Auswertung von Drucksondierungen im elastischen Grenzzustand

Auswertung von Drucksondierungen im elastischen Grenzzustand (auch als Methode Klein bezeichnet) ist ein geotechnischer Auswerteansatz für Drucksondierungen (Cone Penetration Test, CPT bzw. CPTu), bei dem die gemessenen Widerstände dem elastischen Spannungs- und Verformungszustand des Bodens zugeordnet werden. Die Methode basiert auf der Elastizitätstheorie und erlaubt eine bodenartunabhängige Ableitung elastischer Materialkennwerte ohne explizite Bodenklassifikation.

Bei der Drucksondierung wird ein genormter Konus mit konstanter Geschwindigkeit in den Boden gedrückt. Die dabei gemessenen Größen, insbesondere der Spitzenwiderstand q_c beziehungsweise der korrigierte Spitzenwiderstand q_t, ergeben sich aus einer lokal begrenzten, dreidimensionalen Beanspruchung des Bodens.

Die Methode geht davon aus, dass diese Beanspruchung in der Regel unterhalb der globalen Versagensgrenze liegt und der Boden im relevanten Einflussbereich überwiegend linear-elastisch reagiert. Die CPT-Messung tastet damit einen Spannungszustand ab, der dem elastischen Grenzzustand zugeordnet werden kann.

Der elastische Grenzzustand beschreibt den Übergang zwischen rein elastischem und nichtlinearem beziehungsweise plastischem Materialverhalten.^[1] In diesem Zustand sind Spannungen und Verzerrungen noch eindeutig durch elastische Stoffgesetze beschreibbar, ohne dass bleibende Verformungen auftreten.

Zur Charakterisierung dieses Zustands wird ein dimensionsloser Elastizitätsindex I_E verwendet, mit dem der Übergang zwischen elastischem und nicht-elastischem Verhalten beschrieben wird.^[1]

Werte von

${\displaystyle I_{E}\approx 1}$

kennzeichnen den elastischen Grenzzustand. Werte I_E < 1 weisen auf eindeutig elastisches Verhalten hin, während Werte I_E > 1 auf eine Überschreitung des elastischen Zustandsraums und den Übergang zu irreversiblen Prozessen hindeuten.

Die theoretische Grundlage der Methode bildet die kontinuumsmechanische Beschreibung des Bodens als dreidimensionales Kontinuum. Der mechanische Zustand wird durch den Spannungstensor zweiter Ordnung ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ und den Verzerrungstensor zweiter Ordnung ${\displaystyle \varepsilon _{ij}}$ beschrieben. Beide Tensoren sind symmetrisch und besitzen jeweils sechs unabhängige Komponenten.

Der Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen wird durch das Hookesche Gesetz formuliert:

${\displaystyle \sigma _{ij}=C_{ijkl}\,\varepsilon _{kl}}$

Dabei bezeichnet ${\displaystyle C_{ijkl}}$ den Steifigkeitstensor vierter Ordnung, der formal 81 Komponenten besitzt, sich jedoch aufgrund von Symmetrien erheblich reduziert.

Zur praktischen Anwendung werden die Tensorpaare ${\displaystyle ij}$ und ${\displaystyle kl}$ jeweils zu Einzelindizes zusammengefasst. Diese Darstellung ist als Voigtsche Notation bekannt. Der Spannungstensor und der Verzerrungstensor werden dabei als Vektoren mit sechs Komponenten geschrieben.

Spannungsvektor: ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{pmatrix}{\begin{smallmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{13}\\\sigma _{12}\end{smallmatrix}}\end{pmatrix}}}$

Verzerrungsvektor: ${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\begin{pmatrix}{\begin{smallmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{13}\\2\varepsilon _{12}\end{smallmatrix}}\end{pmatrix}}}$

Hinweis: Die Darstellung verwendet die ingenieurmäßige Voigt-Notation mit Faktor 2 in den Schubverzerrungskomponenten.

