σ-Subadditivität

Die σ-Subadditivität ist in der Maßtheorie eine Eigenschaft einer Mengenfunktion, also einer Funktion, deren Argumente Mengen sind – sie wird σ-subadditive Funktion genannt.

Gegeben sei ein Mengensystem ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ auf der Grundmenge ${\displaystyle X}$, also ${\displaystyle {\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)}$. Eine Abbildung

${\displaystyle f\colon {\mathcal {M}}\to \left[0,\infty \right]}$

heißt σ-subadditiv, wenn für jede Folge von Mengen ${\displaystyle A_{1},A_{2},\dots }$ aus ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ und jedes ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}}$ mit ${\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}}$ gilt, dass

${\displaystyle f(A)\leq \sum _{i=1}^{\infty }f(A_{i})}$

ist.^[1] Man beachte, dass es hierbei nicht notwendig ist, ${\displaystyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\in {\mathcal {M}}}$ zu fordern. Es ist auch nicht notwendig zu fordern, dass die Mengen der Folge disjunkt sein müssen, wie das der Fall bei Additivität und Sigma-Additivität ist.

Jedes äußere Maß ist gemäß Definition σ-subadditiv. Für Prämaße auf Ringen (und somit auch für Maße auf σ-Algebren) ergibt sich die σ-Subadditivität aus der definierenden Eigenschaft der σ-Additivität.

• Submodulare Funktion

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3. 

1. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-36018-3, S. 12 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).