Entartung (Quantenmechanik)

Von Entartung spricht man in der Quantenmechanik, wenn zum selben Messwert (Eigenwert) einer Observablen mehrere, voneinander linear unabhängige Eigenzustände existieren.^[1]

Als Entartungsgrad, Entartungsfaktor oder Multiplizität wird die Anzahl n der linear unabhängigen Eigenzustände zum gleichen Eigenwert bezeichnet. Diese spannen den n-dimensionalen Unterraum zum selben Eigenwert auf. Man nennt den Eigenwert dann n-fach entartet.^[2]

Zwei Zustände, die zum selben entarteten Eigenwert einer Observablen gehören, können folglich durch Messung dieser Observablen nicht voneinander unterschieden werden. Allerdings lässt sich zu jedem n-fach entarteten Eigenwert eine zweite Observable finden, die mit der ersten kommensurabel ist und in dem zum entarteten Eigenwert gehörenden Unterraum genau n Eigenzustände mit n verschiedenen Eigenwerten besitzt.

Entartung ist in vielen Fällen Folge einer Symmetrie des physikalischen Systems.^[3] So führt Rotationssymmetrie des Hamiltonoperators um beliebige Achsen zu einer Energieentartung. Die entarteten Zustände lassen sich hier in der Regel durch ihre verschiedenen Eigenwerte zu einer Drehimpulskomponente unterscheiden. Umgekehrt folgt aus der Entartung eines Eigenwerts einer Observablen immer, dass diese invariant unter jeder unitären Transformation des zugehörigen Eigenraums ist.

In der nichtrelativistischen Beschreibung des Wasserstoffatoms sind alle Zustände mit gleicher Hauptquantenzahl entartet. Diese Entartung lässt sich auf die Symmetrie des Zweikörperproblems mit einem Potential ${\displaystyle \propto (-{\tfrac {1}{r}})}$ zurückführen.

Entartung zu den ersten drei Energieeigenwerten des Wasserstoffatoms

Hauptquantenzahl ${\displaystyle n}$	Drehimpuls-QZ ${\displaystyle l=0\ldots n-1}$	Orbital	magnetische QZ ${\displaystyle m_{l}=-l\ldots 0\ldots +l}$	Entartungsgrad: ${\displaystyle \sum _{l=0}^{n-1}{(2l+1)}=n^{2}}$-fach
1	0	s	0	1
2	0	s	0	4
	1	p	−1, 0, +1
3	0	s	0	9
	1	p	−1, 0, +1
	2	d	−2, −1, 0, +1, +2

Die Berücksichtigung des Elektronenspins (die so genannte Feinstruktur) hebt diese Entartung teilweise auf.^[4] Korrekturen aufgrund der Wechselwirkung mit dem Kern (Hyperfeinstruktur)^[4] und aufgrund der Quantenelektrodynamik (Lambshift)^[4] reduzieren die Entartung weiter, bis auf die Entartung in den Komponenten des Gesamtdrehimpulses, die wegen der Rotationssymmetrie erhalten bleibt.

Bei gerader Parität ${\displaystyle V({\vec {r}})=V(-{\vec {r}})}$ ist der Hamilton-Operator

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {{\vec {p}}^{2}}{2m}}+V({\vec {r}})}$

ebenfalls von gerader Parität ${\displaystyle {\mathcal {H}}(-{\vec {r}})={\mathcal {H}}({\vec {r}})}$. Er vertauscht mit dem Paritätsoperator ${\displaystyle \langle {\vec {r}}|\Pi |\psi \rangle =\psi (-{\vec {r}})}$:^[5] ${\displaystyle [\Pi ,{\mathcal {H}}]=0}$.

