

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ 0

I₂(A) ＝ A_× · A_× ＝ − Sp(A²) ＝ ∥A∥²

I₂(A_ij ê_i ⊗ ê_j) ＝ A₁₂² + A₁₃² + A₂₃²

det(A) ＝ 0

#Betrags­quadrat:

∥A∥² ＝ 2 I₂(A)

∥A_ij ê_i ⊗ ê_j∥² ＝ 2 (A₁₂² + A₁₃² + A₂₃²)

Bilinearform:

· A · ＝ − · A ·  für alle , ∈ 𝕍

· A · ＝ 0 für alle ∈ 𝕍

Ein Eigenwert ist null, zwei imaginär konjugiert komplex, siehe #Eigensystem schiefsymmetrischer Tensoren.

Singulärwertzerlegung mit s ŝ :＝ A_×, s :＝ │A_×│,
ĝ senkrecht zu A_× und ĥ ＝ ŝ × ĝ:

U ＝ (ĝ ĥ ŝ), V ＝ (−ĥ ĝ ŝ), S ＝ diag(s, s, 0)

#Singulärwertzerlegung: A ＝ U · S · V^⊤ ＝ s (ĥ ⊗ ĝ − ĝ ⊗ ĥ)

Kreuzproduktmatrix [­]× ∈ 𝓛 eines Vektors ＝ ui êi ＝	u1	:
	u2
	u3

[­]×	＝ × 1 ＝ (ui êi) × êk ⊗ êk ＝ −ϵijk ui êj ⊗ êk
	＝	0	−u3	u2	∈ 𝓛
		u3	0	−u1
		−u2	u1	0

Eigenschaften:

× ＝ [­]_× · ＝ · [­]_×

([­]_×)^⊤ ＝ −[­]_×

× [­]_× ＝ [­]_× · [­]_× ＝ ⊗ − ( · ) 1

Potenzen von [­]_×:

([­]_×)² ＝ [­]_× · [­]_× ＝ ⊗ − ( · ) 1

([­]_×)³ ＝ −( · ) [­]_×

Weiteres siehe #Schiefsymmetrische Tensoren.

Definition:

A ∈ 𝓛: Sp(A) ＝ 0

#Kofaktor : cof(A) ＝ (A²)^⊤− Sp(A²) 1

Bezüglich der Standardbasis:

Aij êi ⊗ êj ＝	A11	A12	A13
	A21	A22	A23
	A31	A32	−A11 − A22

#Hauptinvarianten:

Sp(A) :＝ 0
I2(A) ＝ − Sp(A2)
I2(Aij êi ⊗ êj) ＝ −A112 − A222 − A11 A22 − A12 A21 − A13 A31 − A23 A32
det(A) ＝ Sp(A3)
det(Aij êi ⊗ êj) ＝	A11 [A12 A21 − A23 A32 − (A11 + A22) A22]
	+ (A12 A22 + A13 A32) A21 + (A12 A23 − A13 A22) A31

#Betrags­quadrat:

∥Aij êi ⊗ êj∥2 ＝	2 (A112 + A222 + A11 A22)
	+ A122 + A212 + A132 + A312 + A232 + A322

Definition:

A ∈ 𝓛: A ＝ a 1 ＝	a	0	0
	0	a	0
	0	0	a

#Kofaktor: cof(A) ＝ adj(A) ＝ a² 1

#Hauptinvarianten:

Sp(A) ＝ 3 a

I₂(A) ＝ 3 a²

det(A) ＝ a³

#Betrag:

∥A∥ ＝ |a|

Gegeben ein beliebiger Tensor A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ∈ 𝓛

A^S ＝ sym(A) :＝ (A + A^⊤)

AS ＝	2 A11	A12 + A21	A13 + A31
		2 A22	A23 + A32
	sym		2 A33

Sp(A^S) ＝ Sp(A) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I2(AS)	＝	[2 I2(A) + Sp(A)2 − ║A║2]
	＝	A11 A22 + A11 A33 + A22 A33
		− [(A12 + A21)2 + (A13 + A31)2 + (A23 + A32)2]

det(AS)	＝	[det(A) + A : adj(A)] ＝ det(A) − (A) · A · (A)
	＝	A11 A22 A33 + (A12 + A21) (A23 + A32) (A13 + A31)
		− [A11 (A23 + A32)2 + A22 (A13 + A31)2 + A33 (A12 + A21)2]