Das elastische Stoffgesetz ergibt sich damit in Matrixform zu ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {C} \,{\boldsymbol {\varepsilon }}}$

Für ein isotropes, linear-elastisches Material besitzt die Steifigkeitsmatrix ${\displaystyle \mathbf {C} }$ in Voigt-Notation die Form

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}c_{11}&c_{12}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{11}&c_{12}&0&0&0\\c_{12}&c_{12}&c_{11}&0&0&0\\0&0&0&c_{44}&0&0\\0&0&0&0&c_{44}&0\\0&0&0&0&0&c_{44}\end{pmatrix}}}$

mit den Koeffizienten

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{11}&={\frac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}=\lambda +2\mu =M\\c_{12}&={\frac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}=\lambda \\c_{44}&={\frac {E}{2(1+\nu )}}=\mu =G\end{aligned}}}$

Dabei sind ${\displaystyle E}$ der Elastizitätsmodul, ${\displaystyle \nu }$ die Querdehnzahl, ${\displaystyle \lambda }$ und ${\displaystyle \mu }$ die Lamé-Konstanten, ${\displaystyle G}$ der Schubmodul und ${\displaystyle M}$ der Longitudinalmodul.

Die Materialmatrix kann äquivalent in Lamé-Konstanten geschrieben werden als

${\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}M&\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &M&\lambda &0&0&0\\\lambda &\lambda &M&0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{pmatrix}}}$

mit ${\displaystyle M=\lambda +2\mu }$

Alternativ ergibt sich die Darstellung ausschließlich mit ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle \nu }$ zu

${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {E}{(1+\nu )(1-2\nu )}}{\begin{pmatrix}1-\nu &\nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1-2\nu }{2}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1-2\nu }{2}}\end{pmatrix}}}$

Durch die Einführung der Elastizitätszahl ${\displaystyle I_{E}}$ wird eine eindeutige Parametrisierung des elastischen Grenzzustandes in der Materialmatrix ermöglicht. Der im Einflussraum der CPT-Spitze repräsentative Spannungszustand kann damit eindeutig auf die zugehörigen elastischen Konstanten abgebildet werden. Die zugrunde liegende Beschreibung bodenmechanischer Zustände knüpft an das Atterberg-Kontinuum als theoretischen Zustandsraum an.

Der funktionale Zusammenhang lässt sich dabei schematisch als Abbildungskette darstellen: ${\displaystyle q_{c}\;\longrightarrow \;I_{E}\;\longrightarrow \;\mathbf {C} }$

Die Materialmatrix kann über verschiedene elastische Konstanten parametrisiert werden. In der isotropen Elastizitätstheorie genügen zwei unabhängige Konstanten, aus denen alle weiteren elastischen Kennwerte eindeutig berechnet werden können. Übliche Darstellungen verwenden beispielsweise:

• Elastizitätsmodul E und Querdehnzahl ν
• Schubmodul G und erste Lamé-Konstante λ
• Schubmodul G und Longitudinalmodul M

Zwischen diesen Konstanten bestehen eindeutige analytische Umrechnungsbeziehungen, sodass alle elastischen Kennwerte ineinander überführt werden können. Die theoretische Einordnung der verwendeten elastischen Grenzzustände steht in engem Zusammenhang mit dem Konzept des Atterberg-Kontinuums. Die folgende Abbildung zeigt eine typische Ergebnisdarstellung der CPT-Auswertung im elastischen Grenzzustand.

Klassische CPT-Auswertungen beruhen häufig auf empirischen Korrelationen, bei denen der Spitzenwiderstand direkt in bodenmechanische Festigkeitskennwerte überführt wird. Diese Ansätze sind bodenart- und erfahrungsabhängig.

Die Auswertung im elastischen Grenzzustand verfolgt dagegen einen mechanisch konsistenten Ansatz, der ausschließlich auf den Gesetzen der Elastizitätstheorie beruht und unabhängig von Bodenartklassifikationen und Erfahrungswerten anwendbar ist.

Die Methode findet insbesondere Anwendung bei:

• Setzungs- und Verformungsberechnungen
• der Parametrisierung numerischer Modelle (z. B. Finite-Elemente-Methoden)
• der Beschreibung des Baugrunds im Grenzzustand der Gebrauchstauglichkeit
• der Initialisierung nichtlinearer Bodenmodelle

• Drucksondierung
• Elastizitätstheorie

1. ↑ ^{a b} Köhler, A. (2024): Das Atterberg-Kontinuum: Einführung von Grundlagen für eine neue Theorie. Dissertation, Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg. Online