APOS-Theorie

Die APOS-Theorie ist ein mathematikdidaktisches Modell, das beschreibt, wie mathematische Konzepte gelernt werden. Sie wurde maßgeblich von Ed Dubinsky entwickelt. Die Abkürzung APOS steht für Actions (Aktionen), Processes (Prozesse), Objects (Objekte) und Schemas (Schemata), die vier wichtigsten mentalen Strukturen, die in dieser Theorie eine Rolle spielen. Die APOS-Theorie vertritt eine konstruktivistische Sichtweise des Lernens von Mathematik. Sie basiert auf Jean Piagets Konzept der reflektierenden Abstraktion.^[1] Bei der Anwendung der APOS-Theorie im Unterricht wird oft der ACE-Unterrichtszyklus verwendet.

Die APOS-Theorie erklärt das Lernen mathematischer Konzepte durch vier mentale Strukturen: Aktionen, Prozesse, Objekte und Schemata. Diese Begriffe gehen zum Teil auf die entwicklungspsychologische Theorie von Jean Piaget zurück.

Aktionen sind spezifische mentale Manipulationen oder Transformationen, die an bereits verstandenen mathematischen Objekten vorgenommen werden. Aktionen sind extern bzw. konkret operational, d. h. jeder Schritt der Transformation bedarf externer Stimuli und muss mit expliziten Handlungen durchgeführt werden.

Beispielsweise ist für eine Person, die nur ein Aktion-Verständnis des Konzeptes Funktion hat, eine Funktion ein Ausdruck, in dem man eine Zahl einsetzt.^[2]

Prozesse sind Aktionen, die vollständig verinnerlicht wurden.^[2] Jemand, der eine Aktion hin zu einem Prozess verinnerlicht hat, kann die Aktion ohne externe Handlungen ausführen, kann den Prozess abstrakt alleine in Gedanken auszuführen und kann dabei Schritte überspringen.^[3]

Jemand mit einem Prozess-Verständnis einer Funktion ist beispielsweise in der Lage, sich eine Funktion so vorzustellen, dass diese nicht konkret vorhandene Eingaben aufnimmt und eine Transformation auf sie anwendet, um eine Ausgabe zu erzeugen. Im Gegensatz zum Aktion-Verständnis benötigt diese Person keine konkrete Beschreibung der Transformation (Algorithmus).^[4] Jemand, der ein Prozessverständnis eines n-Tupels hat, ist in der Lage, das Konzept eines n-Tupels für einen nicht spezifizierten Wert von n gedanklich zu betrachten.^[2]

Objekte sind kognitive Gegenstände, die sich aus der Fähigkeit ergeben, die Gesamtheit eines Prozesses zu konzeptualisieren und zu verstehen, wie man dieser Gesamtheit eine zusätzliche Struktur geben kann. Der Übergang von einem Prozess-Verständnis zu einem Objektverständnis wird als Kapselung bezeichnet.^[2][5]

Viele Konzepte der Mathematik haben dualen Charakter, weil sie als Prozess und Objekt betrachtet werden können. Beispielsweise kann 5+2 als Addieren zweier Zahlen (also ein Prozess; ausgedrückt durch ein substantiviertes Verb) verstanden werden oder als Summe (also als Objekt).

Jemand mit einem Objekt-Verständnis von Funktionen ist z. B. in der Lage, eine Menge von Funktionen zu bilden und Prozesse wie z. B. Differenzieren oder Integrieren auf diese Funktionen anzuwenden. Auch die Prozesse Differenzieren und Integrieren können zu Objekten gekapselt werden (Differentiation und Integration), auf die wiederum Prozesse wirken (z. B. Komposition).

Aus didaktischer Perspektive gilt der Kapselung von Prozessen zu Objekten als der schwierigste Schritt.

Schemata sind mentale Sammlungen von Aktionen, Prozessen und Objekten (sowie andere Schemata und die Wechselwirkungen zwischen ihnen). Sie begründen die Fähigkeit, zu verstehen, in welchen Situationen im Schema enthaltene mentale Strukturen anwendbar sind.^[2]

Zum Beispiel ist für jemanden, der die Theorie der Vektorräume versteht, die mentale Struktur eines Vektorraums ein Schema.^[2]

Wenn eine Person Mathematik lernt, durchläuft die Entwicklung der mentalen Strukturen nicht unbedingt die sequentielle Abfolge von Aktion bis Schema.^[3]