∥AS∥2	＝	[Sp(A2) + ∥A∥2] ＝ A : AS ＝ ∥A∥2 − ∥AA∥2
	＝	A112 + A222 + A332 + [(A12 + A21)2 + (A13 + A31)2 + (A23 + A32)2]

A^A ＝ skw(A) :＝ (A − A^⊤)

AA ＝	0	A12 − A21	A13 − A31
	A21 − A12	0	A23 − A32
	A31 − A13	A32 − A23	0

Sp(A^A) ＝ 0

I2(AA)	＝ [║A║2 − Sp(A2)] ＝ [2 I2(A) + ║A║2 − Sp(A)2]
	＝ [(A12 − A21)2 + (A13 − A31)2 + (A23 − A32)2]

det(A^A) ＝ 0

∥AA∥2	＝	[∥A∥2 − Sp(A2)] ＝ A : AA ＝ ∥A∥2 − ∥AS∥2
	＝	[(A12 − A21)2 + (A13 − A31)2 + (A23 − A32)2]

A^D ＝ dev(A) :＝ A − Sp(A) 1

A^D ＝ ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\mathsf {\frac {2A_{11}-A_{22}-A_{33}}{3}}}&{\mathsf {A_{12}}}&{\mathsf {A_{13}}}\\{\mathsf {A_{21}}}&{\mathsf {\frac {2A_{22}-A_{11}-A_{33}}{3}}}&{\mathsf {A_{23}}}\\{\mathsf {A_{31}}}&{\mathsf {A_{32}}}&{\mathsf {\frac {2A_{33}-A_{11}-A_{22}}{3}}}\end{pmatrix}}}$

Sp(A^D) ＝ 0

I2(AD)	＝	I2(A) − Sp(A)2 ＝ [Sp(A)2 − 3 Sp(A2)]
	＝	(A11 A22 + A11 A33 + A22 A33 − A112 − A222 − A332)
		− A12 A21 − A13 A31 − A23 A32

det(AD)	＝	det(A) + Sp(A) [2 Sp(A)2 − 9 I2(A)]
	＝	[12 A11 A22 A33 + 2 (A113 + A223 + A333)]
		− [A112 (A22 + A33) + A222 (A11 + A33) + A332 (A11 + A22)]
		− [(2 A11 − A22 − A33) A23 A32 + (2 A22 − A11 − A33) A13 A31 …
		… + (2 A33 − A11 − A22) A12 A21] + A12 A23 A31 + A13 A32 A21

∥AD∥2	＝	∥A∥2 − ∥AK∥2 ＝ ∥A∥2 − Sp(A)2
	＝	(A112 + A222 + A332 − A11 A22 − A11 A33 − A22 A33)
		+ A122 + A212 + A132 + A312 + A232 + A322

AK ＝ sph(A) :＝ Sp(A) 1 ＝ Sp(A)	1
		1
			1

Sp(A^K) ＝ Sp(A) ＝ A₁₁ + A₂₂ + A₃₃

I₂(A^K) ＝ Sp(A)²

det(A^K) ＝ Sp(A)³

∥A^K∥ ＝ |Sp(A)|

A ＝ A^S + A^A ＝ A^D + A^K

A^S : B^A ＝ A^K : B^A ＝ A^K : B^D ＝ 0

Folgerungen:

A^S : B ＝ A^S : B^S

A^A : B ＝ A^A : B^A ＝ A^A : B^D

A^D : B ＝ A^D : B^D

A^K : B ＝ A^K : B^K ＝ A^K : B^S

║A║² ＝ ║A^S║² + ║A^A║² ＝ ║A^D║² + ║A^K║²

Für jeden Tensor F ∈ 𝓛 mit #Determinante ≠ 0 gibt es #Orthogonale Tensoren Q und positiv definite #Symmetrische Tensoren U, V in eindeutiger Weise, sodass^[2.1]