Für einen Eigenzustand ${\displaystyle |\psi \rangle }$ des Hamilton-Operators

${\displaystyle {\mathcal {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,}$

mit der Eigenschaft, dass er keine bestimmte Parität besitzt, bedeutet das, dass ${\displaystyle \Pi |\psi \rangle }$ nicht parallel zu ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ist. In diesem Fall ist ${\displaystyle \Pi |\psi \rangle }$ ein weiterer Eigenzustand des Hamilton-Operators ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ mit gleichem Energieeigenwert. Dies folgt aus der Eigenschaft, dass^[6] ${\displaystyle [\Pi ,{\mathcal {H}}]=0}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}\,\Pi |\psi \rangle =\Pi \,{\mathcal {H}}|\psi \rangle =\Pi \,E|\psi \rangle =E\,\Pi |\psi \rangle }$

Damit ist der Energieeigenwert ${\displaystyle E}$ entartet.

Dies gilt insbesondere für das freie Teilchen mit ${\displaystyle V=0}$.

Das Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden sei definiert als:

${\displaystyle V_{\infty }(x,y)={\begin{cases}0\quad {\text{ für }}0\leq x,y\leq a&\\\infty \quad {\text{für }}x,y<0{\text{ oder }}x,y>a\end{cases}}}$

Der Hamilton-Operator eines Teilchens mit der Masse ${\displaystyle m}$ in diesem Potentialtopf lautet:^[7]

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\tfrac {1}{2m}}(p_{x}^{2}+p_{y}^{2})+V_{\infty }(x)+V_{\infty }(y)={\mathcal {H}}_{x}+{\mathcal {H}}_{y}}$

Er setzt sich aus den eindimensionalen Hamilton-Operatoren ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{x}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{y}}$ eines Teilchens in einem Kastenpotential mit unendlich hohen Wänden zusammen, mit den jeweiligen Energieeigenwerten:^[8]

${\displaystyle E_{x}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n_{x}^{2}}$ und ${\displaystyle E_{y}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}n_{y}^{2}}$ mit ${\displaystyle n_{x},n_{y}\geq 1}$.

Die Gesamtenergie ergibt sich damit zu:

${\displaystyle E_{n_{x}n_{y}}=E_{x}+E_{y}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})}$

Da ${\displaystyle E_{n_{x}n_{y}}=E_{n_{y}n_{x}}}$ tritt Entartung auf, wenn ${\displaystyle n_{x}\neq n_{y}}$. Ein Beispiel ist ${\displaystyle E_{13}={\tfrac {\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2ma^{2}}}\cdot 10=E_{31}}$

Die potentielle Energie eines kugelsymmetrischen Oszillators mit der Masse ${\displaystyle m}$, der Kreisfrequenz ${\displaystyle \omega }$ und dem Radius ${\displaystyle r}$ ist

${\displaystyle V={\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}}$

Die Schrödinger-Gleichung lautet dann ^[9]

${\displaystyle E\,|\psi \rangle ={\mathcal {H}}\,|\psi \rangle =-{\tfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\,|\psi \rangle +{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}r^{2}|\psi \rangle }$

Mit ${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ und ${\displaystyle \nabla ^{2}={\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial x^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial y^{2}}}+{\tfrac {\partial ^{2}\,\,\,}{\partial z^{2}}}=\partial _{x}^{2}+\partial _{y}^{2}+\partial _{z}^{2}}$ kann die Lösung ${\displaystyle |\psi \rangle }$ separiert werden in ein Produkt aus Einzellösungen ${\displaystyle |\psi \rangle =|\psi _{x}\rangle |\psi _{y}\rangle |\psi _{z}\rangle }$ von denen jede die Schrödinger-Gleichungen des eindimensionalen harmonischen Oszillators erfüllt:

${\displaystyle E_{\alpha }\,|\psi _{\alpha }\rangle =-{\tfrac {\hbar ^{2}}{2m}}\partial _{\alpha }^{2}\,|\psi _{\alpha }\rangle +{\tfrac {1}{2}}m\omega ^{2}\alpha ^{2}|\psi _{\alpha }\rangle \quad E_{\alpha }=\hbar \omega (n_{\alpha }+{\tfrac {1}{2}})}$

Dabei ist ${\displaystyle \alpha =x,y,z}$ und ${\displaystyle n_{\alpha }=n_{x},n_{y},n_{z}}$ sind ganze Zahlen ${\displaystyle n_{\alpha }\geq 0}$ und die Gesamtenergie beträgt: ^[10]

