Bogomolny-Gleichungen

Die Bogomolny-Gleichung ist in der Mathematischen Eichtheorie eine Gleichung zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole. Formuliert ist diese in drei Dimensionen und folgt durch Dimensionsreduktion aus den selbstdualen Yang-Mills-Gleichungen (SDYM-Gleichungen) in vier Dimensionen. Benannt sind die Gleichungen nach Eugene Bogomolny. Untersucht wurden die Bogomolny-Gleichungen und insbesondere ihr Modulraum unter anderem von Michael Atiyah und Nigel Hitchin. Auf geschlossenen Mannigfaltigkeiten ergeben sich nur triviale Lösungen.

Sei ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe mit Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ und ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle G}$-Hauptfaserbündel, wobei ${\displaystyle B}$ eine Riemannsche 3-Mannigfaltigkeit mit Metrik${\displaystyle g}$ und Volumenform ${\displaystyle \operatorname {vol} _{g}}$ ist. Sei ${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{G}{\mathfrak {g}}\twoheadrightarrow B}$ das adjungierte Vektorbündel. Für einen Zusammenhang ${\displaystyle A\in \Omega _{\operatorname {Ad} }^{1}(E,{\mathfrak {g}})}$ mit Krümmungsform ${\displaystyle F_{A}:=\mathrm {d} A+{\frac {1}{2}}[A\wedge A]\in \Omega ^{2}(B,\operatorname {Ad} (E))}$^[1] sowie einen glatten Schnitt ${\displaystyle \Phi \in \Omega ^{0}(B,\operatorname {Ad} (E))\cong \Gamma ^{\infty }(B,\operatorname {Ad} (E))}$ (welche in den Yang-Mills-Higgs-Gleichungen das Higgs-Feld repräsentiert) ist die Bogomolny-Gleichung gegeben durch:^[2]

${\displaystyle F_{A}=\star \mathrm {d} _{A}\Phi .}$

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist nicht unbedingt eine Lösung der Yang-Mills-Gleichung, obwohl mit der Bianchi-Identität ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\mathrm {d} _{A}\Phi +[\Phi ,F_{A}]=0}$^[3] folgt:

${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star F_{A}=\mathrm {d} _{A}\star ^{2}\mathrm {d} _{A}\Phi =\pm \mathrm {d} _{A}^{2}\Phi =\mp [\Phi ,F_{A}].}$

Dadurch lassen sich die partiellen Differentialgleichungen von zweitem Grad zu erstem Grad reduzieren und einfacher lösen. Dabei ergeben sich jedoch wegen der zusätzlichen Annahme, auch die Bogomolny-Gleichung zu lösen, nicht alle Lösungen.

Eine Lösung der Bogomolny-Gleichung ist eine Lösung der zweiten Yang-Mills-Higgs-Gleichung, da diese dann direkt auf die Bianchi-Identität ${\displaystyle \mathrm {d} _{A}F_{A}=0}$^[3] zurückfällt:

${\displaystyle \mathrm {d} _{A}\star \mathrm {d} _{A}\Phi =\mathrm {d} _{A}F_{A}=0.}$

• Michael Francis Atiyah und Nigel Hitchin: The Geometry and Dynamics of Magnetic Monopoles. Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08480-0 (englisch, degruyter.com). 
• Nigel Hitchin: Monopoles and geodesic. In: Communications in Mathematical Physics. Nr. 4, 1982, ISSN 0010-3616, S. 579–602, doi:10.1007/BF01208717, bibcode:1982CMaPh..83..579H (englisch, springer.com [abgerufen am 5. November 2024]). 
• Gregory L. Naber: Topology, Geometry and Gauge Fields (Second Edition). Springer, 2011, ISBN 978-1-4419-7894-3, ISSN 0066-5452, doi:10.1007/978-1-4419-7895-0 (englisch). 

• Bogomolny equation auf nLab (englisch)

1. ↑ Naber 11, S. 35
2. ↑ Naber 11, Gleichung (2.5.14)
3. ↑ ^{a b} Clifford Henry Taubes: The existence of a non-minimal solution to the SU (2) Yang-Mills-Higgs equations on ℝ3. Part I. In: Commun.Math. Phys. Band 86, 1982, S. 257–298, Gleichungen (2.2c) und (2.2d), doi:10.1007/BF01206014 (englisch).