Eine Kernaussage von APOS ist, dass in der kognitiven Entwicklung Prozesse zu Objekten werden können bzw. dass das Erlernen von Mathematik diese Entwicklung an vielen Stellen erfordert. Anna Sfard nennt den mit dieser Entwicklung verbundenen Übergang Reification („Verdinglichung“).^[6][7] Ihre Arbeiten weisen auf die duale Natur von Konzepten in der Mathematik hin und untersuchen die damit verbundenen Schwierigkeiten beim Erlernen von Mathematik.^[5]

Um die Entwicklung der durch die APOS-Theorie beschriebenen mentalen Strukturen bei Lernenden zu fördern, entwickelte Dubinsky den ACE-Zyklus als Lehrmethode. Dabei wird jeder Themenbereich durch Aktivitäten eingeführt, die die Studierenden vor der eigentlichen Unterrichtszeit durchführen. Die Unterrichtszeit dient vorrangig einer gemeinsamen Diskussion der Inhalte (engl. Class Discussion). Danach üben die Lernenden die diskutierten Konzepte anhand von Übungsaufgaben (engl. Exercises) ein.^[2] Die drei Phasen Aktivitäten, Class Discussion und Exercises führen zum Akronym ACE.

Der ACE-Zyklus kann als eine Form des invertierten Unterrichts (inverted classroom) betrachtet werden.

Bei der Umsetzung werden auch mathematische Programmiersprachen verwendet, am häufigsten ISETL.^[8][9] Das Formulieren mathematischer Ausdrücke in einer Programmiersprache soll Studierenden helfen, die mathematischen Konzepte mental zu konstruieren und zu verinnerlichen.^[10]

• Theorie der kognitiven Entwicklung nach Piaget

1. ↑ Annie Selden, Draga Vidakovic: Remembering Ed Dubinsky and his Visionary Work. In: International Journal of Research in Undergraduate Mathematics Education. Band 8, Nr. 3, 1. Oktober 2022, ISSN 2198-9753, S. 421–436, doi:10.1007/s40753-022-00201-z (springer.com [abgerufen am 21. Mai 2025]). 
2. ↑ ^{a b c d e f g} Ilana Arnon, Jim Cottrill, Ed Dubinsky, Asuman Oktaç, Solange Roa Fuentes, Maria Trigueros, Kirk Weller: APOS Theory: A Framework for Research and Curriculum Development in Mathematics Education. Springer New York, New York, NY 2014, ISBN 978-1-4614-7965-9, doi:10.1007/978-1-4614-7966-6 (springer.com [abgerufen am 20. Mai 2025]). 
3. ↑ ^{a b} Asuman Oktaç, María Trigueros, Avenilde Romo: APOS Theory: Connecting Research and Teaching. In: For the Learning of Mathematics. Band 39, Nr. 1, 2019, ISSN 0228-0671, S. 33–37, JSTOR:26742010. 
4. ↑ Daniel Breidenbach, Ed Dubinsky, Julie Hawks, Devilyna Nichols: Development of the process conception of function. In: Educational Studies in Mathematics. Band 23, Nr. 3, Juni 1992, ISSN 0013-1954, S. 247–285, doi:10.1007/BF02309532 (springer.com [abgerufen am 21. Mai 2025]). 
5. ↑ ^{a b} Anna Sfard: Thinking as Communicating: Human Development, the Growth of Discourses, and Mathematizing (= Learning in Doing: Social, Cognitive and Computational Perspectives). Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-86737-5, doi:10.1017/cbo9780511499944 (cambridge.org [abgerufen am 21. Mai 2025]). 
6. ↑ Anna Sfard: On the dual nature of mathematical conceptions: reflections on processes and objects as different sides of the same coin. In: Educational Studies in Mathematics. Band 22, 1991, S. 1–36. 
7. ↑ Anna Sfard, Liora Linchevsky: The gains and the pitfalls of reification: The case of algebra. In: Educational Studies in Mathematics. Band 26, 1994, S. 191–228. 
8. ↑ Ed Dubinsky, Uri Leron: Learning Abstract Algebra with ISETL. In: SpringerLink. 1994, doi:10.1007/978-1-4612-2602-4 (springer.com [abgerufen am 2. April 2025]). 
9. ↑ Nancy Baxter, Ed Dubinsky, Gary Levin: Learning Discrete Mathematics with ISETL. In: SpringerLink. 1989, doi:10.1007/978-1-4612-3592-7 (springer.com [abgerufen am 2. April 2025]). 
10. ↑ Ed Dubinsky: Isetl: A programming language for learning mathematics. In: Communications on Pure and Applied Mathematics. Band 48, Nr. 9, 1995, ISSN 1097-0312, S. 1027–1051, doi:10.1002/cpa.3160480905 (wiley.com [abgerufen am 30. November 2025]).