Föllmer-Schweizer-Zerlegung

Die Föllmer-Schweizer-Zerlegung ist in der Finanzmathematik eine Zerlegung einer Auszahlungsfunktion. In vollständigen Märkten, wie sie etwa durch das Black-Scholes-Modell beschrieben werden, kann jede Auszahlung durch eine dynamische Handelsstrategie exakt repliziert werden, in der Realität sind Märkte jedoch oft unvollständig. Eine perfekte Absicherung ist dann nicht möglich, aber man kann eine Strategie suchen, die das Risiko minimiert. Die Existenz einer optimalen (quadratisch-minimierenden) Hedging-Strategie ist äquivalent zur Existenz der Föllmer-Schweizer-Zerlegung bezüglich der Auszahlung.

Die Föllmer-Schweizer-Zerlegung verallgemeinert die Kunita-Watanabe-Zerlegung. Sie wurde 1991 von Hans Föllmer und Martin Schweizer entwickelt.^[1][2]

Sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{loc}^{2}}$ der Raum der lokal-quadratintegrierbaren Semimartingale und ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T},P)}$ ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum.

Man sagt zwei lokale Martingale ${\displaystyle L}$ und ${\displaystyle M}$ sind orthogonal, wenn ihr vorhersagbarer Kovariationsprozess Null ist

${\displaystyle \langle L,M\rangle _{t}=0,\quad t\in [0,T].}$

Sei ${\displaystyle X=(X_{t})_{0\leq t\leq T}\in {\mathcal {S}}_{loc}^{2}}$ ein Preisprozess mit Zerlegung

${\displaystyle X=X_{0}+M+A,}$

wobei ${\displaystyle M}$ ein lokales Martingal ist und ${\displaystyle A}$ ein FV-Prozess (Prozess mit endlicher Variation).

Sei ${\displaystyle H\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{T},P)}$ eine Auszahlung. Dann besitzt ${\displaystyle H}$ eine Föllmer-Schweizer-Zerlegung bezüglich ${\displaystyle X}$ falls eine Zerlegung der Form

${\displaystyle H=H_{0}+\int _{0}^{T}\zeta _{s}^{H}dX_{s}+L_{T}^{H}}$

oder kompakt geschrieben

${\displaystyle H=H_{0}+(\zeta _{s}^{H}\cdot X_{s})_{T}+L_{T}^{H}}$

existiert, so dass

• ${\displaystyle H_{0}\in L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)}$,
• ${\displaystyle \zeta _{s}^{H}}$ ein vorhersagberer Prozess ist,
• ${\displaystyle L_{T}^{H}=(L_{t}^{H})_{0\leq t\leq T}}$ ein quadratintegrierbares Martingal ist, welches orthogonal zum Martingalteil ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle X}$ ist, d. h. ${\displaystyle \langle L^{H},M\rangle =0}$.^[3]

Die Existenz einer Föllmer-Schweizer-Zerlegung ist äquivalent zu der Existenz einer optimalen (oder lokal risiko-minimierend) Strategie.

Eine zulässige Strategie ${\displaystyle (\vartheta ,\eta )}$ mit Wertprozess

${\displaystyle V_{t}=\eta _{t}+\vartheta _{t}X_{t}}$

heißt lokal risiko-minimierend, wenn der zugehörige Kostenprozess

${\displaystyle C_{t}:=V_{t}-\int _{0}^{t}\vartheta _{s}\,dX_{s}}$

ein quadratintegrierbares Martingal ist, das orthogonal zum Martingalteil ${\displaystyle M}$ von ${\displaystyle X}$ ist, d. h.

${\displaystyle \langle C,M\rangle _{t}=0,\quad 0\leq t\leq T.}$

Eine Strategie ${\displaystyle (\vartheta ,\eta )}$ heißt optimal (oder lokal risiko-minimierend), wenn für jedes ${\displaystyle t<T}$ und jede infinitesimale Variation ${\displaystyle \delta \vartheta }$ gilt:

${\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\big |}_{\varepsilon =0}\mathbb {E} \left[(C_{T}^{(\vartheta +\varepsilon \delta \vartheta )}-C_{t})^{2}{\big |}{\mathcal {F}}_{t}\right]=0,}$

wobei ${\displaystyle C_{T}^{(\vartheta +\varepsilon \delta \vartheta )}}$ der Kostenprozess einer leicht veränderten Strategie in Richtung ${\displaystyle \delta \vartheta }$ (mit Stärke ${\displaystyle \epsilon }$) von der ursprünglichen Strategie ${\displaystyle \vartheta }$ ist.^[4]

1. ↑ Hans Föllmer und Martin Schweizer: Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information. Hrsg.: Gordon and Breach (= Applied Stochastic Analysis. Band 5). London, New York 1991, S. 389–414. 
2. ↑ Pascale Monat und Christophe Stricker: "Follmer-Schweizer Decomposition and Mean-Variance Hedging for General Claims." In: Ann. Probab. Band 23, Nr. 2, 1995, S. 605–628, doi:10.1214/aop/11769882. 
3. ↑ Hans Föllmer und Martin Schweizer: Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information. Hrsg.: Gordon and Breach (= Applied Stochastic Analysis. Band 5). London, New York 1991, S. 396. 
4. ↑ Hans Föllmer und Martin Schweizer: Hedging of Contingent Claims under Incomplete Information. Hrsg.: Gordon and Breach (= Applied Stochastic Analysis. Band 5). London, New York 1991, S. 389–396.