${\displaystyle E=E_{x}+E_{y}+E_{z}=\hbar \omega (n_{x}+n_{y}+n_{z}+{\tfrac {3}{2}})=\hbar \omega (N+{\tfrac {3}{2}})}$

Nur der Grundzustand ${\displaystyle N=0}$ ist nicht entartet. Für ${\displaystyle N=n_{x}+n_{y}+n_{z}\geq 1}$ gibt es zu gegebenen ${\displaystyle n_{x}}$ und ${\displaystyle n_{y}}$ genau ein festes ${\displaystyle n_{z}}$. Die Entartung ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ist dann die Anzahl der Möglichkeiten drei positive und eventuell verschwindende Zahlen ${\displaystyle n_{x},n_{y},n_{z}}$ zu ${\displaystyle N}$ zusammen zu addieren:^[11][12]

${\displaystyle {\mathcal {N}}_{N}=\sum _{n_{x}=0}^{N}\sum _{n_{y}=0}^{N-n_{x}}1=\sum _{n_{x}=0}^{N}(N-n_{x}+1)=(N+1)^{2}-{\tfrac {1}{2}}N(N+1)={\tfrac {1}{2}}(N+1)(N+2)}$

Beispiele: ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{0}=1}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{1}=3}$, ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{2}=6\ldots }$

Mit diesem einfachen Modell lassen sich die unteren magischen Zahlen ${\displaystyle 4=4\cdot {\mathcal {N}}_{0}}$, ${\displaystyle 16=4\cdot ({\mathcal {N}}_{0}+{\mathcal {N}}_{1})}$ und ${\displaystyle 40=4\cdot ({\mathcal {N}}_{0}+{\mathcal {N}}_{1}+{\mathcal {N}}_{2})}$ der höheren Stabilität von Atomkernen erklären.^[13] Jeder Zustand kann mit zwei Protonen und zwei Neutronen mit jeweils entgegengesetztem Spin besetzt werden. Im Schalenmodell sind damit die Isotope ${\displaystyle ^{4}{\text{He}}}$, ${\displaystyle ^{16}{\text{O}}}$ und ${\displaystyle ^{40}{\text{Ca}}}$ besonders stabil und haben eine hohe Bindungsenergie.

• Austauschentartung

1. ↑ Gerhard Franz: Quantenphysik - Quantenmechanik. 1. Auflage. de Gruyter, Oldenbourg 2024, ISBN 978-3-11-123798-5, S. 9. 
2. ↑ Friedhelm Kuypers: Quantenmechanik - Lehr- und Arbeitsbuch. 1. Auflage. WILEY-VCH, Weinheim 2020, ISBN 978-3-527-41380-5, S. 182. 
3. ↑ Walter Greiner: Theoretische Physik - ein Lehr- und Übungsbuch: Band 5 Quantenmechanik II Symmetrien. 1. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 1979, ISBN 3-87144-259-3, S. 17. 
4. ↑ ^{a b c} Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 143. 
5. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 193. 
6. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 198. 
7. ↑ Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantum Mechanics, Volume 1 : Basic Concepts, Tools, and Applications. John Wiley & Sons, New York, London, Sidney, Toronto 1977, ISBN 0-471-16432-1, S. 199. 
8. ↑ Eckhard Rebhan: Theoretische Physik: Quantenmechanik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2008, ISBN 978-3-8274-1718-3, S. 101. 
9. ↑ Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 68. 
10. ↑ Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 69. 
11. ↑ Steven Weinberg: Quantenmechanik - Eine Einführung des Nobelpreisträgers. Pearson Studium, München 2015, ISBN 978-3-86894-263-7, S. 48. 
12. ↑ I.N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik. 19. Auflage. Harri Deutsch, Thun und Frankfurt/Main 1980, ISBN 3-87144-492-8, S. 166. 
13. ↑ Torsten Fließbach: Quantenmechanik - Lehrbuch zur Theoretischen Physik III. 5. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Berlin 2012, ISBN 978-3-8274-2020-6, S. 207.