F ＝ Q · U ＝ V · Q

Die Anteile U, V und Q berechnet sich aus

U ＝ (F^⊤ · F)^½, V ＝ (F · F^⊤)^½

Q ＝ F · U⁻¹ ＝ V⁻¹ · F ＝ F^⊤−1 · U ＝ V · F^⊤−1

Bei det(F) ＝ 0 existiert eine solche Zerlegung ebenfalls, ist jedoch nicht mehr eindeutig und U sowie V sind nur noch positiv semidefinit, siehe z. B. die #Polarzerlegung einer Dyade.

Singulärwertzerlegung von A ∈ 𝓛:^[2.2]

A ＝ s_i ĝ_i ⊗ ĥ_i

mit

• s_i ＝ ĝ_i · A · ĥ_i ∈ ℝ (keine Summe über i),
• s₁ ≥ s₂ ≥ s₃ ≥ 0 und
• #Orthonormalbasis­vektoren ĝ_1,2,3 sowie ĥ_1,2,3

Bestimmung der Vektoren z. B. mit dem #Eigensystem symmetrischer Tensoren

A · A^⊤ ＝ λ_i ĝ_i ⊗ ĝ_i, A^⊤· A ＝ λ_i ĥ_i ⊗ ĥ_i

Multiplikation einzelner #Eigenvektoren ĝ_k oder ĥ_k mit −1 sowie geeignete Nummerierung der Eigenwerte und -vektoren liefert

s₁ ≥ s₂ ≥ s₃ ≥ 0.

Darstellung mit Matrizen/Tensoren:

A	＝	(ĝj ⊗ êj) · si êi ⊗ êi · (êk ⊗ ĥk)
	＝	(ĝ1 ĝ2 ĝ3)	·		s1	0	0		·	(ĥ1 ĥ2 ĥ3)⊤
					0	s2	0
					0	0	s3
	＝	U	·	S					·	V⊤

Die Faktoren U und V sind eigentlich oder uneigentlich #Orthogonale Tensoren. Spezialfälle siehe

• #Dyade,
• #Singulärwertzerlegung von symmetrischen Tensoren,
• #Schiefsymmetrische Tensoren,
• #Orthogonale Tensoren

Darstellung von Tensoren mit ihrem #Eigensystem.

Es gilt: · A ＝ A^⊤ ·

Im folgenden bedeuten

λ1,2,3	die #Eigenwerte des betreffenden Tensors und
Λ	die Spektralmatrix, Λ ＝ λi êi ⊗ êi ＝

Spektralzerlegung des Paares (A, 1)

1	＝ i ⊗ i	＝ Di	＝ U · V⊤
A	＝ λi i ⊗ i	＝ λi Di	＝ U · Λ · V⊤

mit

Rechtseigenvektoren:	A · i ＝ λi i (keine Summe über i)
Rechtsmodalmatrix:	U ＝ i ⊗ êi ＝ (1 2 3)
Linkseigenvektoren:	i · A ＝ λi i (keine Summe über i)
Linksmodalmatrix:	V ＝ i ⊗ êi ＝ (1 2 3)
Normierung:	i · j ＝ δij → V ＝ U⊤−1, U · V⊤ ＝ 1
Eigendyaden:	Di ＝ i ⊗ i (keine Summe über i)
Kollinearität:	Di · i ＝ i, i · Di ＝ i, Di · Di ＝ Di (keine Summen)
Orthogonalität:	i ≠ j → i · Dj ＝ Dj · i ＝ , Di · Dj ＝ O

Spektralzerlegung des Paares (K, M), M regulär

M	＝	M · i ⊗ i · M	＝	Di	＝ M · U · V⊤ · M
K	＝	λi M · i ⊗ i · M	＝	λi Di	＝ M · U · Λ· V⊤ · M

mit

Rechtseigenvektoren:	K · i ＝ λi M · i (keine Summe über i)
Rechtsmodalmatrix:	U ＝ i ⊗ êi ＝ (1 2 3)
Linkseigenvektoren:	i · K ＝ λi i · M (keine Summe über i)
Linksmodalmatrix:	V ＝ i ⊗ êi ＝ (1 2 3)
Normierung:	i · M · j ＝ δij → V ＝ (M · U)⊤−1, V⊤ · M ＝ U−1
Eigendyaden:	Di ＝ M · i ⊗ i · M (keine Summe über i)
Kollinearität:	Di · i ＝ M · i, i · Di ＝ i · M, Di · M−1 · Di ＝ Di (keine Summen)
Orthogonalität:	i ≠ j → i · Dj ＝ Dj · i ＝ , Di · M−1 · Dj ＝ O

Gegeben eine Gerade 𝔊 durch einen Punkt ∈ 𝔊 und der Einheitsvektor ê in Richtung der Geraden sowie ein beliebiger anderer Punkt . Das definiert die Gerade als:

∈ 𝔊 ↔ (1 − ê ⊗ ê) · ( − ) ＝

Fußpunkt von :	＝ + ê ⊗ ê · ( − )	∈ 𝔊, d. h. − ∥ ê
Lotstrecke:	＝ (1 − ê ⊗ ê) · ( − ) ＝ −	⊥ 𝔊, d. h. ⊥ ê

Gegeben eine Ebene 𝔈 durch einen Punkt in der Ebene (∈ 𝔈) und zwei die Ebene aufspannende Vektoren und ∦ sowie ein beliebiger anderer Punkt . Dann verschwindet der Normaleneinheitsvektor

ĉ ＝	×	≠
	| × |

nicht. Normalenform der Ebene:

∈ 𝔈 ↔ ( − ) · ĉ ＝ 0

Fußpunkt von :	＝ + (1 − ĉ ⊗ ĉ) · ( − )	∈ 𝔈, d. h. − ⊥ ĉ
Lotstrecke:	＝ ĉ ⊗ ĉ · ( − ) ＝ −	⊥ 𝔈, d. h. ∥ ĉ

In höherdimensionalen Räumen extrahiert

P ＝	( · ) ⊗ − ( · ) ( ⊗ + ⊗ ) + ( · ) ⊗
	( · ) ( · ) − ( · )2

den Anteil eines Vektors parallel zur Ebene.^[3] Dann ist

＝ + P · ( − )	∈ 𝔈
＝ (1 − P) · ( − ) ＝ −	⊥ 𝔈

Definition:

ϵ	:＝	ϵijk êi ⊗ êj ⊗ êk
	=	(êj × êk) ⊗ êj ⊗ êk
	=	êi ⊗ (êk × êi) ⊗ êk
	=	êi ⊗ êj ⊗ (êi × êj)

Tensortransformation 𝓛 ↦ 𝕍:

ϵ : ( ⊗ ) ＝ × ＝ · ϵ · ＝ − · ϵ · ＝ −ϵ : ( ⊗ ) ＝ − ×

ϵ : (ê_i ⊗ ê_j) ＝ ϵ_ijk ê_k ＝ ê_i × ê_j

ϵ : A ＝ A : ϵ ＝ −ϵ : (A^⊤) ＝ −(A^⊤) : ϵ ＝ A × 1 ＝ 1 ·× A ＝ (A)

ϵ : (A · B^⊤) ＝ A × B

ϵ : (A · B) ＝ A ·× B

Vektortransformation 𝕍 ↦ 𝓛:

ϵ · ＝ · ϵ ＝ −[­]_× ＝ − × 1

Tensoren zweiter Stufe sind Elemente eines euklidischen Vektorraums 𝓛 wie im Abschnitt #Tensoren als Elemente eines Vektorraumes dargestellt. Daher kann man Tensoren vierter Stufe definieren, indem man in dem Kapitel formal die Tensoren zweiter Stufe durch Tensoren vierter Stufe und die Vektoren durch Tensoren zweiter Stufe ersetzt, z. B.:

𝔸 ＝ A_pq (A_p ⊗ G_q) ∈ Lin(𝓛,𝓛)

mit

𝔸	Tensor vierter Stufe
Apq	Tensorkomponenten
Ap	Element der Tensorbasis A1, A2, …, A9 von 𝓛
Gq	Element der Tensorbasis G1, G2, …, G9 von 𝓛

Standardbasis in 𝓛:

E_1,2,3 ＝ ê₁ ⊗ ê_1,2,3, E_4,5,6 ＝ ê₂ ⊗ ê_1,2,3, E_7,8,9 ＝ ê₃ ⊗ ê_1,2,3

Tensortransformation:

𝔸 : H ＝ A_pq (A_p ⊗ G_q) : H :＝ A_pq (G_q : H) A_p

Tensorprodukt:

(A_pq A_p ⊗ G_q) : (B_rs H_r ⊗ U_s) :＝ A_pq (G_q : H_r) B_rs A_p ⊗ U_s

Übliche Schreibweisen für Tensoren vierter Stufe:

𝔸 ＝ ${\displaystyle {\stackrel {4}{\mathbf {A} }}}$ ＝ A_ijkl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l

Transposition:

(A ⊗ B)^⊤ ＝ B ⊗ A

(A_ijkl ê_i ⊗ ê_j ⊗ ê_k ⊗ ê_l)^⊤ :＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_l ⊗ ê_i ⊗ ê_j

Spezielle Transposition A${\displaystyle {}^{\stackrel {\mathsf {kn}}{\top }}}$ vertauscht k-tes mit n-tem Basissystem.

Beispielsweise:

𝔸 :＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_j ⊗ ê_i ⊗ ê_l

𝔸 :＝ A_ijkl ê_i ⊗ ê_l ⊗ ê_k ⊗ ê_j

𝔸^⊤ ＝ (𝔸) ＝ A_ijkl ê_k ⊗ ê_l ⊗ ê_i ⊗ ê_j

Definition:

𝔸 ∈ Lin(𝓛,𝓛): 𝔸 ＝ 𝔸^⊤

Dann gilt: 𝔸 : B ＝ B : 𝔸

𝟙	＝ 𝟙⊤ ＝ Er ⊗ Er ＝ êi ⊗ êj ⊗ êi ⊗ êj
	＝ (1 ⊗ 1) ＝ δik δjl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl
	＝ i ⊗ j ⊗ i ⊗ j

Gegeben A, B ∈ 𝓛

A ＝ A_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ (A · ê_i) ⊗ ê_i

B ＝ B_ij ê_i ⊗ ê_j ＝ (B · ê_j) ⊗ ê_j ＝ ê_j ⊗ (B^⊤ · ê_j)

Dyadische Produkte:

A ⊗ B	＝ (A · êi) ⊗ êi ⊗ (B · êj) ⊗ êj ＝ (A · êi) ⊗ êi ⊗ êj ⊗ (B⊤ · êj)
	＝ Aij Bkl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl
(A ⊗ B)	＝ (A · êi) ⊗ (B · êj) ⊗ êi ⊗ êj ＝ [A · (êi ⊗ êj) · B⊤] ⊗ (êi ⊗ êj)
	＝ Aik Bjl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl
(A ⊗ B)	＝ (A · êi) ⊗ (B⊤ · êj) ⊗ êj ⊗ êi ＝ [A · (êi ⊗ êj)⊤ · B] ⊗ (êi ⊗ êj)
	＝ Ail Bkj êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl

Tensortransformation von G ∈ 𝓛:

(A ⊗ B) : G ＝ (B : G) A

(A ⊗ B) : G ＝ A · G · B^⊤

(A ⊗ B) : G ＝ A · G^⊤ · B

Gegeben ein #Orthogonaler Tensor Q ＝ Q_ij ê_i ⊗ ê_j und

ℚ	＝ (Q ⊗ Q) ＝ (Q · êi) ⊗ (Q · êj) ⊗ êi ⊗ êj
	＝ Qik Qjl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl

Dann ist speziell

ℚ : ℚ^⊤ ＝ ℚ^⊤ : ℚ ＝ 𝟙

ℚ : A ＝ Q · A · Q^⊤

ℚ : (A ⊗ B) : ℚ^⊤ ＝ (Q · A · Q^⊤) ⊗ (Q · B · Q^⊤)

ℚ : ( ⊗ ⊗ ⊗ ) : ℚ^⊤ ＝ (Q · ) ⊗ (Q · ) ⊗ (Q · ) ⊗ (Q · )

bei , , , ∈ 𝕍 und A, B ∈ 𝓛. Die voigtsche Notation […] erlaubt ℚ : A für #Symmetrische Tensoren A als Matrizenprodukt M[A] darzustellen, siehe #Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe.

Für beliebige Tensoren A ∈ 𝓛 gilt

𝕋	＝	Ep⊤ ⊗ Ep	＝	δil δjk êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl	→	𝕋 : A ＝ A⊤
𝕊	＝	(𝟙 + 𝕋)	＝	(δik δjl + δil δjk) êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl	→	𝕊 : A ＝ AS
𝔸	＝	(𝟙 − 𝕋)	＝	(δik δjl − δil δjk) êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl	→	𝔸 : A ＝ AA
𝕂	＝	1 ⊗ 1	＝	δij δkl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl	→	𝕂 : A ＝ AK
𝔻	＝	𝟙 − 𝕂	＝	δik δjl − δij δkl êi ⊗ êj ⊗ êk ⊗ êl	→	𝔻 : A ＝ AD

Diese fünf Tensoren sind symmetrisch mit den Eigenschaften:

ℂ ∈ {𝔸, 𝔻, 𝕂, 𝕊 }  →  ℂ : ℂ ＝ ℂ

𝔸 + 𝕊 ＝ 𝔻 + 𝕂 ＝ 𝕋 : 𝕋 ＝ 𝟙

𝔸 : 𝕊 ＝ 𝔻 : 𝕂 ＝ 𝕆 (Nulltensor vierter Stufe)

Mit a ∈ ℝ und B, C, D, E ∈ 𝓛 gilt:

• (a 𝟙 + B ⊗ C)−1 ＝	1	(g 𝟙 − B ⊗ C), mit g ＝ a + B : C
	a g

• (a 𝟙 + B ⊗ C + D ⊗ E)−1 ＝	1	[z 𝟙 + B ⊗ (f C + x E) + D ⊗ (y C + g E)]
	a z

mit f ＝ a + D : E, x ＝ −C : D, y ＝ −B : E, g ＝ a + B : C, z ＝ x y − f g

• (A_p ⊗ G_p)⁻¹ ＝ G^p ⊗ A^p

Mit 𝔸 und 𝕊 aus #Spezielle Transformatoren, a, b ∈ ℝ, #Symmetrische Tensoren B und C sowie #Schiefsymmetrische Tensoren D und E:

• (a 𝕊 + B ⊗ C + b 𝔸 + D ⊗ E)−1 ＝	1	(g 𝕊 − B ⊗ C) +	1	(h 𝔸 − D ⊗ E)
	a g		b h

mit g ＝ a + B : C, h ＝ b + D : E

Analoges ergibt sich für 𝔻, 𝕂, #Deviatorische Tensoren und #Kugeltensoren.

Mit dem Spannungstensor σ und dem Verzerrungstensor ε schreibt sich das Hookesche Gesetz

ℂ :＝ 2μ 𝟙 + λ 1 ⊗ 1  →  ℂ : ε ＝ σ

mit den Lamé-Konstanten λ und μ. Der Elastizitätstensor ℂ ist symmetrisch. Erste der #Invertierungsformeln für Tensoren vierter Stufe
mit a ＝ 2μ, B ＝ λ 1 und C ＝ 1:

𝔹 :＝ ℂ⁻¹ ＝ 𝟙 − 1 ⊗ 1 → 𝔹 : σ ＝ ε

mit der Querdehnzahl ν und dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$.

Aus der Basis S₁, …, S₆ des Vektorraums 𝓢 ＝ Sym(𝕍,𝕍) der symmetrischen Tensoren zweiter Stufe, siehe #Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, kann eine Basis des Vektorraums Lin(𝓢,𝓢) mit linearen Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren konstruiert werden. Der #Einheitstensor vierter Stufe ist kein Element dieses Raumes, aber der Symmetrisierer 𝕊 aus dem Abschnitt #Spezielle Transformatoren ist es. Die 36 Komponenten der Tensoren vierter Stufe aus Lin(𝓢,𝓢) können in voigtscher Notation in eine 6×6-Matrix eingelagert werden:

𝔸 ＝ Auv Su ⊗ Sv ↔ [𝔸] ＝	A11	A12	A13	A14	A15	A16
	A21	A22	A23	A24	A25	A26
	A31	A32	A33	A34	A35	A36
	A41	A42	A43	A44	A45	A46
	A51	A52	A53	A54	A55	A56
	A61	A62	A63	A64	A65	A66

In diesem Abschnitt steht [(·)] für die voigtsche Notation von (·). Diese Tensoren vierter Stufe sind sämtlich singulär:

𝔸 : T^A ＝ 𝕊 : T^A ＝ O

Die Vektoren und Matrizen in voigtscher Notation können addiert, subtrahiert und mit einem Skalar x multipliziert werden:

[A + x B] ＝ [A] + x [B]

[𝔸 + x 𝔹] ＝ [𝔸] + x [𝔹]

Beim Matrizenprodukt in voigtscher Notation muss die Diagonalmatrix

L ＝ diag(1, 1, 1, 2, 2, 2)

mit den Einträgen L_uv ＝ S_u : S_v zwischengeschaltet werden:

A : B ＝ [A]^⊤ L [B] ＝ A₁ B₁ + A₂ B₂ + A₃ B₃ + 2 A₄ B₄ + 2 A₅ B₅ + 2 A₆ B₆

[𝔸 : T] ＝ [𝔸] L [T]

[𝔸 : 𝔹] ＝ [𝔸] L [𝔹]

Inverse Matrix bei Determinante ungleich null in voigtscher Notation:

[𝔹] ＝ S [𝔸]⁻¹ S ↔ [𝔸] ＝ S [𝔹]⁻¹ S

→ [𝔸] L [𝔹] ＝ [𝔹] L [𝔸] ＝ [𝕊] ↔ 𝔸 : 𝔹 ＝ 𝔹 : 𝔸 ＝ 𝕊

wobei S :＝ L⁻¹ ＝ diag(1, 1, 1, ½, ½, ½) ＝ [𝕊]

#Hookesches Gesetz in voigtscher Notation entspricht

ℂ ＝ 2μ 𝕊 + λ 1 ⊗ 1

𝔹 ＝ 𝕊 − 1 ⊗ 1

ℂ : 𝔹 ＝ 𝔹 : ℂ ＝ 𝕊

1. ↑ P. B. Denton, S. J. Parke, T. Tao, X. Zhang: Eigenvectors from Eigenvalues. (PDF) 10. August 2019, S. 1–3, abgerufen am 29. November 2019 (englisch). 
2. ↑ Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8. 
   1. ↑ S. 95ff
   2. ↑ S. 98
3. ↑ J. Hanson: Rotations in three, four, and five dimensions. S. 4 f., arxiv:1103.5263. 

• Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. 2. Auflage. Springer Vieweg, Berlin u. a. 2012, ISBN 978-3-642-24118-5. 
• Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8. 
• Wolfgang Ehlers: Ergänzung zu den Vorlesungen Technische Mechanik und Höhere Mechanik. Vektor- und Tensorrechnung, Eine Einführung. 2015 (uni-stuttgart.de [PDF; abgerufen am 3. September 2020]). 
• Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 3-540-00760-1. 
• A. Bertram: Elasticity and Plasticity of Large Deformations. Including Gradient Materials. 4. Auflage. Springer, 2021, ISBN 978-3-03072327-9, doi:10.1007/978-3-030-72328-6.